第15章 虛位移原理

第十五章虛位移原理第十五章虛位移原理虛位移原理與達(dá)朗伯原理相結(jié)合，就可得到一個(gè)解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)普遍方程。在靜力學(xué)中，從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過(guò)力系的簡(jiǎn)化，得出剛體的平衡條件，用來(lái)研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。在本章，從位移和功的概念出發(fā)，得出虛位移原理——研究平衡問(wèn)題的最一般原理，可以討論任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡。平衡杠桿在約束許可的條件下，由水平位置緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)很小的角度，問(wèn)題的引入：杠桿的平衡條件：a、b為兩個(gè)力的力臂。杠桿可以在任意位置保持平衡。BabAC另一角度：杠桿在新位置仍保持平衡：BabAC1s2s杠桿平衡時(shí)，各個(gè)作用力在平衡位置附近的約束許可的位移上作功總和為零。則A、B端的位移對(duì)于一般質(zhì)點(diǎn)系也能寫出類似的式子作為平衡條件?！?5-1約束虛位移虛功約束方程——約束限制條件的數(shù)學(xué)方程。

一、約束及其分類約束——限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系位置和運(yùn)動(dòng)的各種條件。根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束幾何約束——限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件。xyzOM平面單擺lxy(x,y)曲柄連桿機(jī)構(gòu)rlOyxA(xA

,yA)B(xB

,yB)借助其它物體來(lái)完成。純滾動(dòng)：運(yùn)動(dòng)約束——限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件。rAyCxO幾何約束：運(yùn)動(dòng)約束1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束幾何約束——限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件。

2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過(guò)固定圓環(huán)的細(xì)繩系住。初始時(shí)擺長(zhǎng)l0,勻速v拉動(dòng)繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時(shí)間t非定常約束——約束條件隨時(shí)間變化的約束。定常約束——約束條件不隨時(shí)間改變的約束。前面的例子中約束條件皆不隨時(shí)間變化，它們都是定常約束。MlyxO如果在約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（如運(yùn)動(dòng)約束）而且方程不能積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。非完整約束方程只能以微分形式表達(dá)。3、完整約束和非完整約束如果約束方程中不含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中雖有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但可以經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)，是微分方程，但經(jīng)過(guò)積分可得到（常數(shù)），該約束仍為完整約束。在兩個(gè)相對(duì)的方向上同時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)限制的約束稱為雙面約束。4、單面約束和雙面約束只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單面約束。雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。x2+y2=l2MlOyx剛桿x2+y2l2MlyxO繩OAB只討論質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質(zhì)點(diǎn)系所受的約束數(shù)目，n為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)）OABMF在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移稱為虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號(hào)表示虛位移。二、虛位移rA

rBrBrA

FOABrBrAM虛位移是線位移時(shí)，為矢量，沿點(diǎn)可能軌跡的切線方向。10虛位移與真正運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同。實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束允許的條件下可能發(fā)生的。FOABrBrAMOrA

ABrBMF11在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一。在非定常約束下，微小實(shí)位移不再是虛位移之一。實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時(shí)間無(wú)關(guān)。OABdrBrBMvv質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間存在著一定的關(guān)系,確定這些關(guān)系通常有兩種方法：因此可以用分析速度的方法分析各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。(一)幾何法。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的位移與速度成正比，即13(二)解析法質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑：各質(zhì)點(diǎn)的虛位移在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為：質(zhì)點(diǎn)系各個(gè)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的變分計(jì)算與微分計(jì)算一樣。14d設(shè)OA桿與x軸夾角為。1、幾何法[例1]分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，點(diǎn)C、A與B的虛位移。(已知OC=BC=a，OA=l)BOACBrrdArrdPP為BC的速度瞬心。Crrd2解：圖中畫出各點(diǎn)虛位移，根據(jù)圖中虛位移方向確定投影的符號(hào)。15將C、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示成(廣義坐標(biāo))的函數(shù)，得2、解析法對(duì)求變分，得各點(diǎn)虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：BOAC建立固定坐標(biāo)系，圖中不畫各點(diǎn)的虛位移xy16力在虛位移上所作的功稱為虛功，記為。3、虛功OABMF機(jī)構(gòu)處于靜止的平衡狀態(tài)，M、F力都不作實(shí)功，但，都可作虛功。解析式174、理想約束如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，質(zhì)點(diǎn)系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。理想約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式：3．不可伸長(zhǎng)的繩索理想約束：1、光滑固定面約束5．剛性無(wú)重二力桿4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）6．固定端2．活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承7、剛體在粗糙面上的純滾動(dòng)18即設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡，對(duì)于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)：或記為虛位移原理或虛功原理:§

