數(shù)學(xué)物理方法03

“數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)”——赫爾曼.外爾第三章冪級數(shù)展開1學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)、與洛朗級數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計(jì)算方法、孤立奇點(diǎn)的概念及判定、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系。重點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)2

無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列w1，w2，w3，wn，寫成w1+w2+w3+wn+就稱為無窮級數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有‘和數(shù)’呢？這個‘和數(shù)’的確切意義是什么？

為什么要研究級數(shù)？(1)級數(shù)可作為函數(shù)的表達(dá)式，是研究函數(shù)的工具；(2)常微分方程的級數(shù)解。

研究級數(shù)需關(guān)心的問題：(1)級數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)；(2)收斂級數(shù)或一致收斂級數(shù)所具有的性質(zhì)等。33.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(一)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義

形如

的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中是復(fù)數(shù)。部分和級數(shù)最前面n+1項(xiàng)的和4復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂:即為兩個實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)極限存在并有限收斂性問題若在區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)z0點(diǎn)，前n項(xiàng)和極限存在,那么級數(shù)在z0點(diǎn)收斂，為該無窮級數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。例1解5絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂

注1：一個絕對收斂的復(fù)級數(shù)的各項(xiàng)可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.收斂的充要條件

柯西判據(jù)：對于任一小的正數(shù)

，必存在一

N

使得

n>N

時有式中

p

為任意正整數(shù).注2：級數(shù)絕對收斂的充分必要條件是實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)與都絕對收斂。6絕對收斂級數(shù)判別法：

的每一項(xiàng)都是復(fù)數(shù)的模，即正實(shí)數(shù)，所以它實(shí)際上就是正項(xiàng)級數(shù)，這樣復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂的判別法即正項(xiàng)級數(shù)收斂的判別法。注3：兩個絕對收斂級數(shù)的和，積，仍絕對收斂。7解所以原級數(shù)發(fā)散.

例3所以原級數(shù)收斂.

8（二）復(fù)變函數(shù)項(xiàng)（簡稱函數(shù)項(xiàng)）級數(shù)：設(shè)復(fù)變函數(shù)列wk(z)定義在區(qū)域B上，則由wk(z)構(gòu)成的級數(shù)稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)當(dāng)選定z的一個確定值時，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)變成一個復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)。

由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義在區(qū)域B上，所以它的收斂的概念是相對于這個定義域而言的。910一致收斂條件-柯西判據(jù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂條件-柯西判據(jù)

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在其定義域B中的收斂條件可由柯西判據(jù)判定：

對于任意給定的正數(shù)

，必存在一N(z)使得n>N(z)時有則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，但N(z)

與復(fù)變量z有關(guān)。11一致收斂級數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：若wk(z)在B內(nèi)連續(xù)，函數(shù)級數(shù)在B內(nèi)一致收斂，則和函數(shù)w(z)也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

性質(zhì)2：若級數(shù)在區(qū)域B內(nèi)的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)可沿l逐項(xiàng)積分：這個性質(zhì)說明：如果級數(shù)的每一項(xiàng)都是連續(xù)函數(shù)，則一致收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)求極限。12絕對一致收斂131415這是一種特殊形式的常用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。3.2冪級數(shù)冪級數(shù)：通項(xiàng)為冪函數(shù)的級數(shù):（一）定義16（二）冪級數(shù)的斂散性2.收斂半徑的求法達(dá)朗貝爾判別法（比值法）:那末收斂半徑,0lim

11=+￥?lkkkaa如果

1.阿貝爾Abel第一定理

如果級數(shù)在z0點(diǎn)收斂，那么在以a點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)絕對收斂，而上一致收斂。

如果級數(shù)在z1點(diǎn)發(fā)散，則在內(nèi)處處發(fā)散。17

證由于分析：（1）級數(shù)的柯西判據(jù),所以18所以收斂半徑為注意:冪級數(shù)在收斂圓上的斂散性需具體分析?。?）當(dāng)CRz0·R19如果:即(極限不存在),20方法2:

