數(shù)學(xué)建模最佳市場(chǎng)價(jià)格

西瓜最佳市場(chǎng)價(jià)格【摘要】市場(chǎng)僅有兩家銷售西瓜，因此構(gòu)成一個(gè)壟斷體系，通過彼此產(chǎn)量競(jìng)爭以及是否先把貨物投放市場(chǎng)來謀求個(gè)人利益最大化。本文通過分析市場(chǎng)價(jià)格，算出市場(chǎng)總利潤u€pq-0.5q，此時(shí)各自利潤最大。但是這個(gè)產(chǎn)量組合是不穩(wěn)定的，任意一方增加產(chǎn)量會(huì)使其利潤增加，所以當(dāng)牛仔q€900時(shí)獲得了更多的利潤。王婆用“計(jì)中計(jì)”預(yù)先z向市場(chǎng)公布自己的種植量，采取先動(dòng)優(yōu)勢(shì)，獲得了較大的利益u€900。但是在這種情lw況下，牛仔是不會(huì)不種植的。由此，最后兩家合作，利用Nash均衡，求出當(dāng)，如果違約，任何一個(gè)瓜農(nóng)單獨(dú)提高或降低種植量時(shí)，都只會(huì)減少而不會(huì)增加利潤，因此，該產(chǎn)量組合是一個(gè)均衡。本文將西瓜種植推廣到更普遍的經(jīng)濟(jì)學(xué)中壟斷競(jìng)爭現(xiàn)象，雙方進(jìn)行博弈，以謀求利益的最大化。對(duì)兩種較為典型的寡頭進(jìn)入方式，即：所有寡頭同時(shí)生產(chǎn)商品進(jìn)入市場(chǎng)；某個(gè)寡頭等待其他頭先生產(chǎn)，依據(jù)對(duì)方產(chǎn)量決定自己產(chǎn)量和利潤。我們得出：采取先動(dòng)優(yōu)勢(shì)，能使自己的利潤遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他競(jìng)爭者。關(guān)鍵詞：Nash均衡壟斷博弈論一問題陳述王婆和牛仔是自由市場(chǎng)上僅有的兩個(gè)出售西瓜的農(nóng)民，二人種植西瓜的成本均為每個(gè)西瓜0.5元，西瓜的市場(chǎng)價(jià)格為p€—丄,其中q€q+q為二人提供的西瓜1600 wz數(shù)量之和。問題一：是王婆和牛仔同時(shí)播種，且二人對(duì)自己和對(duì)方的成本及市場(chǎng)需求具有完全信息，求各自的產(chǎn)量和利潤；問題二：若王婆比牛仔早播種一個(gè)星期，因此牛仔在決定自己的種植量之前，可以知道王婆當(dāng)年的產(chǎn)量(例如，深夜?jié)撊胪跗殴咸?，貝V：如果已知王婆的種植量為qw，牛仔為使利潤最大，應(yīng)該選擇怎樣的種植量？王婆早有所料，她知道牛仔決策方法，因此，根據(jù)她自己的種植量qw就可以推算出牛仔的種植量，從而推算出市場(chǎng)價(jià)格以及自己的利潤。王婆為使利潤最大，應(yīng)該選擇怎樣的種植數(shù)量？在這種情況下，王婆和牛仔誰更有利？問題三：王婆和牛仔商議，兩家一起決策當(dāng)年的種植數(shù)量，各家分種數(shù)量的一半,這個(gè)協(xié)議是否有誘惑力？王婆和牛仔是否有積極性自覺遵守該協(xié)議？二問題分析市場(chǎng)僅有兩家銷售西瓜，因此構(gòu)成一個(gè)壟斷體系，通過彼此產(chǎn)量競(jìng)爭以及是否先把貨物投放市場(chǎng)來謀求個(gè)人利益最大化。在第一問中，兩家同時(shí)入市，且兩家對(duì)自己和對(duì)方的成本及市場(chǎng)需求具有完全信息，彼此都想獲得最大利益，因此通過分析市場(chǎng)價(jià)格P€―丄，市場(chǎng)價(jià)格由兩家的總產(chǎn)1600量共同決定：當(dāng)產(chǎn)量過多時(shí)，每個(gè)西瓜的價(jià)格會(huì)過低，每個(gè)西瓜的利潤過低；當(dāng)產(chǎn)量過少時(shí)，每個(gè)西瓜的價(jià)格雖然很高，但是量少了總利潤也隨之減少。因此如何決定兩家的總產(chǎn)量使總利潤最大化是本問的關(guān)鍵。在第二問a中，牛仔知道了王婆的種植量，分析自己的利潤函數(shù)是一元二次方程，可求得最大利潤。在第二問b中，王婆知道了牛仔的的“計(jì)謀”，他們采取“計(jì)中計(jì)”即：預(yù)先向市場(chǎng)公布自己的種植量，用以引誘牛仔上鉤”之后根據(jù)牛仔的種植量，決定自己的實(shí)際產(chǎn)量。在第二問c中，這樣算出前兩問的利潤，對(duì)比就知道誰更有利了。在第三問中，兩人合作，決定各自的產(chǎn)量及利潤。三模型假設(shè)1瓜農(nóng)種植的西瓜是相同的，消費(fèi)者沒有對(duì)某個(gè)瓜農(nóng)的偏好。供給增加不會(huì)導(dǎo)致過剩，而僅僅使價(jià)格降低，即瓜農(nóng)可以將種植的西瓜全部售出。瓜農(nóng)都是理性的，即面對(duì)既定的情況都做出決策使自己利益最大化。四符號(hào)說明1、q表示兩家種植總產(chǎn)量；

