平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理參考模板范本

=1\*ROMANI.平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理第一章 相變與臨界現(xiàn)象第一節(jié)平衡判據(jù)和平衡條件 對孤立系，判據(jù)為 因?yàn)殪卦黾釉恚胶鈶B(tài)的熵應(yīng)當(dāng)極大。假設(shè)體系和大熱源接觸，體系的T、V不變 U為體系的內(nèi)能，為體系吸收的熱量由于V不變， ∴ ＝0 同理 ∴ 判據(jù)為 由平衡判據(jù)可以導(dǎo)出平衡條件習(xí)題：導(dǎo)出T、P不變的平衡判據(jù)（1）熱平衡條件 將孤立系分為兩部分 內(nèi)能為 ，溫度為 ，各部分體積不變——即沒有互相做功∵∴∵∴∴為熱平衡條件——第0定律 如 ， 將發(fā)生熱傳導(dǎo) 設(shè) ∵ ∴ 即熱量（能量）由高溫部分流向低溫部分（2）力學(xué)平衡條件 習(xí)題（3）相平衡 回顧特征函數(shù)內(nèi)能 焓 自由能 吉布斯函數(shù) 都是廣延量由特征函數(shù)可以導(dǎo)出“所有”熱力學(xué)性質(zhì) 記憶：從加減的項(xiàng)看替換的變量 對多種粒子體系 化學(xué)勢 為增加一個粒子帶來的能量。例如，在T＝0時(shí)，理想氣體費(fèi)米子 是粒子數(shù)帶來的能量變化。 假設(shè)無外力場（如電磁、重力等）， T、P不變，但存在兩種粒子，處于不同的“相”。平衡判據(jù)為 設(shè)，∴ 如果，粒子還會從一個相跑到另一個相，非平衡。選T、P為獨(dú)立變量，相平衡條件為 這在T－P圖上體現(xiàn)為一條曲線，這樣的T－P圖稱之為相圖。例如，冰、水的化學(xué)勢都與T、P有關(guān)，在這曲線上兩相共存。T水冰P 冰和水在“冰區(qū)域”接觸，水會結(jié)冰，但記住，這時(shí)水處于“冰區(qū)域”的T、P之下。 如在“水區(qū)域”接觸，冰處于“水區(qū)域”的T、P，冰會融化。體系在曲線上會發(fā)生相變。 相變是物體宏觀狀態(tài)的一種突然變化，常?？捎靡粋€“序參數(shù)”的突變描述?！蝗蛔兓仨毝炕暧^狀態(tài)’或説‘序參數(shù)’會隨著人們對自然界的認(rèn)識不斷改變。例如，‘序參數(shù)’可以是靜態(tài)結(jié)構(gòu)，統(tǒng)計(jì)漲落，也可以是動力學(xué)行為。 在相變點(diǎn)，特征熱力學(xué)函數(shù)奇異。相變的階用特征熱力學(xué)函數(shù)定義。例如，自由能F（T，V）為特征函數(shù)的體系 不連續(xù) 一級相變 序參數(shù)不連續(xù)，兩相共存、似穩(wěn)態(tài)例如：水、冰 不連續(xù) （連續(xù)） 二級相變 序參數(shù)一級導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，統(tǒng)計(jì)漲落無窮大，普適標(biāo)度行為例如：鐵磁系統(tǒng)如果是二級相變，水變冰的物理圖像是：在時(shí)，出現(xiàn)冰狀板塊，板塊會隨時(shí)間變化，時(shí)而象水，時(shí)而象冰，板塊在達(dá)到體系的尺度?！? 有時(shí)籠統(tǒng)稱二級以上的相變?yōu)檫B續(xù)相變。級相變 例如：KosterlitzThouless相變自旋玻璃相變，類似于二級，但略有不同結(jié)構(gòu)玻璃相變?yōu)槭裁囱芯肯嘧?？因?yàn)樗虅濗w系的特征。例如，研究材料學(xué)的，關(guān)心‘相’的性質(zhì)，研究相變理論的，關(guān)心相變的準(zhǔn)確位置尤其是相變點(diǎn)附近的行為特征。第二節(jié)Isingmodel代表晶格上原子的磁子，最簡單情形假設(shè)只有兩種取向，用描述。<ij>記最緊鄰相互作用。(單位體積)磁化強(qiáng)度M二級相變，準(zhǔn)確解極困難TCT平均場近似近似計(jì)算的要點(diǎn)能算出來物理意義清楚，在極端情形下，應(yīng)正確或大體正確。