根值法那末收斂半徑,0lim

1=￥?lkkka如果說明:(與比值法相同)如果214.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)那么設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為?￥=-00)(kkkzza是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。(1)?￥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函數(shù)Rz0z<-22(2)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,

)(zw即?òò￥=<-?-=0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw

且可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。23記

CR1上點(diǎn)為，CR1內(nèi)任一點(diǎn)為

z，則圓上的冪級數(shù)可寫為利用柯西公式用有界函數(shù)相乘后，在CR1上一致收斂,24且冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項(xiàng)求導(dǎo)證:冪級數(shù)乘以(3)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,)(zw.)()(11?￥=--=￠kkkz0zkazw即Rz0z<-25故收斂半徑例1求冪級數(shù)的收斂半徑:解26解所以例2求的收斂半徑.27例3計(jì)算解28思考思考題答案不一定。冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定,可以依復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性討論。思考題答案29§3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)本講作業(yè)30(一)問題的引入問題:任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達(dá)？3.3泰勒級數(shù)展開思路:1區(qū)域內(nèi)任一個解析函數(shù)能用它在邊界上回路積分表示（柯西積分公式），2

冪級數(shù)又可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。31(二)泰勒展開定理其中泰勒級數(shù)定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,那末點(diǎn),時,成立,當(dāng)?￥=-=00)()(kkkzzazfLL,2,1,0),(!10)(==kzfkakk32,

)(

內(nèi)解析在區(qū)域設(shè)函數(shù)Bzf

0內(nèi)以為zB

,為中心的任一圓周,,CRB記為它與它的內(nèi)部全包含于.內(nèi)任意點(diǎn)如圖:.CRrz=-0z圓周由柯西積分公式,有其中

CR

取正方向。為了得到冪級數(shù)，我們展開公式的“核”為z-z0冪的幾何級數(shù)：33則,

,

的內(nèi)部在點(diǎn)上取在圓周因?yàn)榉e分變量CRzCRz.1

00<--zzzz所以用有界函數(shù)相乘并積分得34?ò=+-ú?ùê?é-=0010)()(d)(π21)(

∞kkCRkzzzfizfzzz由高階導(dǎo)數(shù)公式:我們即可得泰勒級數(shù)的泰勒展開式。在L,)(!10)(zfkakk=35;,00級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時當(dāng)=z

因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;注意：所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多。說明:問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)，展開式是否唯一？36當(dāng)展開點(diǎn)：z1=z0時：即因此,解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果是唯一的。L+-+-+=212110)()()(zzbzzbbzf,)(1L+-+kkzzbL

)(1另有一不同泰勒級數(shù):設(shè)在zzf,)(!10)(zfkakk=bk=分析：37(三)將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù).

)(

0展開成冪級數(shù)在將函數(shù)zzf例1，故有38,

在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)閦e。

￥=R所以級數(shù)的收斂半徑2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式。間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛。39例2.

0

sin

的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz40附:常見函數(shù)的泰勒展開式4142例3解上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),,11)1(12-==+zzz上有一奇點(diǎn)在由于,,1區(qū)域內(nèi)解析即在<z故可在其解析區(qū)域內(nèi)展開成的冪級數(shù)z43例4*分析如圖,-1OR=1xy.

1

的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成所以它在zz=,

1

,

1

)1ln(

是它的一個奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的在從--+z44即

將展開式兩端沿

l逐項(xiàng)積分,得解,

0

1

的曲線到內(nèi)從為收斂圓設(shè)zzl<45復(fù)1解復(fù)習(xí)而被積函數(shù)可在|z|<1圓（區(qū)域）內(nèi)展開為冪級數(shù)（解析和函數(shù)）由積分關(guān)系可知：46復(fù)2解即微分方程對微分方程逐次求導(dǎo)得:L,)(!10)(zfkakk=47483.4解析延拓解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴(kuò)大（一）解析延拓例;冪級數(shù)：在以z=0為圓心的單位圓B內(nèi)代表一個解析函數(shù)，令為級數(shù)的收斂域B即解析函數(shù)定義域半徑R=1

