湖南省益陽(yáng)市太陽(yáng)中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖南省益陽(yáng)市太陽(yáng)中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：B略2.如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，且一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為（）A．B．C．4D．8參考答案：C考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題．分析：由題意求出菱形的邊長(zhǎng)，由三視圖可得，幾何體是由兩個(gè)底面正方形的正四棱錐組合而成，求出正四棱錐側(cè)面積，即可求解．解答：解：一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，且一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，所以菱形的邊長(zhǎng)為：1，由三視圖可得，幾何體是由兩個(gè)底面正方形的正四棱錐組合而成，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為：，所以幾何體的表面積為：=4．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三視圖推出幾何體的判斷，幾何體的表面積的求法，注意視圖的應(yīng)用．3.設(shè)是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是（

）A．若與共面，則與共面B．若與是異面直線，則與是異面直線C．若，則D．若，則參考答案：C4.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，弦PQ過F且垂直于軸，過點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別作為直線AQ、AP的垂直，兩垂線交于點(diǎn)B，若B到直線PQ的距離小于，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B由題意,B在x軸上,,∴，∴，直線BQ的方程為，令y=0,可得，∵B到直線PQ的距離小于2(a+c)，∴，∴，∴，∴，∵e>1，∴，故選B.

5.一拋物線型拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時(shí)，水面寬4m，若水面下降1m時(shí)，則水面寬為（）A．m B．2m C．4.5m D．9m參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=﹣2Py（P＞0），由題意知拋物線過點(diǎn)（2，﹣2），進(jìn)而求得p，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．進(jìn)而可知當(dāng)y0=﹣3時(shí)x02的值，最后根據(jù)水面寬為2|x0|求得答案．【解答】解：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=﹣2Py（P＞0），由題意知，拋物線過點(diǎn)（2，﹣2），∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．當(dāng)y0=﹣3時(shí)，得x02=6．∴水面寬為2|x0|=2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．6.已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件?，F(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的必要條件而不是充分條件；③是的充分條件而不是必要條件；④是的充分條件而不是必要條件；⑤的必要條件而不是充分條件，則正確命題序號(hào)是

.

參考答案：①③⑤

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則（）A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)參考答案：D【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出正確答案【詳解】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績(jī)→乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會(huì)知道自己的成績(jī)；若是兩良，甲也會(huì)知道自己的成績(jī)）→乙看到了丙的成績(jī)，知自己的成績(jī)→丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績(jī)，給甲看乙丙成績(jī)，甲不知道自已的成績(jī)，說明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu)，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自已的成績(jī)了．給乙看丙成績(jī)，乙沒有說不知道自已的成績(jī)，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道自己成績(jī)．給丁看甲成績(jī)，因?yàn)榧撞恢雷约撼煽?jī)，乙丙是一優(yōu)一良，則甲丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績(jī)，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自已的成績(jī)了故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的問題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，屬于中檔題．8.如圖，為正四面體，于點(diǎn)，點(diǎn)均在平面外，且在平面的同一側(cè)，線段的中點(diǎn)為,則直線與平面所成角的正弦值為（

）A．

B．

C.

D.參考答案：A9.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值為()A.

B．

C．4

D．－4參考答案：B略10.若命題“”為假，且“”為假，則A.p或q為假 B.q真 C.q假 D.不能判斷q的真假參考答案：C試題分析：命題“”為假，說明與中至少有一個(gè)是假命題，“”為假說明為真命題，所以為假命題.考點(diǎn)：本小題主要考查了由復(fù)合命題的真假判斷命題的真假.點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是掌握復(fù)合命題的真值表并能熟練應(yīng)用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,,,則在上的正投影的數(shù)量為