2、q——表示王婆的種植產(chǎn)量；3、wq——表示牛仔的種植產(chǎn)量；4、zu——市場(chǎng)總利潤；5、uu——表示王婆、牛仔的利潤；6、wzp—表示市場(chǎng)價(jià)格；7、c——表示西瓜成本；8、Q—表示王婆預(yù)先公布的種植量19q——表示王婆實(shí)際種植量；五模型建立及求解問題一5.1.確定市場(chǎng)總利潤及各自利潤由p=2-q仝q€q<3200，得單個(gè)西瓜的利潤為:1600wzu=2,厶，cu=2,厶，c=2,丄

單 1600 1600由此知道市場(chǎng)總利潤得：(

—q2——0.5?0所以q…2400即q+q…2400wzu-qf2,丄-c]A1600丿-0.51600丿(_q[1.5_1600<Ru當(dāng)u最大時(shí)，———0得q-1200此時(shí)u—900TOC\o"1-5"\h\zRq max兩家都想獲得最大利潤，那么兩家都應(yīng)該公平的分得產(chǎn)量為q—q— —600wz2所以王婆和牛仔各自的利潤為：u—q(2--^-0.5)—450w% 1600u—q(2--^-0.5)—450z z 1600問題二5.2.1重新確定牛仔的利潤因?yàn)橐呀?jīng)知道了王婆的種植量qw，貝V：u-q(2-qw€qz-0.5)=1.5q-1q2-iJL，因?yàn)閝w是知道的,所以可以看成是關(guān)于qzzz1600z1600z1600Ru的一元二次函數(shù)，當(dāng)u最大時(shí)，〒六-0得q-1200-0.5q。又因?yàn)樵诓恢琅Ｗ惺欠駔 Rq z wz同時(shí)播種的時(shí)候，由于有問題一的假設(shè)，王婆應(yīng)該是種植600個(gè)西瓜，那么現(xiàn)在牛仔應(yīng)該種植900個(gè)西瓜，則牛仔的利潤為：u-506.25z所以，牛仔通過確定王婆家的數(shù)量，改變自己的產(chǎn)量，比原來方案的利潤明顯增加了。此時(shí)，u-337.5王婆家比原來的利潤大幅度減少，而牛仔是最大的贏家。w