15-2虛位移原理

對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充分必要條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零。解析式為NiFriFrmiirrd虛功方程平面問(wèn)題：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系：(1)必要性：即質(zhì)點(diǎn)系處于平衡時(shí)，必有∵質(zhì)點(diǎn)系處于平衡∴選取任一質(zhì)點(diǎn)Mi也平衡。對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：證明：20(2)充分性：即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系滿足，質(zhì)點(diǎn)系一定平衡。在方向上產(chǎn)生實(shí)位移，取，則對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：與前題條件矛盾(理想約束：)若，質(zhì)點(diǎn)系不平衡，則至少有第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)不平衡。故時(shí)質(zhì)點(diǎn)系必處于平衡。所以：212、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下平衡時(shí)的約束反力；1、系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；二、虛位移原理的應(yīng)用3、如果系統(tǒng)有摩擦，將其視為主動(dòng)力，可利用虛位移原理求解22研究對(duì)象：手柄、螺桿和壓板與s滿足如下關(guān)系：因是任意的，故解：例15-1如圖所示,在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平面內(nèi)的力偶(F,F’),其力矩M=2Fl，螺桿的導(dǎo)程為h。求：機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓物體上的力。FF’2l虛位移：手柄轉(zhuǎn)過(guò)，壓板下移s不計(jì)摩擦，理想約束主動(dòng)力：

M=2Fl和FNFNsACDBGEFr例15-2圖示結(jié)構(gòu)，各桿自重不計(jì)，在G點(diǎn)作用一鉛直向上的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求：支座B的水平約束力。

解：在外力作用下，結(jié)構(gòu)的形狀和位置都不發(fā)生變化?！粫?huì)產(chǎn)生剛體位移。為求B的水平約束力，解除B點(diǎn)水平約束。用相應(yīng)的約束力FBx來(lái)表示。除AE桿外，各個(gè)桿均作平面運(yùn)動(dòng)，不易建立幾何關(guān)系，因此采用解析法。ACDBGEFrBxFr結(jié)構(gòu)→→機(jī)構(gòu)，可有位移。約束力FBx→→機(jī)構(gòu)上的主動(dòng)力。例15-2AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求：支座B的水平約束力。

解：ACDBGEFrBxFrxy帶入虛功方程

ACDBGEFr研究對(duì)象：解除約束后的系統(tǒng)解析法：參考坐標(biāo)系必須固定不動(dòng)！建立參考坐標(biāo)系A(chǔ)xy例15-2已知結(jié)構(gòu)受鉛直力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。彈簧的剛度系數(shù)k，伸長(zhǎng)量為0。求：支座B的水平約束力。

解：在外力作用下，結(jié)構(gòu)的形狀和位置都不發(fā)生變化?！粫?huì)產(chǎn)生剛體位移。為求B的水平位移，解除B點(diǎn)水平約束。用相應(yīng)的約束力FBx來(lái)表示。彈簧是非理想約束，彈力屬內(nèi)力，且作功。故去除彈簧，彈力→→機(jī)構(gòu)上的主動(dòng)力。結(jié)構(gòu)→→機(jī)構(gòu)，可有位移。約束力FBx→→機(jī)構(gòu)上的主動(dòng)力。ACDBGEFrACDBGEFrBxFrCFrGFr例15-2已知：力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。彈簧：k,0求：支座B的水平約束力。

解：xy帶入虛功方程

采用解析法建立參考坐標(biāo)系A(chǔ)xyACDBGEFrACDBGEFrBxFrCFrGFr研究對(duì)象：解除約束和彈簧后的系統(tǒng)例15-3圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，連桿AB長(zhǎng)為l，滑塊A，B與桿重均不計(jì)，忽略各處摩擦，機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。求：主動(dòng)力FA與FB之間的關(guān)系。解:

研究對(duì)象：滑塊A，B與桿組成的系統(tǒng)代入虛功方程：即在A、B

連線上投影相等受力分析：主動(dòng)力FA、FBArrdBrrd幾何法：應(yīng)用幾何法，必須畫出虛位移。虛位移之比是大小之比，虛功的正負(fù)，由主動(dòng)力和虛位移的方向來(lái)定。例15-3圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，連桿AB長(zhǎng)為l，滑塊A，B與桿重均不計(jì)，忽略各處摩擦，機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。求：主動(dòng)力FA與FB之間的關(guān)系。解:

研究對(duì)象：滑塊A，B與桿組成的系統(tǒng)代入虛功方程：即受力分析：主動(dòng)力FA、FBArrdBrrd幾何法：AB的瞬心PPAB的虛角速度滑塊A的虛速度滑塊B的虛速度ABxy例15-3圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，連桿AB長(zhǎng)為l，滑塊A，B與桿重均不計(jì)，忽略各處摩擦，機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。求：主動(dòng)力FA與FB之間的關(guān)系。解:

研究對(duì)象：滑塊A，B與桿組成的系統(tǒng)受力分析：主動(dòng)力FA、FB解析法：建立坐標(biāo)系得代入虛功方程ABxy例15-3圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，連桿AB長(zhǎng)為l，滑塊A，B與桿重均不計(jì)，忽略各處摩擦，機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。求：主動(dòng)力FA與FB之間的關(guān)系。解:

研究對(duì)象：滑塊A，B與桿組成的系統(tǒng)受力分析：主動(dòng)力FA、FB解析法：建立坐標(biāo)系A(chǔ)B得代入虛功方程OABC例15-4如圖所示機(jī)構(gòu)，不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦，求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力偶矩M與主動(dòng)力F之間的關(guān)系。hMFra

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