參考答案：y=-x-212.（4分）已知點(diǎn)A（﹣2，4），B（4，2），直線l：ax﹣y+8﹣a=0，若直線l與直線AB平行，則a=_________．參考答案：13.已知點(diǎn)M是y=上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，則|MA|+|MF|的最小值為．參考答案：4【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】首先求出拋物線上的點(diǎn)到圓上及拋物線的焦點(diǎn)的距離最小的位置，然后根據(jù)三點(diǎn)共線求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出最小值．【解答】解：如上圖所示利用拋物線的定義知：MP=MF當(dāng)M、A、P三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x軸CM所在的直線方程為：x=1與y=建立方程組解得：M（1，）|CM|=4﹣點(diǎn)M到圓C的最小距離為：|CM|﹣|AC|=3拋物線的準(zhǔn)線方程：y=﹣1則：，|MA|+|MF|的值最小值為3+1=4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：圓外一點(diǎn)到圓的最小距離，拋物線的準(zhǔn)線方程，三點(diǎn)共線及相關(guān)的運(yùn)算問題．14.（5分）某人射擊，一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為（結(jié)論寫成小數(shù)的形式）_________．參考答案：0.64815.已知樣本的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是，則xy=________.參考答案：96，，

16.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)△ABF2是正三角形，且直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，得到F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°．在Rt△AF2F1中，設(shè)|AF1|=m，可得，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|=m，得到橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m，所以橢圓的離心率為e==．【解答】解：∵△ABF2是正三角形，∴∠AF2B=60°，∵直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=×60°=30°，Rt△AF2F1中，設(shè)|AF1|=m，sin30°=，∴|AF2|=2m，|F1F2|=因此，橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m∴橢圓的離心率為e==．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦和另一焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17.若圓以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表商店名稱

A

B

C

D

EE

銷售額x(千萬(wàn)元)

3

5

6

7

99

利潤(rùn)額y(百萬(wàn)元)

2

3

3

4

5

(1)

畫出散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖，說明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)性。(2)

用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程．(3)

當(dāng)銷售額為4(千萬(wàn)元)時(shí)，估計(jì)利潤(rùn)額的大小.參考答案：（1）略……………3分（五個(gè)點(diǎn)中，有錯(cuò)的，不能得3分，有兩個(gè)或兩個(gè)以上對(duì)的，至少得2分）兩個(gè)變量符合正相關(guān)

……………4分

（2）設(shè)回歸直線的方程是：，

……………6分∴

……………8分∴y對(duì)銷售額x的回歸直線方程為：

……………10分（3）當(dāng)銷售額為4(千萬(wàn)元)時(shí)，利潤(rùn)額為：＝2.4(百萬(wàn)元)

……………12分19.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）證明當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析．試題分析：（Ⅰ）首先求出導(dǎo)函數(shù)，然后通過解不等式或可確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的結(jié)論證明，右端將左端的換為即可證明；（Ⅲ）變形所證不等式，構(gòu)造新函數(shù)，然后通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來處理．試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域?yàn)椋?，令，解?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.所以當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，，即.（Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.由（Ⅱ）知，，故，又，故當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明與解法【思路點(diǎn)撥】求解導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題可考慮：（1）首先通過利用研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性進(jìn)行證明；（2）根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性或最值來證明．20.為了解學(xué)生身高情況，某校以的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，則得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下：（1）估計(jì)該校男生的人數(shù)；（2）估計(jì)該校學(xué)生身高在170—185cm之間的概率；（3）從樣本中身高在165—180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170—180cm之間的概率.參考答案：略21.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，的前項(xiàng)和。（1）求通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；

（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，有

…4分

…5分

…6分（2）由（1）知：

…7分

…9分即數(shù)列的前項(xiàng)和…12分略22.已知函數(shù)f（x）=kx+b的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A、B，=（2，2），函數(shù)g（x）=x2﹣x﹣6．（1）求k，b的值；（2）當(dāng)x滿足f（x）＞g（x）時(shí)，求函數(shù)的最小值．參考答案：解：（1）∵函數(shù)f（x）=kx+b的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A、B，∴由已知得A（﹣，0），B（0，b），∴=（，b），∵=（2，2），∴，解得b=2，k=1．（2）∵函數(shù)g（x）=x2﹣x﹣6，x滿足f（x）＞g（x），∴x+2＞x2﹣x﹣6．即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4，∴==x+2+﹣5，由于x+2＞0，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1，即x=﹣1時(shí)成立，∴的最小值是﹣3．考點(diǎn)：其他不等式的解法；直線的斜率．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）由已知分別求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再由=（2，2），能求出k，b的值．（2）由已知得x+2＞x2﹣x﹣6，從而得到﹣2＜x＜4，再由==x+2+﹣5，利用均值定理能求出的最小