數(shù)字圖像處理第3章

數(shù)字圖像處理

第三章常用數(shù)學(xué)變換主要內(nèi)容線性系統(tǒng)和卷積運(yùn)算傅立葉變換及其性質(zhì)離散圖象變換的一般形式離散余弦變換沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換K-L變換小波變換（1）線性系統(tǒng)和卷積運(yùn)算系統(tǒng)x(t)輸入y(t)輸出線性系統(tǒng)的定義：

對(duì)于某系統(tǒng)有

y(t)={x(t)}該系統(tǒng)是線性的當(dāng)且僅當(dāng)

{ax1(t)

+bx2(t)}

=a{x1(t)

}+b

{x2(t)

}=ay1(t)+b

y2(t)

（疊加原理）（1）線性系統(tǒng)和卷積運(yùn)算線性空不變（移不變）系統(tǒng)

定義：定義二維沖激響應(yīng)函數(shù)

h(x,y,,)={(x-,y-)}

—(x,y)為二維Dirac函數(shù)若

h(x,y,,)=h(x-,y-)，則系統(tǒng)為“空不變”系統(tǒng)。沖激響應(yīng)h的傅立葉變換稱為傳遞函數(shù)。（1）線性系統(tǒng)和卷積運(yùn)算卷積定義：

已知線性空不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y),

設(shè)輸入f(x,y)，則輸出

y(x,y)={f(x,y)}={

f(,)(x-,y-)dd

}=

f(,){(x-,y-)}dd

=

f(,)h(x-,y-)dd

即

y(x,y)=

f(,)h(x-,y-)dd

=

f(x-,y-)h(,)dd

一般表示為

y(x,y)=f(x,y)h(x,y)（1）線性系統(tǒng)和卷積運(yùn)算離散形式卷積：y(i,j)=f(m,n)h(i-m,j-n)卷積性質(zhì)——

交換性

加法的分配率

結(jié)合率

求導(dǎo)的性質(zhì)（2）傅立葉變換及其性質(zhì)正交變換——

一個(gè)實(shí)函數(shù)或復(fù)函數(shù)若用x(t)表示，其定義域?yàn)?t0,t0+T)，在此區(qū)間可展開為：m

——變換核（2）傅立葉變換及其性質(zhì)則m稱為正交函數(shù)，當(dāng)c=1時(shí)稱為歸一化（標(biāo)準(zhǔn)）正交函數(shù)。

圖像處理中用到的變換核均為正交函數(shù)。變換是工具，一個(gè)域特征不突出到變換域則突出。信號(hào)處理中常把空域信號(hào)變換到變換域進(jìn)行處理。

(例如：傅立葉變換后的零頻分量，正比于圖像的平均亮度，而高頻分量代表圖像中邊緣幅度和方向；可用于圖像的變換編碼以壓縮頻帶，如對(duì)幅度小的變換系數(shù)或者丟棄，或者粗量化。)

（2）傅立葉變換及其性質(zhì)一維連續(xù)傅立葉變換（2）傅立葉變換及其性質(zhì)一維離散傅立葉變換(DCT)N（2）傅立葉變換及其性質(zhì)二維連續(xù)傅立葉變換（2）傅立葉變換及其性質(zhì)二維離散傅立葉變換…………（2）傅立葉變換及其性質(zhì)二維離散傅立葉變換性質(zhì)線性可分離性

一個(gè)二維離散傅立葉變換可以先后兩次運(yùn)用一維傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)。

（2）傅立葉變換及其性質(zhì)平移性傅立葉變換的幅值不變：周期性和共軛對(duì)稱性

（2）傅立葉變換及其性質(zhì)旋轉(zhuǎn)不變性+0比例性（2）傅立葉變換及其性質(zhì)平均值性質(zhì)微分性質(zhì)變換（2）傅立葉變換及其性質(zhì)卷積定理對(duì)離散傅立葉變換，應(yīng)用卷積定理時(shí)，需要對(duì)f(x,y)和g(x,y)的變量域重新定義，即增補(bǔ)0為擴(kuò)充函數(shù)形式（避免交疊誤差）。快速傅立葉變換（FFT）——（略）（2）傅立葉變換及其性質(zhì)（2）傅立葉變換及其性質(zhì)（2）傅立葉變換及其性質(zhì)頻域圖像（幅度譜）原圖像（3）離散圖像變換的一般形式（1）基本概念離散線性變換、酉變換、正交變換（3）離散圖像變換的一般形式正交變換T的每一行稱為該正交變換的正交基，或基函數(shù)。（3）離散圖像變換的一般形式MMMMMM圖像圖像矩陣形式中，F(xiàn)(x,y)可以表示為M×N維的矢量（“拉直”運(yùn)算）。圖像0uM-1;0v