設(shè)d為空間維數(shù)這一近似略去了相互作用，可準(zhǔn)確計(jì)算當(dāng)d－>∞，或者在長程作用情形，趨向準(zhǔn)確解自恰條件y(M)y=My=tanh(kdM)Y① ② M0M∵ 自由能為極大值 F為極小值，根據(jù)與大熱源接觸、不做功體系的相平衡條件所以， 的任何一個是物理解∴ 在附近，體系有種種特征，如何描述？= =0 很小很小∴= ≈ ∴在＝1/處連續(xù)，但一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因?yàn)閪發(fā)散，是二級相變在＝1/處連續(xù)，這是合理的結(jié)果，（）比熱 第三節(jié)臨界指數(shù)與標(biāo)度變換熱力學(xué)參數(shù) 大量的實(shí)驗(yàn)、理論和數(shù)值模擬研究表明，一般而言，在臨界點(diǎn)附近，遵從冪次行為。這是一件高度非平庸的事情，為什么不是別的什么形式呢？對Ising模型 ~引入~~比熱~ ~磁化率~一般而言， 在平均場近似下∵ ~∴ ∵ ~~ const∴ ∵ ∴ ∴ ~ 習(xí)題：、、、稱為臨界指數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，大量表面看似不同的體系其臨界指數(shù)可以相同，臨界指數(shù)把二級相變系統(tǒng)分為不同普適類。小結(jié)起來，宏觀量的冪次行為是二級相變的重要特征之一，臨界指數(shù)具有普適性，只由對稱性（包括空間維數(shù)）和力程等物理因素決定。臨界指數(shù)之間存在所謂的標(biāo)度關(guān)系，只有確定數(shù)目的指數(shù)試獨(dú)立的。標(biāo)度變換不變性單位體積自由能 在相變點(diǎn)附近，自由能常規(guī)部分不重要假設(shè) 為任意標(biāo)度因子，a,b是常數(shù)。從物理上看，這是一種標(biāo)度變換不變性，從數(shù)學(xué)上看，f是廣義齊次函數(shù)。 ∴ ∴ 習(xí)題： 計(jì)算、并給出其與、的關(guān)系。這些關(guān)系稱為標(biāo)度關(guān)系。換句話說，自由能的標(biāo)度變換不變性假設(shè)，使得Ising模型只有兩個獨(dú)立的臨界指數(shù)。小結(jié)在臨界點(diǎn)附近，物理量遵從冪次行為，臨界指數(shù)具有普適性。標(biāo)度變換不變性可以導(dǎo)出冪次行為，還給出臨界指數(shù)的標(biāo)度關(guān)系，但是沒有回答如何計(jì)算臨界指數(shù)。問題：如何導(dǎo)出標(biāo)度不變性如何計(jì)算臨界指數(shù)如何解釋普適性第四節(jié)實(shí)空間重整化群d維格點(diǎn)上的Ising模型在臨界點(diǎn)附近，關(guān)聯(lián)長度發(fā)散，或說漲落無窮大，所以格點(diǎn)的大小對大范圍性質(zhì)不重要。標(biāo)度變換 a標(biāo)度變換 格距 自旋 組成一個新的注意：越小。 令應(yīng)該具有如下性質(zhì)封閉性如果、 而且交換律結(jié)合律取 為單位元 但是,不存在逆元素∴ 的集合是“半群”。不動點(diǎn) ∴ ∵ ∴ ∴ 顯然 一般的，記 重整化變換 不動點(diǎn) 在不動點(diǎn)附近 簡單記 引入變換問題： 0變到0是不是相變？（應(yīng)該是二級相變）多個相關(guān)參量的意義？小結(jié) 自由能的標(biāo)度變換不變性在不動點(diǎn)附近， 所有臨界指數(shù)第五節(jié)一維Isingmodel取每一自旋塊里,取其中之一自旋為塊自旋,i.e. 恒等式 恒等式代表自由能光滑部分∴ 不動點(diǎn) thK ∵ K∴ , 。關(guān)聯(lián)函數(shù)（或兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)） 當(dāng)足夠大稱為關(guān)聯(lián)長度。在臨界點(diǎn)附近，設(shè)標(biāo)度變換∴因?yàn)樵谂R界點(diǎn)附近發(fā)散，相應(yīng)地漲落無窮大，所以改變格點(diǎn)長度等微觀細(xì)節(jié)，不影響體系的大范圍性質(zhì)，如冪次行為、臨界指數(shù)等，這便是普適性。