數字圖像處理第3章

數字圖像處理

第三章常用數學變換主要內容線性系統(tǒng)和卷積運算傅立葉變換及其性質離散圖象變換的一般形式離散余弦變換沃爾什變換和哈達瑪變換K-L變換小波變換（1）線性系統(tǒng)和卷積運算系統(tǒng)x(t)輸入y(t)輸出線性系統(tǒng)的定義：

對于某系統(tǒng)有

y(t)={x(t)}該系統(tǒng)是線性的當且僅當

{ax1(t)

+bx2(t)}

=a{x1(t)

}+b

{x2(t)

}=ay1(t)+b

y2(t)

（疊加原理）（1）線性系統(tǒng)和卷積運算線性空不變（移不變）系統(tǒng)

定義：定義二維沖激響應函數

h(x,y,,)={(x-,y-)}

—(x,y)為二維Dirac函數若

h(x,y,,)=h(x-,y-)，則系統(tǒng)為“空不變”系統(tǒng)。沖激響應h的傅立葉變換稱為傳遞函數。（1）線性系統(tǒng)和卷積運算卷積定義：

已知線性空不變系統(tǒng)的沖激響應函數h(x,y),

設輸入f(x,y)，則輸出

y(x,y)={f(x,y)}={

f(,)(x-,y-)dd

}=

f(,){(x-,y-)}dd

=

f(,)h(x-,y-)dd

即

y(x,y)=

f(,)h(x-,y-)dd

=

f(x-,y-)h(,)dd

一般表示為

y(x,y)=f(x,y)h(x,y)（1）線性系統(tǒng)和卷積運算離散形式卷積：y(i,j)=f(m,n)h(i-m,j-n)卷積性質——

交換性

加法的分配率

結合率

求導的性質（2）傅立葉變換及其性質正交變換——

一個實函數或復函數若用x(t)表示，其定義域為(t0,t0+T)，在此區(qū)間可展開為：m

——變換核（2）傅立葉變換及其性質則m稱為正交函數，當c=1時稱為歸一化（標準）正交函數。

圖像處理中用到的變換核均為正交函數。變換是工具，一個域特征不突出到變換域則突出。信號處理中常把空域信號變換到變換域進行處理。

(例如：傅立葉變換后的零頻分量，正比于圖像的平均亮度，而高頻分量代表圖像中邊緣幅度和方向；可用于圖像的變換編碼以壓縮頻帶，如對幅度小的變換系數或者丟棄，或者粗量化。)

（2）傅立葉變換及其性質一維連續(xù)傅立葉變換（2）傅立葉變換及其性質一維離散傅立葉變換(DCT)N（2）傅立葉變換及其性質二維連續(xù)傅立葉變換（2）傅立葉變換及其性質二維離散傅立葉變換…………（2）傅立葉變換及其性質二維離散傅立葉變換性質線性可分離性

一個二維離散傅立葉變換可以先后兩次運用一維傅立葉變換來實現。

（2）傅立葉變換及其性質平移性傅立葉變換的幅值不變：周期性和共軛對稱性

（2）傅立葉變換及其性質旋轉不變性+0比例性（2）傅立葉變換及其性質平均值性質微分性質變換（2）傅立葉變換及其性質卷積定理對離散傅立葉變換，應用卷積定理時，需要對f(x,y)和g(x,y)的變量域重新定義，即增補0為擴充函數形式（避免交疊誤差）?？焖俑盗⑷~變換（FFT）——（略）（2）傅立葉變換及其性質（2）傅立葉變換及其性質（2）傅立葉變換及其性質頻域圖像（幅度譜）原圖像（3）離散圖像變換的一般形式（1）基本概念離散線性變換、酉變換、正交變換（3）離散圖像變換的一般形式正交變換T的每一行稱為該正交變換的正交基，或基函數。（3）離散圖像變換的一般形式MMMMMM圖像圖像矩陣形式中，F(x,y)可以表示為M×N維的矢量（“拉直”運算）。圖像0uM-1;0v

N-1;

對應二維變換核函數的核矩陣其每一行也可視為一個M×N圖像的“拉直”運算構成，因此，核函數可以視為由一組基圖像組成。MN×MN有（3）離散圖像變換的一般形式“基圖像”示例（3）離散圖像變換的一般形式M上述代數表達式可以表示為矩陣形式：其中Tr，Tc滿足正交變換。（3）離散圖像變換的一般形式離散變換可表示如下：將圖像f

表示為為M×M

;為N×N

[P][P]…….........

