高中數(shù)學(xué)北師大版2第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第5章

第五章§1一、選擇題1．復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)是a＝0的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件解析：由復(fù)數(shù)的概念知：若a＋bi為純虛數(shù)，則必有a＝0成立，故為充分條件；但若a＝0且b＝0時(shí)，a＋bi＝0為實(shí)數(shù)，故不是必要條件．所以復(fù)數(shù)a＋bi為純虛數(shù)是a＝0的充分非必要條件．答案：A2．設(shè)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則下列結(jié)論中正確的是()A．z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B．z一定不是純虛數(shù)C．z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方 D．z一定是實(shí)數(shù)解析：t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1∴z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上方．答案：C3．復(fù)數(shù)4－3a－a2i與復(fù)數(shù)a2＋4ai相等，則實(shí)數(shù)a的值為A．1 B．1或－4C．－4 D．0或－4解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3a＝a2,－a2＝4a))得a＝－4答案：C4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對(duì)應(yīng)向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|等于()\r(2) B．2\r(10) D．4解析：∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,3)－(1,1)＝(0,2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.答案：B二、填空題5．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，它的模為3，實(shí)部是－eq\r(5)，則z＝________________.解析：設(shè)z＝－eq\r(5)＋bi(b＞0)，則5＋b2＝9；∴b＝2，∴z＝－eq\r(5)＋2i.答案：－eq\r(5)＋2i6．已知下列命題：①?gòu)?fù)數(shù)a＋bi不是實(shí)數(shù)；②兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±2；④若z＝a＋bi，則當(dāng)且僅當(dāng)b≠0時(shí)，z為虛數(shù)；⑤若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；⑥若a＋bi＝c＋di，則a＝c且b＝d.其中真命題的個(gè)數(shù)________________．解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念判斷命題的真假．①當(dāng)a∈R且b＝0時(shí)，a＋bi是實(shí)數(shù)．②當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小，兩個(gè)復(fù)數(shù)至少有一個(gè)是虛數(shù)時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。郛?dāng)x＝－2時(shí)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，由純虛數(shù)的條件∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,x2＋3x＋2≠0，))解得x＝2.④沒(méi)有強(qiáng)調(diào)a，b∈R這一非常重要的條件．⑤a＝0時(shí)，ai＝0是實(shí)數(shù)，即0對(duì)應(yīng)的不是純虛數(shù)．⑥沒(méi)有強(qiáng)調(diào)a，b，c，d∈R這一非常重要的條件．故題中6個(gè)命題都是假命題．答案：0個(gè)三、解答題7．實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．解析：(1)要使z是實(shí)數(shù)，必須且只須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0,x2－2x－15＝0))，解得x＝5.(2)要使z為虛數(shù)，必須且只須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0,x2－2x－15≠0))，解得x≠－3，且x≠5.(3)要使z為純虛數(shù)，必須且只須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0,x2－2x－15≠0))，解得x＝3或x＝－2.8．設(shè)z為純虛數(shù)，且|z－1|＝|－1＋i|，求復(fù)數(shù)z.解析：∵z為純虛數(shù)，∴設(shè)z＝ai(a∈R且a≠0)，則|z－1|＝|ai－1|＝eq\r(a2＋1)，又|－1＋i|＝eq\r(2)，由|z－1|＝|－1＋i|得eq\r(a2＋1)＝eq\r(2)，解得a＝±1，因此z＝±i.9．已知點(diǎn)集D＝{z||z＋1＋eq\r(3)i|＝1，z∈C}，試求|z|的最小值和最大值．解析：點(diǎn)集D的圖像為以點(diǎn)C(－1，－eq\r(3))為圓心，以1為半徑的圓，圓上任一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝|z|.由圖可知，當(dāng)OP過(guò)圓心C(－1，－eq\r(3