北京交通大學高等巖石力學課件巖石的強度理論與彈塑性本構模型

2巖石的彈塑性本構模型與強度理論主要內容：巖石的非線性彈性本構巖石的彈塑性本構巖石的彈塑性耦合現(xiàn)象

巖石的強度理論彈性是指物體在外力作用下產生的變形，在外力卸除后，變形可以完全恢復的特性，具有這種特性的物體稱為彈性體。按著Cauchy方法定義：彈性體內各點的應力狀態(tài)和應變狀態(tài)存在著一一對應關系。非線性彈性就是指應力狀態(tài)和應變狀態(tài)的一一對應關系是非線性的。嚴格來說，巖石類介質應力應變關系都是非線性的，只是在非線性關系不十分嚴重時，才簡化為線性。2.1巖石的非線性彈性本構——應力空間表示——應變空間表示一一對應或用割線模量表示的非線性彈性本構方程：或用切線模量表示的增量非線性彈性本構方程：割線模量和割線泊松比是應力不變量的函數(shù)在巖土工程計算中使用比較多是Duncan-Zhang模型——破壞比（0.75～1.0）——試件破壞時的主應力差。則Duncan-Zhang模型可寫為：則切線模量Et由得將ε1代入Et——應力水平或應力發(fā)揮度。若巖石的破壞符合M-C準則，則根據(jù)Janbu等人的研究：同理，將橫向應變與軸向應變也看做雙曲線關系或寫為：將則：其中：有人建議：2.2巖石的彈塑性本構2.2.1巖石屈服條件與屈服面其中：屈服準則可統(tǒng)一表達為：初始屈服也可寫作：等向硬化混合硬化隨動硬化2.2.2塑性狀態(tài)的加—卸載準則材料在塑性狀態(tài)下，施加一應力增量：2對硬化材料1對理想塑性材料2.2.3塑性本構方程其中：根據(jù)一致性條件：由于：得其中簡記為：而：將上述兩式代入一致性條件：則巖石彈塑性本構方程

1）塑性全量理論

①體積應變與球應力成比例，是彈性的與胡克定律相同

②偏應變與偏應力成比例

胡克定律中：為材料常數(shù)塑性全量理論中

是應力和應變狀態(tài)的函數(shù)其中：

——應變強度

——應力強度

③應力強度是應變強度的確定函數(shù)

④總的應變展開：用矩陣表達：其中：

2）增量理論

①Levy-Mises流動法則

②Pramdtl-Reuss流動法則由于故：整個應變偏量：③

基于Pramdtl-Reuss流動法則的增量本構塑性應變增量用塑性勢函數(shù)表示若屈服函數(shù)為f，則f=g時為相關流動法則；f≠g為非相關流動法則④

增量型本構方程的矩陣表示其中：⑤

硬化規(guī)律：兩邊微分：則：⑥

彈塑性矩陣的詳細推導記：（1）根據(jù)增量本構得：因為：所以：采用向量表示：（2）由于采用向量表示：又由于硬化規(guī)律：得：于是：（3）由及得：上式兩邊左乘(1),(2)式代入（4）式將（5）式代入（1）式將（6）式代入（3）式將上式寫作：2.3巖石的彈塑性耦合現(xiàn)象2.3.1

Drucker公設處于平衡狀態(tài)的單元體上，施加任一附加外力，然后再卸除該外力，在加卸附加外力循環(huán)過程中，附加外力所做余功為非正。σεt0t1t2t3整理，略去高階小量得對任意的滿足上式，則必定與屈服面外法線重合則有：即塑性應變增量與屈服面正交。巖石介質的彈性系數(shù)，在塑性變形發(fā)生之后不再保持常數(shù)，而是隨塑性變形的發(fā)展而變化，這種特性稱為彈塑性耦合性質。2.3.2

彈塑性耦合本構稱之為廣義塑性應變增量根據(jù)Drucker公設其中：可得：設內狀態(tài)變量增量其中：稱為耦合張量，在非耦合時彈塑性耦合情況下本構方程根據(jù)一致性條件得其中上式表明，在彈塑性耦合情況下，塑性應變增量與屈服面是非正交的。得加載時彈塑性耦合本構方程2.4巖石的強度準則巖石破壞時所需滿足的條件叫強度準則，或稱為破壞條件。對于簡單的應力狀態(tài)，通過試驗很容易確定其破壞的條件；對于復雜應力狀態(tài)由于存在無窮多受力組合，確定其破壞條件并不容易。在主應力空間，用一個統(tǒng)一的數(shù)學函數(shù)來表示強度準則，可以寫成如下的形式。它是一個空間曲面。由于強度曲面與坐標軸無關，上式可表示為傳統(tǒng)材料強度與靜水應力狀態(tài)無關，上式又可表示為對巖石來說，其強度與靜水應力是有關的，故巖石材料的強度準則為：1莫爾準則（Mohr’sHypothesis,1900）該準則假定巖石內某一點的破壞主要決定于它的最大主應力和最小主應力，與中間主應力無關。巖石的破壞屬于壓剪破壞。莫爾強度準則的普遍形式。