[p]和[Q]

為非奇異的。

[P]（3）離散圖像變換的一般形式對離散付氏變換：變換核[p]=[WMM]，[Q]=[WNN]其代數形式即：

[WMM]的元素為：wmu=[WNN]的元素為：[P]wnu=v（4）離散余弦變換二維離散余弦變換DCT——反變換——（4）離散余弦變換離散余弦變換實際上是利用了傅立葉變換的實數部分構成的變換。傅立葉變換中，當f(x,y)為實對稱時，sin項為零，只余cos項。可由四幅M×N的原圖拼成2M×2N的實對稱圖像（沿原圖的水平、垂直二邊界拼接四幅圖）定義：四幅拼合對稱點在(-1/2,-1/2)之處。-1-1mn（4）離散余弦變換DCT變換的矩陣形式…………......…T（4）離散余弦變換例：求下列圖像的余弦變換（4）離散余弦變換原圖像余弦變換（4）離散余弦變換將大部分信息濾掉重構圖像(5)沃爾什變換和哈達瑪變換離散沃爾什變換（Walsh,DWT）（思想：核矩陣中只有+1和-1元素，要求N=2p，是對稱的可分離的酉矩陣）(5)沃爾什變換和哈達瑪變換NN=2N=4N=8xu010123012345670++++++++++++++1+-++--++++----2+-+-++--++--3+--+++----++4+-+-+-+-5+-+--+-+6+--++--+7+--+-++-N=2,4,8時的沃爾什變換核(5)沃爾什變換和哈達瑪變換u=0u=3u=6u=5u=1u=2u=4u=7N=8時變換核的行向量（基函數）(5)沃爾什變換和哈達瑪變換二維離散沃爾什變換：(5)沃爾什變換和哈達瑪變換例：求下列圖像的DWT(5)沃爾什變換和哈達瑪變換(5)沃爾什變換和哈達瑪變換—沃爾什變換本質上將一個函數變換為取值為+1或-1的基向量構成的級數；—類似于頻率函數，但又不同于頻率函數；—以過零點數目替代頻率的概念，稱為序率；—沃爾什變換具有能量集中的作用。原始數據中數字越是均勻分布，經變換后的數據越集中于矩陣的邊角上。因此沃爾什變換可以壓縮圖像信息。且變換比傅立葉變換快?！嬎愫唵?。(5)沃爾什變換和哈達瑪變換離散哈達瑪變換（Hadamard）—哈達瑪變換本質上是一種特殊排序的沃爾什變換—其與沃爾什變換的區(qū)別是變換核矩陣行的次序不同—哈達瑪變換最大優(yōu)點在于變換核矩陣具有簡單的遞推關系，即高階的變換矩陣可以用低階轉換矩陣構成?！?5)沃爾什變換和哈達瑪變換對于二維圖像，其變換為

H(m,n)=H(m,x)f(x,y)H(n,y)矩陣H同一維。(5)沃爾什變換和哈達瑪變換例：求下列圖像的哈達瑪變換（6）K-L變換即Karhunen-Loeve

展開，又稱為Hotelling變換，或主成分分析?；舅枷搿獙ふ译S機分布數據所在空間的一組正交基，使得原始數據變換到此正交基組成的空間表示后，數據樣本的各個分量間的統(tǒng)計互相關性降低到最低點。此組正交基也稱為主成分（主分量）。（6）K-L變換特征值和特征向量：…特征向量是相互正交的（6）K-L變換K-L變換協(xié)方差矩陣——…根據iifi是一個樣本，（6）K-L變換——求協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量——