5.2.2“計(jì)中計(jì)”更是贏家王婆知道牛仔的“計(jì)謀”，采取計(jì)中計(jì)，即：預(yù)先向市場(chǎng)公布自己的種植量QQ€q），用以引誘牛仔“上鉤”lw=q(2-=q(2-z-0.5)z1600當(dāng)u最大時(shí)，竺，1.5當(dāng)u最大時(shí)，竺，1.5-工-

z ?q 1600zq+q05)lw*—0.5)1600iw，0，得q?q lwlw則：u，q(2—lwlw當(dāng)u最大時(shí),lw-需，°得廠1200-°5Q,瞥，此時(shí)王婆家的利潤為u，-^+3Q+225所以u(píng)隨Q的增加而增加。iw25600 16 lw而此時(shí)牛仔的利潤2-qz+qiw-0.5'1600丿,2400-Q22-216004-,2400-Q22-216004-°5,-Q2+576000012800可知在Q大于0時(shí)，u隨Q的增加而減小。z綜上分析，可知王婆向市場(chǎng)公布自己的種植量Q越大，對(duì)他們總收益越有利，但是隨著種植量的增加，每個(gè)瓜的市場(chǎng)單價(jià)也隨之減少。由第一問可知：Q<2400，則由以上公式可得出：u，900（q，1200）u，0（q，0）。lw lw z z5.3.2誰更有利由上述可以知道在這種情況下是王婆更加有利。也就是說誰米取先動(dòng)優(yōu)勢(shì)，能使自己的利潤遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他競(jìng)爭者。問題三5.3兩人合作q+q—z wq+q—z w1600—0.5丿-w ——1600—0.5丿當(dāng)兩家利潤都為最大時(shí)，uu都為最大值，各自一階偏導(dǎo)數(shù)為0zwTOC\o"1-5"\h\zQu q+q 2qz1.5——z w—z0dq 1600 1600z加_q+q 2qw ——w z—wUdq 1600 1600w因?yàn)槭袌?chǎng)西瓜的價(jià)格是根據(jù)市場(chǎng)西則在西瓜成本一樣的情況下，我覺得兩人合作是最好的，因?yàn)槭袌?chǎng)西瓜的價(jià)格是根據(jù)市場(chǎng)西瓜的總量的變化而變化的，如果市場(chǎng)上西瓜的總數(shù)達(dá)到一定的程度或者超過這個(gè)量得話，那么牛仔和王婆就會(huì)出現(xiàn)虧損的現(xiàn)象，所以就必須得策劃這一年在市場(chǎng)上西瓜的量，這樣才能保證各自的利益。于是我們假設(shè)這一年在市場(chǎng)上的總西瓜的數(shù)量為q,根據(jù)問題一可以知道，此時(shí)q，q， ，600時(shí)，取得的利潤是最大的。由二、二問可以知道，假設(shè)你王婆種植1200wz2個(gè)西瓜的時(shí)候，你要確定牛仔一個(gè)也不種，但是這是不現(xiàn)實(shí)的，在這樣情況下只要牛仔再種植600個(gè)，王婆的利潤就會(huì)和種植600個(gè)的利潤一樣了。都是450.所以兩人只有合作，才可以在最少的投資中獲得最大的利潤。所以，兩家一起決策當(dāng)年的種植數(shù)量，各家分種數(shù)量的一半，是很有誘惑力的。王婆和牛仔也會(huì)積極自覺遵守該協(xié)議的。六模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：深入的研究了兩方種植商競(jìng)爭的策略，給出了彼此獲得最大利益時(shí)該如何制定種植量，將博弈論中的Nash均衡應(yīng)用到實(shí)際生活中，并討論了當(dāng)一些種植商應(yīng)用計(jì)謀來優(yōu)先生產(chǎn)，米取先動(dòng)優(yōu)勢(shì)，使自己的利潤遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他競(jìng)爭者。缺點(diǎn)：應(yīng)用Nash均衡，雖然可以使各個(gè)種植商獲得較大利潤，然而這種產(chǎn)量組合給各個(gè)種植商