高中數(shù)學(xué) 合情推理與演繹證明八 新人教A選修12

合情推理(1).推理：從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過程。推理前提結(jié)論－－－推理所依據(jù)的命題.－－－根據(jù)前提所得到的命題..推理案例1：前提：當(dāng)n=0時(shí)，n2-n+11=11;當(dāng)n=1時(shí)，n2-n+11=11;當(dāng)n=2時(shí)，n2-n+11=13;當(dāng)n=3時(shí)，n2-n+11=17;當(dāng)n=4時(shí)，n2-n+11=23;當(dāng)n=5時(shí)，n2-n+11=31;11,11,13,17,23,31都是質(zhì)數(shù).結(jié)論：對(duì)于所有的自然數(shù)n，n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù).歸納推理.推理案例2：前提：結(jié)論：矩形的對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)與寬的平方和.長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)、寬、高的平方和.類比推理歸納推理合情推理.例1：蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物。由此猜想：例2：三角形的內(nèi)角和是180度，凸四邊形的內(nèi)角和是360度，凸五邊形的內(nèi)角和是540度，……由此猜想：所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。凸n邊形的內(nèi)角和是(n-2)×1800歸納推理.例3：由此猜想：.歸納推理的定義:歸納推理：概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。歸納推理的思維過程如下：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)推演出一般性的結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).實(shí)驗(yàn)、觀察構(gòu)建數(shù)學(xué)：.推理案例3：金受熱后體積膨脹，銀受熱后體積膨脹，銅受熱后體積膨脹，鐵受熱后體積膨脹，金、銀、銅、鐵是金屬的部分小類對(duì)象，它們受熱后分子的凝聚力減弱，分子運(yùn)動(dòng)加速，分子彼此距離加大，從而導(dǎo)致體積膨脹

所以，所有的金屬受熱后都體積膨脹。再觀察兩個(gè)例子，你能得到歸納推理的一般模式嗎？.推理案例4：磨擦雙手（S1）能產(chǎn)生熱（P），敲擊石頭（S2）能產(chǎn)生熱（P），錘擊鐵塊（S3）能產(chǎn)生熱（P），

磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)；所以，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)能產(chǎn)生熱。歸納推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,(S1,S2,…,Sn是A類事物的對(duì)象）所以A類事物具有P.1.歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納推理所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納推理是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性.結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐證明，因此它不能作為數(shù)學(xué)證明工具。3.歸納推理的前提是特殊的情況,因而歸納推理是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上.歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納得到的猜想可作為進(jìn)一步研究得起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn):.⑶檢驗(yàn)猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑴對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；歸納推理的一般步驟:.例1:觀察下圖,可以發(fā)現(xiàn)1+3+…+(2n－1)=n2．1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=5，……數(shù)學(xué)應(yīng)用：.例2:已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1且(n=1,2,3…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式..例3:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法推理得出它們之間的關(guān)系..多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598.多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598668612812610.多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式.例4:如圖有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測(cè);把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?解;設(shè)an表示移動(dòng)n塊金屬片時(shí)的移動(dòng)次數(shù).當(dāng)n=1時(shí),a1=1當(dāng)n=2時(shí),a2=3123.當(dāng)n=1時(shí),a1=1當(dāng)n=2時(shí),a2=3解;設(shè)an表示移動(dòng)n塊金屬片時(shí)的移動(dòng)次數(shù).當(dāng)n=3時(shí),a3=7當(dāng)n=4時(shí),a4=15猜想an=2n-1123.1.觀察下列等式，并從中歸納出一般的結(jié)論：(1)(2)1＝1，1-4＝－（1+2），1-4+9＝1+2+3，1-4+9-16＝－（1+2+3+4），……數(shù)學(xué)鞏固：.凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條；……猜想：凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸n-1邊形多n-2條對(duì)角線。由此，凸n邊形對(duì)角線條數(shù)為2+3+4+5+…+(n-2).凸n邊形有多少條對(duì)角線？2.凸n邊形有多少條對(duì)角線？.3.在同一平面內(nèi)，兩條直線相交，有一個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？四條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？……六條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？……n條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？..歌德巴赫猜想的提出過程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，歌德巴赫猜想:“任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”即:偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)改寫為:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，數(shù)學(xué)閱讀：.哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國(guó)一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一個(gè)>=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)>=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。.這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡(jiǎn)單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。有人對(duì)33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。.哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)在陳景潤(rùn)之前，關(guān)於偶數(shù)可表示為s個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積與t個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和(簡(jiǎn)稱“s+t”問題)之進(jìn)展情況如下:1920年，挪威的布朗(Brun)證明了“9+9”。1924年，德國(guó)的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7+7”。1932年，英國(guó)的埃斯特曼(Estermann)證明了“6+6”。1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後證明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)證明了“5+5”。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)證明了“4+4”。1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數(shù)。1956年，中國(guó)的王元證明了“3+4”。1957年，中國(guó)的王元先後證明了“3+3”和“2+3”。1962年，中國(guó)的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩(BapoaH)證明了“1+5”，中國(guó)的王元證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)證明了“1+3”。1966年，中國(guó)的陳景潤(rùn)證明了“1+2”。最終會(huì)由誰攻克“1+1”這個(gè)難題呢？現(xiàn)在還沒法預(yù)測(cè)。.哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)於1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem)?“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積?！蓖ǔ６己?jiǎn)稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。.四色猜想的提出來自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。”這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。美國(guó)數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國(guó)推進(jìn)到35國(guó)。1960年，有人又證明了39國(guó)以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國(guó)?？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計(jì)算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完