山東省莒縣第一中學(xué)2022年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù).設(shè)，若對任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．333．在中，，，分別為角，，的對邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．4．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個，導(dǎo)線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米5．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．606．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．7．已知集合，則集合的非空子集個數(shù)是（）A．2 B．3 C．7 D．88．已知函數(shù)，，且在上是單調(diào)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱9．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．6311．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．12．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若，則________.14．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若∠NRF=60°，則|FR|等于_____.15．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，，則的最小值為________.16．正四面體的一個頂點是圓柱上底面的圓心，另外三個頂點圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上，的周長為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求證：為定值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個實數(shù)根，且，證明：.20．（12分）已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，．（1）求；（2）若，，求，．21．（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標(biāo)為，點在橢圓上，點在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設(shè)與橢圓的另一個交點為，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求的長．22．（10分）設(shè)，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)函數(shù).①若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點；②求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.2．C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【點睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．4．B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選：B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.5．D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題6．A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，恒成立，排除，，當(dāng)時，，當(dāng)，，排除，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．C【解析】

先確定集合中元素，可得非空子集個數(shù)．【詳解】由題意，共3個元素，其子集個數(shù)為，非空子集有7個．故選：C．【點睛】本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有個元素的集合其子集個數(shù)為，非空子集有個．8．B【解析】

根據(jù)函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，確定，然后一一驗證，A.若，則，由，得，但.B.由，，確定，再求解驗證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計算是否為0.【詳解】因為函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以，即，所以，若，則，又因為，即，解得，而，故A錯誤.由，不妨令，得由，得或當(dāng)時，，不合題意.當(dāng)時，，此時所以，故B正確.因為，函數(shù)，在上是單調(diào)遞增，故C錯誤.，故D錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.9．D【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．10．B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．12．D【解析】

根據(jù)，利用通項公式得到含的項為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

由題意先求得的值，可得，再令，可得結(jié)論．【詳解】已知，，，，令，可得，故答案為：1．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．14．2【解析】

由題意知：，，，.由∠NRF=60°，可得為等邊三角形，MF⊥PQ，可得F為HR的中點，即求.【詳解】不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.∵拋物線C：y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點∴，.∵M(jìn)，N分別為PQ，PF的中點，∴，∵PQ垂直l于點Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴為等邊三角形，∴MF⊥PQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴F為HR的中點，∴，故答案為：2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.15．27【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則，.當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.16．【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解．【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為．∴正四面體的體積，圓柱的體積．則．故答案為：．【點睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）見解析【解析】

(1)由，周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，周長，且.聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，不妨設(shè)其方程為，則，所以，即.②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，并設(shè)，由，，，由直線l與圓E相切，得.所以.從而，即.綜合上述，得為定值.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計算求解能力,難度較難.18．（1）（2）【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）對分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，由此可知，的解集為（2）當(dāng)時，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當(dāng)時，，且，不恒成立，不符合題意.當(dāng)時，，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成立，不符合題意.綜上，.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據(jù)絕對值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當(dāng)時，此時,且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意；當(dāng)時，此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；當(dāng)時，此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因為,,故設(shè)的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數(shù)根,故.結(jié)合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.設(shè)的解為,則；設(shè)的解為,則.故,.故,得證.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.20．（1）；（2），或，.【解析】

（1）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化原式為，結(jié)合，可得，即得解；（2）由余弦定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可得解【詳解】（1）由及正弦定理得．因為，所以，代入上式并化簡得．由于，所以．又，故．（2）因為，，，由余弦定理得即,所以．而，所以，為一元二次方程的兩根．所以，或，．【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.21．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設(shè)的方程為，可求解得到，，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點在直線上，且知的斜率必定存在，當(dāng)?shù)男甭蕿?時，，，于是，到的距離為1，直線與圓相切．當(dāng)?shù)男甭什粸?時，設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，所以，，從而．而，故的方程為，而在上，故，從而，于是．此時，到的距離為1，直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．（2）由（1）知，的面積為，上式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ悦娣e的最小值為1．此時，點在橢圓的長軸端點，為．不妨設(shè)為