2022屆北京豐臺區(qū)十二中高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C．或 D．3．設(shè)橢圓：的右頂點為A，右焦點為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點，則橢圓E的離心率是（）A． B． C． D．4．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．設(shè)集合，集合，則=（）A． B． C． D．R6．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實數(shù)（）A． B． C． D．9．2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們是由軍事科學(xué)院、國防大學(xué)、國防科技大學(xué)聯(lián)合組建．若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是博士學(xué)位；⑤國防科技大學(xué)的是研究生．則丙是來自哪個院校的，學(xué)位是什么()A．國防大學(xué)，研究生 B．國防大學(xué)，博士C．軍事科學(xué)院，學(xué)士 D．國防科技大學(xué)，研究生10．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設(shè)，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（）A． B．C． D．11．在三棱錐中，，，，，點到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___14．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，則球的表面積為__________.15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是______.16．已知圓柱的上下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：，橢圓E：（）的右頂點A在圓C上，右準(zhǔn)線與圓C相切.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過點A的直線l與圓C相交于另一點M，與橢圓E相交于另一點N.當(dāng)時，求直線l的方程.18．（12分）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，，已知,(1)求數(shù)列的首項和公比；（2）求數(shù)列的通項公式．19．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）已知外接圓半徑,求的周長.20．（12分）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗合格與否相互獨立．若每件產(chǎn)品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產(chǎn)品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說明，當(dāng)越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；（ii）當(dāng)時，求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)．21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．22．（10分）已知.（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數(shù)，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.2．D【解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件，即在上有解，即可得出結(jié)論.【詳解】，若在上不單調(diào)，令，則函數(shù)對稱軸方程為在區(qū)間上有零點（可以用二分法求得）.當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，只需或，解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點的求法，屬于中檔題.3．C【解析】

連接，為的中位線，從而，且，進而，由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，連接，橢圓：的右頂點為A，右焦點為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，不妨設(shè)B在第二象限，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率.故選：C【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】

將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為.因為雙曲線，所以其漸近線方程為，又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.5．D【解析】試題分析：由題，，，選D考點：集合的運算6．C【解析】由題意，根據(jù)二項式定理展開式的通項公式，得展開式的通項為，則展開式的通項為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點睛：此題主要考查二項式定理的通項公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運算等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是常考知識點.在二項式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項公式進行計算，從而問題可得解.7．B【解析】

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對稱軸，，又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點，只需解得．故選：．【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.8．B【解析】

求出，把坐標(biāo)代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值．9．C【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；則丙來自軍事科學(xué)院；由②來自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；由⑤國防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，故丙為學(xué)士.綜上可知，丙來自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.故選：C.【點睛】本題考查了合情推理的簡單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

設(shè)，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，則，即小正六邊形的邊長為，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點取自小正六邊形的概率.故選：D.【點睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11．C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個表達式，在中，可以計算出的一個表達式，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進而求出球的表面積．【詳解】取中點，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點由球的性質(zhì)可知：平面，，且．設(shè)，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.12．B【解析】

觀察已知條件，對進行化簡，運用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時相加得，又因為，所以.故選：【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運用對應(yīng)方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過A點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-114．【解析】

如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，計算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，將三棱錐補成長方體是解題的關(guān)鍵.15．1【解析】

該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】模擬程序的運行，可得：，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，此時滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.【詳解】解：因為軸截面是正方形，且面積是36，所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為：【點睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）或.【解析】

（1）圓的方程已知，根據(jù)條件列出方程組，解方程即得；（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在，方法一：設(shè)直線l的方程為：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去，可得，同理直線方程和圓方程聯(lián)立，可得，再由可解得，即得；方法二：設(shè)直線l的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，可得，將其與圓方程聯(lián)立，可得，由可解得，即得.【詳解】（1）記橢圓E的焦距為（）.右頂點在圓C上，右準(zhǔn)線與圓C：相切.解得，，橢圓方程為：.（2）法1：設(shè)，，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：.直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，整理得.由，解得.直線方程和圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，由，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.分法2：設(shè)，，當(dāng)直線l與x軸重合時，不符題意.設(shè)直線l的方程為：.由方程組消去x得，，解得.由方程組消去x得，，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的分析和運算能力.18．(1)（2）【解析】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解，數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點與難點，要注意掌握．（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1?qn-1=2n-1，結(jié)合數(shù)列的特點，考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解：（1）（2），兩式相減：19．（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周長．【詳解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周長a+b+c=3+3．【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．（1）見解析，（2）（i）見解析（ii）時平均檢驗次數(shù)最少，約為594次．【解析】

（1）由題意可得，的可能取值為和，分別求出其概率即可求出分布列，進而可求出期望.（2）（i）由記，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出；記，當(dāng)且取最小值時，該方案最合理，對進行賦值即可求解.【詳解】（1）由題，的可能取值為和，故的分布列為由記，因為，所以在上單調(diào)遞增，故越小，越小，即所需平均檢驗次數(shù)越少，該方案越合理記當(dāng)且取最小值時，該方案最合理，因為，，所以時平均檢驗次數(shù)最少，約為次．【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.21．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用平行四邊形的方法，證明平面.（2）通過證明平面，由此證得.【詳解】（1）設(shè)是中點，連接，由于是中點，所以且，而且，所以與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.