N-1;

對(duì)應(yīng)二維變換核函數(shù)的核矩陣其每一行也可視為一個(gè)M×N圖像的“拉直”運(yùn)算構(gòu)成，因此，核函數(shù)可以視為由一組基圖像組成。MN×MN有（3）離散圖像變換的一般形式“基圖像”示例（3）離散圖像變換的一般形式M上述代數(shù)表達(dá)式可以表示為矩陣形式：其中Tr，Tc滿足正交變換。（3）離散圖像變換的一般形式離散變換可表示如下：將圖像f

表示為為M×M

;為N×N

[P][P]…….........

[p]和[Q]

為非奇異的。

[P]（3）離散圖像變換的一般形式對(duì)離散付氏變換：變換核[p]=[WMM]，[Q]=[WNN]其代數(shù)形式即：

[WMM]的元素為：wmu=[WNN]的元素為：[P]wnu=v（4）離散余弦變換二維離散余弦變換DCT——反變換——（4）離散余弦變換離散余弦變換實(shí)際上是利用了傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分構(gòu)成的變換。傅立葉變換中，當(dāng)f(x,y)為實(shí)對(duì)稱時(shí)，sin項(xiàng)為零，只余cos項(xiàng)。可由四幅M×N的原圖拼成2M×2N的實(shí)對(duì)稱圖像（沿原圖的水平、垂直二邊界拼接四幅圖）定義：四幅拼合對(duì)稱點(diǎn)在(-1/2,-1/2)之處。-1-1mn（4）離散余弦變換DCT變換的矩陣形式…………......…T（4）離散余弦變換例：求下列圖像的余弦變換（4）離散余弦變換原圖像余弦變換（4）離散余弦變換將大部分信息濾掉重構(gòu)圖像(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換離散沃爾什變換（Walsh,DWT）（思想：核矩陣中只有+1和-1元素，要求N=2p，是對(duì)稱的可分離的酉矩陣）(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換NN=2N=4N=8xu010123012345670++++++++++++++1+-++--++++----2+-+-++--++--3+--+++----++4+-+-+-+-5+-+--+-+6+--++--+7+--+-++-N=2,4,8時(shí)的沃爾什變換核(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換u=0u=3u=6u=5u=1u=2u=4u=7N=8時(shí)變換核的行向量（基函數(shù)）(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換二維離散沃爾什變換：(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換例：求下列圖像的DWT(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換—沃爾什變換本質(zhì)上將一個(gè)函數(shù)變換為取值為+1或-1的基向量構(gòu)成的級(jí)數(shù)；—類似于頻率函數(shù)，但又不同于頻率函數(shù)；—以過零點(diǎn)數(shù)目替代頻率的概念，稱為序率；—沃爾什變換具有能量集中的作用。原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此沃爾什變換可以壓縮圖像信息。且變換比傅立葉變換快?！?jì)算簡(jiǎn)單。(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換離散哈達(dá)瑪變換（Hadamard）—哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換—其與沃爾什變換的區(qū)別是變換核矩陣行的次序不同—哈達(dá)瑪變換最大優(yōu)點(diǎn)在于變換核矩陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，即高階的變換矩陣可以用低階轉(zhuǎn)換矩陣構(gòu)成?！?5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換對(duì)于二維圖像，其變換為

H(m,n)=H(m,x)f(x,y)H(n,y)矩陣H同一維。(5)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換例：求下列圖像的哈達(dá)瑪變換（6）K-L變換即Karhunen-Loeve

展開，又稱為Hotelling變換，或主成分分析。基本思想—尋找隨機(jī)分布數(shù)據(jù)所在空間的一組正交基，使得原始數(shù)據(jù)變換到此正交基組成的空間表示后，數(shù)據(jù)樣本的各個(gè)分量間的統(tǒng)計(jì)互相關(guān)性降低到最低點(diǎn)。此組正交基也稱為主成分（主分量）。（6）K-L變換特征值和特征向量：…特征向量是相互正交的（6）K-L變換K-L變換協(xié)方差矩陣——…根據(jù)iifi是一個(gè)樣本，（6）K-L變換——求協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量——

定義變換核矩陣…

T(f－

)T

E{(f－

)(f－

)T}=T

Cf

F的協(xié)方差陣（6）K-L變換K-L變換的性質(zhì)：F的均值為0；F的協(xié)方差矩陣為對(duì)角陣——數(shù)據(jù)各分量間無相關(guān)性；A-1=AT在變換域中，能量集中在值大的對(duì)應(yīng)的分量上。

