LQR和PID控制器在飛行器高度控制中的應用

LQR和PID控制器在飛行器控制中的應用畢鳳霞關洋劉冰姜雪瑩CONTENTS應用背景ALQR狀態(tài)反饋調節(jié)器設計BPID控制器設計C仿真分析D考慮如下實際問題：飛行器的最優(yōu)高度控制，飛行器的控制方程如下

其中是飛行器的高度，是油門輸入，試設計控制律，使得如下性能指標最小：問題產生初始狀態(tài)為:對如下給定的Q、R矩陣進行仿真和分析:

①②③④

線性二次型（LQR）

狀態(tài)調節(jié)器設計1Part

所謂狀態(tài)調節(jié)器問題，就是要求系統的狀態(tài)保持在平衡狀態(tài)附近。當某種原因是系統的狀態(tài)偏離平衡狀態(tài)時，就對系統進行控制使之回到原平衡狀態(tài)。對于線性定常系統，任何平衡狀態(tài)通過線性變換可轉化為零狀態(tài)。為了方便起見，通常將系統的零狀態(tài)取為平衡狀態(tài)。

有限時間狀態(tài)調節(jié)器只考查系統由任意初態(tài)恢復到平衡狀態(tài)的行為，且性能指標只能在恢復過程中的狀態(tài)偏差、控制量大小及終端誤差之間取得一個合理折中。然而，實際工程問題的要求是，除了保證有限時間內系統對非零初態(tài)的響應具有最優(yōu)性外，還要求系統具有保持平衡狀態(tài)的能力。這種既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定性要求的問題只能用無線時間調節(jié)器理論去解決。即要求設線性時變系統狀態(tài)方程為：性能指標為：式中，向量，矩陣

對于無限時間時變狀態(tài)調節(jié)器問題，若陣對完全可控，則存在唯一的最優(yōu)控制最優(yōu)性能指標為式中：是對稱，非負的，而P(t)是如下黎卡提方程及其邊界條件的唯一解

設計無限時域控制器之前，首先判斷系統是否可控，在MATLAB中應用如下命令求判斷系統能控性

若系統可控，則繼續(xù)求解黎卡提方程，解出系統的反饋矩陣，從而求出最優(yōu)控制律使系統的性能指標最小。在MATLAB中提供了求解代數黎卡提方程的lqr()函數,其調用格式為：狀態(tài)調節(jié)器最優(yōu)控制閉環(huán)系統結構圖如下所示：

LQR即線性二次型調節(jié)器，其對象是現在控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統，而目標函數為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數，在現代控制理論中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重視。LQR控制方法的優(yōu)勢在于其控制方案簡單，超調量小，且響應速度快。2SECTIONPID控制器

PID控制器是根據PID控制原理對整個控制系統進行偏差調節(jié)，從而使被控變量的實際值與工藝要求的預定值一致。不同的控制規(guī)律適用于不同的生產過程，必須合理選擇相應的控制規(guī)律，否則PID控制器將達不到預期的控制效果。PID控制器既有比例作用的及時迅速，又有積分作用的消除余差能力，還有微分作用的超前控制功能。當偏差階躍出現時，微分立即大幅度動作，抑制偏差的這種躍變；比例也同時起消除偏差的作用，使偏差幅度減小，由于比例作用是持久和起主要作用的控制規(guī)律，因此可使系統比較穩(wěn)定；而積分作用慢慢把余差克服掉。只要三個作用的控制參數選擇得當，便可充分發(fā)揮三種控制規(guī)律的優(yōu)點，得到較為理想的控制效果。仿真3partLQR控制器：應用MATLAB進行仿真，通過lqr()函數來求解系統的反饋矩陣K(t)

,進而求出控制律。在仿真過程中通過改變Q陣和R陣來觀察系統特性的變化所畫的狀態(tài)響應曲線及控制輸入U的響應曲線如下圖所示：（1）Q=diag(1,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為（2）Q=diag(1,0,0),R=2000時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為（3）Q=diag(10,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為（4）Q=diag(1,100,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為PID控制器：PID控制時仿真效果如下：

仿真圖分析：增大R對比（1）（2）可知，當Q不變，R增大時，達到穩(wěn)態(tài)所需時間變長，即響應時間變慢；但波動幅值變小，反饋矩陣變小。增大Q11時對比（1）（3）可知，當Q對角線上第1個元素增大時，各相應曲線達到穩(wěn)態(tài)所需時間變短，即響應快；但波動幅值變大，反饋矩陣增大。增大Q22時對比（1）（4）可知，當Q對角線上第2個元素增大時，x1、x2曲線達到穩(wěn)態(tài)所需時間較長，即響應較慢，平緩地趨近與零；狀態(tài)x3，控制輸入U達到穩(wěn)態(tài)所需時間變短，即響應快；反饋矩陣最大。

綜上所述，Q=diag(1,0,0)，R=2時，系統各方面響應較好。矩陣Q變大時，反饋矩陣變大；當Q對角線上第1個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達到穩(wěn)態(tài)所需時間變短；當Q對角線上第2個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達到穩(wěn)態(tài)所需時間，狀態(tài)x1、x2增長，狀態(tài)x3，控制輸入U變短；當R變大時，反饋矩陣變小，各曲線波動幅值變小，達到穩(wěn)態(tài)時間變長。根據實際的系統允許，應該適當選擇Q和R。根據性能指標函數的調試經驗可知，當Q（t）矩陣中的某一元素的權值響應增加時，系統的快速響應性得到提高，同樣系統會產生自激，系統損耗了更多的能量，如同PID控制中增大P值的效果。當R（t）陣中某一元素的權值增大時，系統響應遲鈍，抖動幅度小，消耗的能量減小，動態(tài)性能差。總之，Q（t）、R（t）的選擇原則是：如果想提高控制的快速響應性，可以增大Q（t）中相關元素的比重。如果想要抑制控制量的幅值及其消耗的能量，可以增大R（t）中相關元素的比值。LQR&PID狀態(tài)X3和ULOREMIPSUMDOLORLoremipsumdolorsitamet,consecteturadipisicingelit,seddoeiusmodtemporincididuntutlaboreetdoloremagnaaliqua.Utenimadminimveniam,quisnostrudexercitationullamcolaborisnisiutaliquipexeacommodoconsequat.LOREMIPSUMDOLORLoremipsumdolorsitamet,consecteturadipisicingelit,seddoeiusmodtemporincididuntutlaboreetdoloremagnaaliqua.Utenimadminimveniam,quisnostrudexercitationullamcolaborisnisiutaliquipexeacommodoconsequat.LOREMIPSUMDOLORLoremipsumdolorsitamet,consecteturadipisicingelit,sed