。在單位圓B內(nèi)，取一點(diǎn)z0=i/2

為圓心進(jìn)行泰勒展開這級數(shù)的收斂域b的半徑為49上例說明，收斂域b跨出原來的收斂域B之外，而級數(shù)(1)在收斂域B內(nèi).b代表解析函數(shù)

f2(z)，于是稱f2(z)為f1(z)在

b內(nèi)的解析延拓。定義：若f1(z)和f2(z)分別在B,b內(nèi)解析，且在B與b重疊的區(qū)域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)為f2(z)在B中的解析延拓?？梢宰C明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延拓。Bb50首先在B1內(nèi)任取一點(diǎn)

z0，將f1

(z)在

z0

的鄰域展開成泰勒級數(shù)設(shè)級數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)锽2。如果B2超出了B1的范圍。由于在B1和B2的重疊區(qū)域f1(z)=

f2(z)，所以f2(z)就是f1(z)在

B2中的解析延拓。這樣不斷作下去，得到一系列的解析元素{Bn,fn(z)}

(n=2,3...)。一個解析元素{Bn,fn(z)}

的全部解析延拓的集合，稱為

f1(z)所產(chǎn)生的完全解析函數(shù)F(z)，F(xiàn)(z)的定義域是鄰解析元素給出的定義域的總和。(二)解析延拓的方法1采用泰勒級數(shù)展開法的解析延拓51稱下列含參量的積分為格馬(Gamma)函數(shù)（寫作Γ函數(shù)）

：它在物理學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，又稱為第二類歐拉積分，下面用它為例討論采用函數(shù)關(guān)系的解析延拓方法。2用函數(shù)關(guān)系的解析延拓：Γ函數(shù)52（1）Γ函數(shù)在定義域Rez>0內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（2）遞推公式Γ函數(shù)的性質(zhì)對進(jìn)行分部積分，可得遞推公式1.積分區(qū)間為無窮;Γ函數(shù)特點(diǎn):2.當(dāng)

z-

1<0時，t=0為奇點(diǎn);53（3）解析延拓設(shè)f1(z)=Γ(z),定義域B1.由遞推公式：右邊成立的條件：Re(z+1)>0,z≠0

?B2:{Rez>-1,z≠0}在B1中：f1(z)=f2(z)?f2

(z)是f1

(z)在中的解析延拓.54（4）的其他形式令t=y2,有令t=py,就有同理在B2中：f2(z)=f3(z)?f3(z)是f2

(z)在中的解析延拓.55例1計(jì)算解5657奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的奇次冪項(xiàng),偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的偶次冪項(xiàng).答案思考58§3.3(1)（3）(6）(8)本講作業(yè)593.5洛朗級數(shù)展開(一)問題的引入60例1.都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而1,1112<+++++=-zzzzzkLL:10

內(nèi)在圓環(huán)域<<z所以,121LL++++++=-kzzzz即內(nèi)可以展開成冪級數(shù).61[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz由此推想，若f(z)在R

2<z-z0<R1

內(nèi)解析,f(z)可以展開成含有負(fù)冪次項(xiàng)的級數(shù),即雙邊冪級數(shù)內(nèi)，在圓環(huán)域110<-<z62負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時收斂收斂kkkzza)(.10-?￥-￥=雙邊冪級數(shù)=-?￥=-￥=kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001-+-??￥=-￥=-本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。63收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分D:raaR1aR2Df(z)=f1(z)+f2(z)64結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...的收斂區(qū)域?yàn)殡p邊冪級數(shù)kkkzza)(0-?￥-￥=.102RzzR<-<圓環(huán)域65(二)洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向(逆時針）簡單閉曲線.