定義變換核矩陣…

T(f－

)T

E{(f－

)(f－

)T}=T

Cf

F的協(xié)方差陣（6）K-L變換K-L變換的性質：F的均值為0；F的協(xié)方差矩陣為對角陣——數據各分量間無相關性；A-1=AT在變換域中，能量集中在值大的對應的分量上。

特征向量（主成分）

（6）K-L變換圖像的K-L變換（例）圖像數據壓縮——多光譜圖像的每個象素對應多個譜帶（多通道），例有10001000的24通道多光譜圖像，則可以視為一百萬個24分量的隨機向量的集合。由于不同通道間存在很大相關性，所以經K-L變換后，24個特征值中許多很小——忽略后可用較少的維數表示（降維），經傳輸后做反變換重構，只產生很小誤差。某些應用中，將二維圖像采用行堆疊或列堆疊轉換為一維處理。如人臉識別（每個特征向量對應一個“特征臉”）。（7）小波變換小波分析——時-頻局部化分析；多尺度（多分辨）分析；（猶如通過觀察“鏡頭”的推拉和平移，聚焦到信號的任意細節(jié)）（一）時頻分析的概念傅立葉變換是全局域變換，不能提供信號在某個時間段上的頻率信息。如希望知道在某些突變時刻附近的頻率成分要求局部分析。Gabor變換（短時傅立葉變換/加窗傅立葉變換）基本思想——把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。（7）小波變換定義：采用高斯函數作為窗函數可以推導——Gabor變換以窗口分解了f(t)的頻譜，當窗在整個時間軸上移動時，給出完整的頻譜。（平方可積）對于（7）小波變換重構公式同樣，若在頻域加窗（用g(t)的傅立葉變換），則可以認為，其在時域的反變換以窗口分解了f(t)，當窗在整個頻域上移動時，給出完整的信號。希望的窗口選擇：變化劇烈處—時窗窄（則頻窗寬），以提取高頻成分；變化緩慢處—時窗寬（則頻窗窄），以保證較高的頻率分辨率。但Gabor變換時-頻窗固定，不能反映信號不同局部的細節(jié)變化。（7）小波變換Gabor變換的特點變換核（7）小波變換考慮Gabor變換的變換核具有振蕩衰減的性質——希望窗口尺度可調小波函數(wavelet)的提出。小波概念：定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數。“小”是指在時域具有緊支集或近似緊支集，“波”是指具有正負交替的波動性。小波應是一個具有振蕩性和迅速衰減的波。（7）小波變換小波變換的定義：設函數f(t)∈L2(R)，則小波變換的定義如下：核函數Ψ(t)中，a＞0為尺度參數（伸縮參數）,b為定位參數（平移參數），該函數稱為小波。若a＞1函數Ψ(t)具有伸展作用，若a＜1函數Ψ(t)具有收縮作用。伸縮參數a對Ψ(t)的影響如下圖：f(t)－（7）小波變換圖中小波函數為ψ(t)=te。當a=2,b=15時，ψ2,15(t)的波形從原點向右移至t=15，且波形展寬。當a=0.5，b=-10時，ψ1/2,-10(t)的波形從原點向左移至t=-10,且波形收縮。-t2（7）小波變換小波函數滿足的條件——(1)緊支撐性（Compactsupport），即在一個很小的區(qū)域之外函數均為零，函數具有速降特性。(2)平均值為零，即：而且其高階矩也為零：…（7）小波變換容許條件：此時稱稱為一個“基小波”或“母小波”。——把基小波的函數作位移后，再在不同尺度下與待分析信號作內積，就可以得到一個小波序列。要求（7）小波變換（二）多分辨分析的概念