特征向量（主成分）

（6）K-L變換圖像的K-L變換（例）圖像數(shù)據(jù)壓縮——多光譜圖像的每個(gè)象素對(duì)應(yīng)多個(gè)譜帶（多通道），例有10001000的24通道多光譜圖像，則可以視為一百萬個(gè)24分量的隨機(jī)向量的集合。由于不同通道間存在很大相關(guān)性，所以經(jīng)K-L變換后，24個(gè)特征值中許多很小——忽略后可用較少的維數(shù)表示（降維），經(jīng)傳輸后做反變換重構(gòu)，只產(chǎn)生很小誤差。某些應(yīng)用中，將二維圖像采用行堆疊或列堆疊轉(zhuǎn)換為一維處理。如人臉識(shí)別（每個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)一個(gè)“特征臉”）。（7）小波變換小波分析——時(shí)-頻局部化分析；多尺度（多分辨）分析；（猶如通過觀察“鏡頭”的推拉和平移，聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)）（一）時(shí)頻分析的概念傅立葉變換是全局域變換，不能提供信號(hào)在某個(gè)時(shí)間段上的頻率信息。如希望知道在某些突變時(shí)刻附近的頻率成分要求局部分析。Gabor變換（短時(shí)傅立葉變換/加窗傅立葉變換）基本思想——把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。（7）小波變換定義：采用高斯函數(shù)作為窗函數(shù)可以推導(dǎo)——Gabor變換以窗口分解了f(t)的頻譜，當(dāng)窗在整個(gè)時(shí)間軸上移動(dòng)時(shí)，給出完整的頻譜。（平方可積）對(duì)于（7）小波變換重構(gòu)公式同樣，若在頻域加窗（用g(t)的傅立葉變換），則可以認(rèn)為，其在時(shí)域的反變換以窗口分解了f(t)，當(dāng)窗在整個(gè)頻域上移動(dòng)時(shí)，給出完整的信號(hào)。希望的窗口選擇：變化劇烈處—時(shí)窗窄（則頻窗寬），以提取高頻成分；變化緩慢處—時(shí)窗寬（則頻窗窄），以保證較高的頻率分辨率。但Gabor變換時(shí)-頻窗固定，不能反映信號(hào)不同局部的細(xì)節(jié)變化。（7）小波變換Gabor變換的特點(diǎn)變換核（7）小波變換考慮Gabor變換的變換核具有振蕩衰減的性質(zhì)——希望窗口尺度可調(diào)小波函數(shù)(wavelet)的提出。小波概念：定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數(shù)。“小”是指在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，“波”是指具有正負(fù)交替的波動(dòng)性。小波應(yīng)是一個(gè)具有振蕩性和迅速衰減的波。（7）小波變換小波變換的定義：設(shè)函數(shù)f(t)∈L2(R)，則小波變換的定義如下：核函數(shù)Ψ(t)中，a＞0為尺度參數(shù)（伸縮參數(shù)）,b為定位參數(shù)（平移參數(shù)），該函數(shù)稱為小波。若a＞1函數(shù)Ψ(t)具有伸展作用，若a＜1函數(shù)Ψ(t)具有收縮作用。伸縮參數(shù)a對(duì)Ψ(t)的影響如下圖：f(t)－（7）小波變換圖中小波函數(shù)為ψ(t)=te。當(dāng)a=2,b=15時(shí)，ψ2,15(t)的波形從原點(diǎn)向右移至t=15，且波形展寬。當(dāng)a=0.5，b=-10時(shí)，ψ1/2,-10(t)的波形從原點(diǎn)向左移至t=-10,且波形收縮。-t2（7）小波變換小波函數(shù)滿足的條件——(1)緊支撐性（Compactsupport），即在一個(gè)很小的區(qū)域之外函數(shù)均為零，函數(shù)具有速降特性。(2)平均值為零，即：而且其高階矩也為零：…（7）小波變換容許條件：此時(shí)稱稱為一個(gè)“基小波”或“母小波”?！鸦〔ǖ暮瘮?shù)作位移后，再在不同尺度下與待分析信號(hào)作內(nèi)積，就可以得到一個(gè)小波序列。要求（7）小波變換（二）多分辨分析的概念

多分辨分析（多尺度分析）是小波分析中最重要的概念之一，它將一個(gè)函數(shù)表示為一個(gè)低頻成分與不同分辨率下的高頻成分，并且多分辨分析能提供一種構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，提供函數(shù)分解與重構(gòu)的快速算法。圖像的塔式表示設(shè)原始圖像為10241024，減小分辨率（間隔采樣）512512256256…11。若依次提取圖像邊緣得到:細(xì)邊緣較粗邊緣更粗邊緣…