選擇的曲線應該是單調曲線。曲線應對稱于σ軸，表示巖石破壞是共軛的。在確定包絡線的形狀時，應滿足下列要求：

2.4.1經驗性強度準則(3)σ在從0到∞的全部變化范圍內，應滿足根據(jù)試驗結果，該導數(shù)還應隨著σ的增加而減小。

（1）二次拋物線型由得代入上式，消去由單軸壓縮試驗得雙曲線型2庫侖準則(CoulombCriterion,1773)c——粘聚力；——內摩擦角。jcotC3s231ss+1s231ss-a2jCtsjcotC3s231ss+1s231ss-a2jCts整理得用主應力表示的庫倫準則為：由幾何關系可寫出：

1883年Navier對庫侖公式進行了補充，把公式中的剪應力和正應力分別用主應力表示。

其中令則：對求導得得的最大值當最大值等于c時，巖石破壞，得由得由于與聯(lián)立得1）當巖石屬單軸拉伸破壞2）當巖石屬雙軸拉伸破壞3）當巖石屬單軸壓縮破壞巖石屬雙軸壓縮破壞4）當庫侖準則的缺點和局限：

(1)

當圍壓較大時，與試驗結果出入較大；(2)粘結力概念的物理意義不明確；(3)沒有考慮中間主應力的影響；(4)實際巖石的破壞并非明顯的剪切破壞；(5)巖石受拉時不能用。3

莫爾—庫倫準則（M-C準則）當莫爾準則包絡線為直線時，它與庫侖準則完全相同，所以也把直線型的莫爾準則稱為莫爾—庫侖準則，這是目前巖石力學中使用最廣的準則。若已知，M-C準則用主應力表示其中簡記為：或最小二乘法求巖石的C、設通過常規(guī)多試件法或單試件法，得到以下n組試驗結果：建立以下的目標函數(shù)：求以上目標函數(shù)的極小值，需滿足以下條件：若未知的大小順序，則M-C準則用主應力可表示為以下形式或寫成以下形式：主應力空間上M-Cπ平面上M-C根據(jù)主應力與子午面坐標p、q的關系：代入用主應力表示M-C準則及得用不變量表示M-C準則或用p、q簡記為：其中：子午面上M-CM-C準則的缺點：不能反映對屈服和破壞的影響；不能反映單純靜水壓力引起的屈服；屈服面帶棱角，不便于塑性應變增量的計算。4

Zienkiewice—Pande準則（Z-P準則）為了克服M-C準則的棱邊或角尖，考慮到巖土屈服與靜水壓力的非線性關系和中間主應力對強度的影響。Zienkiewice—Pande于1975年提出了Z-P準則——π平面上屈服曲線形狀函數(shù)——系數(shù)；n——指數(shù)，一般取0、1、2k——屈服參數(shù)。為了π平面上屈服曲線光滑，且在與M-C準則擬合，要求滿足以下條件：滿足上述條件的有多種選擇，其中一種簡單的形式為：

M-C準則的為：

Z-P準則在子午面上一般取曲線，即n=2，并以M-C準則作為漸近線，則有取雙曲線時方程為或寫成下式與Z-P準則對比可得因得代入上式得除上述雙曲線外，還可以取為拋物線和橢圓線5霍克—布朗（Hoek-Brown）準則——破壞時的最大主應力；——作用在巖石上的最小主應力；——巖石的單軸抗壓強度；——取決于巖石性質的材料常數(shù)?；艨恕祭蕼蕜t是在大量試驗結果統(tǒng)計分析的基礎上提出的經驗型強度準則，屬于非線性強度準則。當時：當時：材料常數(shù)mi根據(jù)實驗結果或查下表凝灰?guī)r（15）角礫巖(18)集塊巖（20）噴出火成碎屑物蘇長巖22玄武巖（17）粗玄巖（19）輝長巖27暗色的安山巖19閃長巖（28）英安巖（17）花崗閃長巖（30）黑曜巖（19）流紋巖（16）花崗巖33淺色的火成巖板巖9千枚巖（10）片巖（10）片麻巖33層狀的糜棱巖（6）閃巖31混合巖(30)石英巖24角頁巖（19）大理巖9非層狀的變質巖硬石膏13石膏石16化學的灰?guī)r8灰?guī)r（10）角礫巖（20）碳酸鹽（8-21）有機的非碎屑狀（18）粘土巖4粉砂巖9砂巖19礫巖（22）碎屑狀沉積巖微粒細粒中粒粗粒巖

石

組

織組類巖石類型6德魯克—普拉格（Drucker-Prager）準則該準則是在莫爾—庫侖準則和VonMises準則的基礎上提出。

③當為M-C外接圓②當為M-C內接圓①當為M-C內切圓如圖所示為平面上的M-C準則和D-P準則，建立圖示x-y直角坐標系，①試導出用x、y表達的D-P準則（D-P準則：，I1為應力第一不變量，J2為應力偏量第二不變量）②若M-C準則的內聚力為c，內摩擦角為，試求平面上D-P內接、外接、內切圓的半徑?！菊n堂練習】2.4.2理論性強度準則1

一維格里菲斯(Griffith)準則——材料的表面比能；E——材料的彈性模量。

1921年Griffith根據(jù)單個裂隙開裂條