用重整化群的觀點(diǎn)看，無關(guān)參量在標(biāo)度變換下在不動點(diǎn)附近的無關(guān)性便是普適性的結(jié)果或體現(xiàn)。第六節(jié)二維Ising模型三角點(diǎn)陣取 ，如圖構(gòu)造自旋塊思考題： why？不動點(diǎn) 流向圖 ∞自然地在附近是相關(guān)參量。對任何∞ 所以，在只有習(xí)題： 計(jì)算 累積展開 這里表示給定，在自旋塊I內(nèi)所有可能的自由度。 +++ ++- +-+ -++ “－”“＋”如果則可實(shí)現(xiàn)重整化群變換 令 則 部分可以準(zhǔn)確計(jì)算，然后對V作微擾計(jì)算。這里介紹累積展開方法。 部分可以準(zhǔn)確計(jì)算 注意：這里的計(jì)算是對給定的而言，所以只含4個態(tài)，無論（＝+1或－1，對，對假設(shè)V很小，對作累積展開 說明： 重新對V的冪次編號 ＝平均值＋平均值的漲落＋……若只保留展開的領(lǐng)頭項(xiàng)，計(jì)算較簡單 對，，， 對，，， ∵ 不含不同自旋塊的相互作用 第七節(jié)連續(xù)變量模型Ising模型，連續(xù)模型(分立變量的理論常常比連續(xù)變量的難,如數(shù)論最難) 推廣 假設(shè)短程相互作用,則的Fourier變換在低動量區(qū)不奇異。體系的所有性質(zhì)由一般關(guān)聯(lián)函數(shù)表述 為我們希望觀察的空間點(diǎn)。也可以引入一個推廣的配分函數(shù)，或自由能，生成所有的。重整化群變換假設(shè)體系處于臨界狀態(tài)定義重整化群變換： 假設(shè)使這里注意，這里我們并不打算實(shí)施在實(shí)空間重進(jìn)化群中的步驟，真的去積分掉“多余”的自由度。只是假設(shè)有一個存在，使和聯(lián)系起來。換句話說，我們要尋找恰當(dāng)?shù)膶?shí)現(xiàn)重整化群變換。假設(shè)稱不動點(diǎn)Hamiltonian再作變換 顯然 則構(gòu)成半群，且換句話說，當(dāng)， 實(shí)現(xiàn) 實(shí)現(xiàn) 與實(shí)空間重整化群方法類似，從出發(fā)，作變換后，要求，即可得到。，即。這一條件表述，即便是處于臨界狀態(tài)的體系，也只有大距離的性質(zhì)才具有標(biāo)度行為。標(biāo)度行為典型地表現(xiàn)為冪次行為。無論在格點(diǎn)空間或連續(xù)空間，作標(biāo)度變換后，會出現(xiàn)更復(fù)雜的相互作用，但在附近，無關(guān)參量對應(yīng)的相互作用當(dāng)總會消失。而不同的,若趨于同一,其標(biāo)度行為相同，這便是普適性。在不動點(diǎn)附近 ，稱之為“算符”，而。對給定，對應(yīng)由張開的空間的一個點(diǎn)，可用一列矩陣表示。當(dāng)變化時(shí)，劃出該空間的一條曲線。所以，是的函數(shù)。只由決定，是的函數(shù)。線性近似 為線性算符，即一方陣。假設(shè)已經(jīng)對角化，本征值為，對應(yīng)的本征矢為，則 ∴ （這里也可以類比實(shí)空間情形，引入） 相關(guān)算符（2） 無關(guān)算符（3） 周期性算符 邊緣算符取高階項(xiàng) 例外存在所有臨界指數(shù)（包括）可由定出。 從物理上說，必須用來刻劃臨界點(diǎn)特征行為的物理參量是“相關(guān)算符”，這些算符在重整化變換下，。邊緣算符可能在物理上“相關(guān)”，也可能“無關(guān)”。 除了邊緣算符的復(fù)雜因素。臨界點(diǎn)對應(yīng)的不動點(diǎn)應(yīng)是，所有物理上“相關(guān)”的算符。 現(xiàn)在的問題是: 如何構(gòu)造并尋找不動點(diǎn)？第八節(jié)高斯不動點(diǎn)1、不動點(diǎn)Fourier變換 標(biāo)度變換在的變換中，因子來自于設(shè) 取 可證明不動點(diǎn)為 證明： (i) 在中作積分變換