在不同分辨率下，可以檢測(cè)到不同尺度的特征。（7）小波變換J級(jí)（基）(J-1)級(jí)2級(jí)1級(jí)0級(jí)...對(duì)原始圖像（J級(jí)）進(jìn)行濾波亞采樣（間隔采樣）得到第（J-1)級(jí)近似圖像。由（J-1)級(jí)近似圖像進(jìn)行過采樣（內(nèi)插）得到對(duì)第J級(jí)的預(yù)測(cè)圖像（與J級(jí)同分辨率）。將J級(jí)圖像與預(yù)測(cè)圖像的差作為第（J-1)級(jí)的誤差圖像。從（J-1)級(jí)開始重復(fù)此過程塔式表示。一般截止在（J-P）級(jí)。（濾波可以是高斯低通，或直接22鄰域平均）由誤差圖像和最終的（J-P）級(jí)近似圖像，可以反向重構(gòu)原始圖像。（塔式編碼）（7）小波變換（三）多分辨表示1、級(jí)數(shù)展開將函數(shù)展開為k—展開系數(shù)；{k(x)}—基函數(shù)族；所有k(x)形成一個(gè)函數(shù)空間，表示為若f(x)V，則f(x)可以表示為（3.7.1）

——（3.7.1）要求：對(duì)所有存在滿足（7）小波變換2、尺度函數(shù)考慮上述基函數(shù)族由(x)的平移和伸縮構(gòu)成：（j,k為整數(shù)）其中

k—平移；j—(x)的伸縮。稱(x)為尺度（化）函數(shù)。若選擇合適的(x)，則{j,k(x)}可以展開任意的f(x)L2(R)

——（3.7.2）若固定j=j0,則{Φj0,k(x)}為{Φj,k(x)}的子集。對(duì)任意j，其對(duì)應(yīng)的子空間為（j為參量）（7）小波變換要求尺度函數(shù)必須滿足（Mallat,1989)尺度函數(shù)與它的整數(shù)平移是正交的；較大尺度的子空間包含在較小尺度的子空間內(nèi)；只有f(x)=0是包含在所有子空間內(nèi)的；任何函數(shù)可以被表示成任意精度；（j大時(shí)形狀細(xì)窄

x有很小的變化即可分開可“觀測(cè)”更多的細(xì)節(jié)）小尺度細(xì)刻度某個(gè)尺度的子空間對(duì)應(yīng)某個(gè)分辨率的表示——小尺度（j大）對(duì)應(yīng)高分辨率，包含了大尺度（低分辨率）的信息。表示為：V-∞…V-1V0V1V2…V∞V-∞表示沒有任何可用信息；f(x)=0

可以用最粗糙的V-∞來表示。（7）小波變換根據(jù)上述條件，VjVj+1，則應(yīng)有將（3.7.2）代入，得由則多分辨分析（MRA）方程（膨脹方程）——子空間的展開函數(shù)可以由二倍分辨率空間的函數(shù)自身復(fù)制而來（參考子空間的選擇是任意的）。

——（3.7.3）（7）小波變換3、小波函數(shù)小波函數(shù)ψ(x)——用于把兩個(gè)相鄰的不同尺度的子空間Vj和Vj+1的“差”展開。定義小波函數(shù)集{

j,k(x)}為

——（3.7.4）尺度函數(shù)空間與小波函數(shù)空間的關(guān)系——Vj+1=Vj⊕Wj小波函數(shù)子空間為（⊕—聯(lián)合，張量積）（7）小波變換Wj為Vj+1空間中Vj的正交補(bǔ)集。即〈j,k(x),

j,l(x)〉=0（對(duì)所有的j,k,l）所有可測(cè)、平方可積函數(shù)可表示為L(zhǎng)2(R)=V0⊕W0⊕W1⊕…

V0W0W1W2

——（3.7.5）（7）小波變換由于小波空間包含在較高分辨率的尺度空間，則任意小波函數(shù)可以象膨脹方程一樣表示為：（小波函數(shù)系數(shù)）——尺度函數(shù)可用來構(gòu)造小波函數(shù)。[例]—Haar函數(shù)

——（3.7.6）（7）小波變換0123012301230123????????（7）小波變換由尺度函數(shù)構(gòu)造的小波函數(shù)即012301230123?????????（7）小波變換4、一維小波變換小波級(jí)數(shù)展開根據(jù)（3.7.5）,有（j0—任意初始尺度）

——（3.7.7）（7）小波變換[例]將用Haar小波展開取j0=0，則得到V1=V0W0V2=V1W1=V0W0W1…V0（7）小波變換011011011