多分辨分析（多尺度分析）是小波分析中最重要的概念之一，它將一個函數表示為一個低頻成分與不同分辨率下的高頻成分，并且多分辨分析能提供一種構造小波的統(tǒng)一框架，提供函數分解與重構的快速算法。圖像的塔式表示設原始圖像為10241024，減小分辨率（間隔采樣）512512256256…11。若依次提取圖像邊緣得到:細邊緣較粗邊緣更粗邊緣…

在不同分辨率下，可以檢測到不同尺度的特征。（7）小波變換J級（基）(J-1)級2級1級0級...對原始圖像（J級）進行濾波亞采樣（間隔采樣）得到第（J-1)級近似圖像。由（J-1)級近似圖像進行過采樣（內插）得到對第J級的預測圖像（與J級同分辨率）。將J級圖像與預測圖像的差作為第（J-1)級的誤差圖像。從（J-1)級開始重復此過程塔式表示。一般截止在（J-P）級。（濾波可以是高斯低通，或直接22鄰域平均）由誤差圖像和最終的（J-P）級近似圖像，可以反向重構原始圖像。（塔式編碼）（7）小波變換（三）多分辨表示1、級數展開將函數展開為k—展開系數；{k(x)}—基函數族；所有k(x)形成一個函數空間，表示為若f(x)V，則f(x)可以表示為（3.7.1）

——（3.7.1）要求：對所有存在滿足（7）小波變換2、尺度函數考慮上述基函數族由(x)的平移和伸縮構成：（j,k為整數）其中

k—平移；j—(x)的伸縮。稱(x)為尺度（化）函數。若選擇合適的(x)，則{j,k(x)}可以展開任意的f(x)L2(R)

——（3.7.2）若固定j=j0,則{Φj0,k(x)}為{Φj,k(x)}的子集。對任意j，其對應的子空間為（j為參量）（7）小波變換要求尺度函數必須滿足（Mallat,1989)尺度函數與它的整數平移是正交的；較大尺度的子空間包含在較小尺度的子空間內；只有f(x)=0是包含在所有子空間內的；任何函數可以被表示成任意精度；（j大時形狀細窄

x有很小的變化即可分開可“觀測”更多的細節(jié)）小尺度細刻度某個尺度的子空間對應某個分辨率的表示——小尺度（j大）對應高分辨率，包含了大尺度（低分辨率）的信息。表示為：V-∞…V-1V0V1V2…V∞V-∞表示沒有任何可用信息；f(x)=0

可以用最粗糙的V-∞來表示。（7）小波變換根據上述條件，VjVj+1，則應有將（3.7.2）代入，得由則多分辨分析（MRA）方程（膨脹方程）——子空間的展開函數可以由二倍分辨率空間的函數自身復制而來（參考子空間的選擇是任意的）。

——（3.7.3）（7）小波變換3、小波函數小波函數ψ(x)——用于把兩個相鄰的不同尺度的子空間Vj和Vj+1的“差”展開。定義小波函數集{

j,k(x)}為

——（3.7.4）尺度函數空間與小波函數空間的關系——Vj+1=Vj⊕Wj小波函數子空間為（⊕—聯(lián)合，張量積）（7）小波變換Wj為Vj+1空間中Vj的正交補集。即〈j,k(x),

j,l(x)〉=0（對所有的j,k,l）所有可測、平方可積函數可表示為L2(R)=V0⊕W0⊕W1⊕…

V0W0W1W2

——（3.7.5）（7）小波變換由于小波空間包含在較高分辨率的尺度空間，則任意小波函數可以象膨脹方程一樣表示為：（小波函數系數）——尺度函數可用來構造小波函數。[例]—Haar函數

——（3.7.6）（7）小波變換0123012301230123????????（7）小波變換由尺度函數構造的小波函數即012301230123?????????（7）小波變換4、一維小波變換小波級數展開根據（3.7.5）,有（j0—任意初始尺度）

——（3.7.7）（7）小波變換[例]將用Haar小波展開取j0=0，則得到V1=V0W0V2=V1W1=V0W0W1…V0（7）小波變換011011011