高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （新人教A選修22）

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.知識(shí)與技能1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲狄约昂瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（小）值；2．利用導(dǎo)數(shù)求解一些實(shí)際問題的最大值和最小值。過程與方法1.通過研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲狄约昂瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲?，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；2.通過求解一些實(shí)際問題的最大值和最小值，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)建模能力。情感態(tài)度、價(jià)值觀逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法思考問題、解決問題的習(xí)慣.一、知識(shí)點(diǎn)1．導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖.重點(diǎn)導(dǎo)析一、曲線的切線及函數(shù)的單調(diào)性

為減函數(shù)。1.設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，則在該區(qū)間上是增函數(shù)；若，則.2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：(2)求導(dǎo)數(shù)(3)解不等式;或解不等式.(1)求的定義域D(4)與定義域求交集(5)寫出單調(diào)區(qū)間.題型一：利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率、瞬時(shí)速度

解法提示：在某一點(diǎn)切線的斜率或在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度就是該點(diǎn)或該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù).例1求垂直于直線，且與曲線相切的直線方程..題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即在其定義域區(qū)間內(nèi)確定其導(dǎo)數(shù)為正值與負(fù)值的區(qū)間.例2試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間..二、可導(dǎo)函數(shù)的極值

1.極值的概念：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有（或則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（小）值，稱為極大（?。┲迭c(diǎn)。.①求導(dǎo)數(shù)②求方程＝０的根；2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：③檢驗(yàn)在方程＝０如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)的根的左、右的符號(hào)，在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值..題型三：求函數(shù)的極值與最值分析：此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)求極值的步驟來求.但要注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（極值點(diǎn)為的根）.例3設(shè)函數(shù)在或處有極值且.求并求其極值..三、函數(shù)的最大值與最小值

1.設(shè)是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，在（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在[a，b]上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行：①求在（a，b）內(nèi)的極值；②將在各極值點(diǎn)的極值與比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.2.若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，最小值.為函數(shù)的.例４函數(shù)在[0，3]上的最值.５-155y＋0－Y’3(2,3)2(0,2)0X.題型四：利用求導(dǎo)解應(yīng)用題

例1如圖,有甲、乙兩人，甲位于乙的正東100km處開始騎自行車以每小時(shí)20km的速度向正西方向前進(jìn)，與此同時(shí)，乙以每小時(shí)10km的速度向正北方向跑步前進(jìn)，問經(jīng)過多少時(shí)間甲、乙相距最近？BA乙甲如圖.例2:如圖,鐵路線上AB段長100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處?BDAC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為.令,在的范圍內(nèi)有唯一解x=15.所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.注:可以進(jìn)一步討論,當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí),要找的最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;當(dāng)AB之間的距離不超過15千米時(shí),所選D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3時(shí),圓柱體的體積最大.2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用..例3:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設(shè)箱底邊長為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3..類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,則令,解得,從而,即h=2r.由于S(r)只有一個(gè)極值,所以它是最小值.答:當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí),所用的材料最省..xy例4:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當(dāng)時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為時(shí),矩形的最大面積是.例5:證明不等式:證:設(shè)則令,結(jié)合x>0得x=1.而0<x<1時(shí),;x>1時(shí),,所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn).所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值f(1)=1.從而當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥1恒成立,即:

成立..例6:已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2,曲線y=f(x)過點(diǎn)P(-1,2),且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增,求m的取值范圍.解:(1)由題意得:(2),解得x>0或x<-2.故f(x)的單調(diào)遞增為(-∞,-2]和[0,+∞).即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0..例7.2001—新課程卷—文史類(21):已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在點(diǎn)x=1處有極小值-1,試確定a、b的值,并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.注:此題為p.252課后強(qiáng)化訓(xùn)練第8題.解:由已知得:由得;由得故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1/3)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1/3,1)..練習(xí)1:已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a>0)的極大值為6,極小值為2.(1)試確定常數(shù)a、b的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.答案:(1)a=1,b=4.(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞)..練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3與x=1處都取得極值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]時(shí),不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2.練習(xí)3:若函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是增函數(shù),而在(0,2)上是減函數(shù),求此函數(shù)在[-1,4]上的值域.答:由已知得可求得c=0,b=-3,從而f(x)=x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函數(shù)f(x)在[-1,4]上的值域是[-4,