,)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=內(nèi)處處解析，在環(huán)形域設(shè)

)(

102RzzRzf<-<內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)在那末Bzf

)(

為洛朗系數(shù).66Bzz0證對于第一個積分(CR1):.z...67對于第二個積分:所以

因?yàn)?z...68則69則

對于C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單kkkkkkzzazza-￥=-￥=-+-=??)()(0100.)(0kkkzza-=?￥-￥=閉曲線.可用一個式子表示為:kkaa-與70說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，這就是

f(z)的洛朗級數(shù).定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法.kkkzzazf)()(0-=?￥-￥=71(三)函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后寫出.)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.優(yōu)點(diǎn):簡捷,快速.2.間接展開法72例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei故由柯西定理知:由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式知:0=k≤-3a,

2

時則-3k,

3

時當(dāng)-￡k,

2在圓環(huán)域內(nèi)解析zez目標(biāo)求ak由柯西定理我們知道閉合回路C內(nèi)不含奇點(diǎn)時ak=0.所以，我們要分析上式被積函數(shù)的解析性。73zzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++ú?ùê?é+=zzkkezk)!2(1+=k?￥-=+=2)!2()(

kkkzzf故另解：直接展開ez74例3內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解:

)2)(1(1)(

在圓環(huán)域函數(shù)--=zzzf

,

10

)1內(nèi)在<<z間接展開法75oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111則,1<z由于12<z從而7612oxy由且仍有

,

21

)2內(nèi)在<<z772oxy由此時,

2

)3內(nèi)在￥<<z)(

zf于是78仍有,121

<<zz此時)(

zf故79注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn).本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的說明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項(xiàng),而且又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn),但是可能是函數(shù)的奇點(diǎn),也可能的奇點(diǎn).不是802.給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).81解

例4.

0

sin

0洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成在將函數(shù)=zzz823.6孤立奇點(diǎn)的分類定義：若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處不解析（或沒有定義），但在點(diǎn)z0的某個空心鄰域內(nèi)解析，則稱點(diǎn)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。(一)孤立奇點(diǎn)的概念例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).注意:

孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn),但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn).83例2

指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),

的奇點(diǎn)存在,

函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以，因?yàn)?1lim=p￥?kk84

定義

設(shè)z0是解析函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在點(diǎn)z0的某去心鄰域

內(nèi)的羅朗展式為

(1)若展式中不含有z-z0的負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)；

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0是f(z)的極點(diǎn)，稱m為極點(diǎn)z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f(z)的單極點(diǎn)或m階的極點(diǎn)；

(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的本性奇點(diǎn)。(二)孤立奇點(diǎn)的分類85其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.1．可去奇點(diǎn)如果洛朗級數(shù)中不含的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)稱為的可去奇點(diǎn).1)定義,)(0的孤立奇點(diǎn)若是zfz.)()()(0010LL+-++-+=kkzzazzaazf,)(00azf=?íì=1=000,,)()(zzazzzFzf862)可去奇點(diǎn)的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負(fù)在如果冪項(xiàng)則為的可去奇點(diǎn).(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).如果補(bǔ)充定義:時,那末在解析.例3中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).87例4

說明為的可去奇點(diǎn).解

所以為的可去奇點(diǎn).無負(fù)冪項(xiàng)另解

的可去奇點(diǎn).為882.極點(diǎn)

其中關(guān)于的最高冪為即階極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的或?qū)懗?)定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負(fù)冪項(xiàng),1012020)()()()(-------+-++-=zzazzazzazfmmLL+-++)(010zzaa)0,1(13-mam89說明:1.2.特點(diǎn):(1)(2)的極點(diǎn),則為函數(shù)如果例5有理分式函數(shù)是二階極點(diǎn),是一階極點(diǎn).L+-+-+=+-+--20201)()()(zzazzaazgmmm內(nèi)是解析函數(shù)在d<-0zz902)極點(diǎn)的判定方法的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開式中含有限項(xiàng).在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別(3)利用極限判斷.91本性奇點(diǎn)3.如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點(diǎn)稱為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),例如，含有無窮多個z的負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn):在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為同時不存在.為本性奇點(diǎn)，所以0=z92(三)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析,則稱點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn).Rxyo93令變換規(guī)定此變換將:映射為擴(kuò)充

z平面擴(kuò)充

t平面映射為映射為映射為???è?=tfzf1)(則942結(jié)論:在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究因?yàn)樵谌バ泥徲騼?nèi)是解析的,所以是的孤立奇點(diǎn).3規(guī)定:

m階奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn).的可去奇點(diǎn)、m階奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn),如果

t=0

是是的可去奇點(diǎn)、那末