CH05-靜定平面桁架

第五章靜定平面桁架§5-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖§5-2結(jié)點(diǎn)法§5-3截面法§5-4結(jié)點(diǎn)法和截面法的聯(lián)合應(yīng)用§5-5常用梁式桁架的比較§5-6組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算§5-7用零載法分析體系的幾何構(gòu)造§5-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖桁架：由梁演變而來(lái)的梁和剛架是以承受彎矩為主，橫截面上主要產(chǎn)生非均勻分布的彎曲正應(yīng)力，其邊緣處應(yīng)力最大，而中部的材料未充分利用。桁架由桿件組成，整體以承受彎矩為主，而桿件則主要承受軸力?！?-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖引入如下假定（1）各結(jié)點(diǎn)都是無(wú)摩擦的理想鉸；（2）各桿軸都是直線，并在同一平面內(nèi)且通過(guò)鉸中心；（3）荷載作用在結(jié)點(diǎn)上并在桁架的平面內(nèi)。符合上述理想假定的桁架各桿將只受軸力，截面上的應(yīng)力分布比較均勻，可同時(shí)達(dá)到容許值，材料能得到充分利用。因此，桁架與梁相比，桁架的用料較省，并能跨越更大的跨度?！?-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖

實(shí)際結(jié)構(gòu)與計(jì)算簡(jiǎn)圖之間的差別（1）結(jié)點(diǎn)的剛性。（2）各桿軸不可能絕對(duì)平直，在結(jié)點(diǎn)處也不可能準(zhǔn)確交于一點(diǎn)。（3）非結(jié)點(diǎn)荷載（自重，風(fēng)荷載等）。（4）結(jié)構(gòu)的空間作用等。通常把按照平面桁架算得的應(yīng)力稱為主應(yīng)力，而把上述一些因素所產(chǎn)生的附加應(yīng)力稱為次應(yīng)力。理論計(jì)算和實(shí)際測(cè)量表明，在一般情況下次應(yīng)力的影響是不大的，可以忽略不計(jì)。對(duì)于必須考慮次應(yīng)力的桁架，則應(yīng)將其各結(jié)點(diǎn)視為剛結(jié)點(diǎn)而按照剛架計(jì)算，宜采用矩陣位移法用計(jì)算機(jī)計(jì)算?！?-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖上弦下弦斜桿豎桿上下弦桿承受梁中的彎矩,腹桿(豎桿和斜桿)承受梁中的剪力相鄰兩結(jié)點(diǎn)間的區(qū)間稱為節(jié)間其間距稱為節(jié)間長(zhǎng)度兩支座間的水平距離稱為跨度支座連線至桁架最高點(diǎn)的距離稱為桁高

N

N桁架的桿件，按其所在位置不同，可分為弦桿和腹桿兩類。桁架的分類§5-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖根據(jù)桁架的外形分平行弦桁架折弦桁架三角形桁架根據(jù)豎向荷載是否引起水平反力分無(wú)推力（梁式）桁架：圖a、b、c；有推力（拱式）桁架：圖d。根據(jù)幾何組成方式分簡(jiǎn)單桁架：圖a、b、c；聯(lián)合桁架：圖d、e；復(fù)雜桁架：圖f?！?-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖1、簡(jiǎn)單桁架——由基礎(chǔ)或一個(gè)基本鉸結(jié)三角形開(kāi)始，依此增加二元體所組成的桁架§5-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖2、聯(lián)合桁架——由簡(jiǎn)單桁架按幾何不變體系組成法則所組成的桁架?！?-1平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖3、復(fù)雜桁架------不屬于以上兩類桁架之外的其它桁架。其幾何不變性往往無(wú)法用兩剛片及三剛片組成法則加以分析，需用零荷載法等予以判別。§5-2結(jié)點(diǎn)法求桁架內(nèi)力，可以取桁架一部分為隔離體，結(jié)點(diǎn)法——結(jié)點(diǎn)為隔離體：匯交力系截面法——隔離體包含2個(gè)以上結(jié)點(diǎn)：一般力系靜定結(jié)構(gòu)：W＝2j-b-r＝0

軸力+反力數(shù)（b+r

）=平衡方程數(shù)（2j）聯(lián)立方程——可解求解方法——按幾何組成的相反次序求解 避免解聯(lián)立方程

每個(gè)結(jié)點(diǎn)隔離體僅二個(gè)未知力?！?-2結(jié)點(diǎn)法結(jié)點(diǎn)法：取一個(gè)結(jié)點(diǎn)為隔離體，計(jì)算桁架桿件的內(nèi)力如圖，F(xiàn)N—斜桿的內(nèi)力

Fx—FN水平分力

Fy—FN豎向分力

l—斜桿的長(zhǎng)度lx—l水平投影

ly—l豎向投影

由比例關(guān)系可得匯交力系：兩個(gè)平衡方程任知其一便可很方便地推算其余兩個(gè)，而無(wú)需使用三角函數(shù)。（1）由桁架的整體平衡求支反力如圖a?！?-2結(jié)點(diǎn)法結(jié)點(diǎn)G隔離體如圖b，由由比例關(guān)系由依次取結(jié)點(diǎn)F、E、D、C計(jì)算可求出所有桿件內(nèi)力，最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為校核用。解：1、整體平衡求反力∑X=0H=0∑M8＝0

V1=80kN∑Y=0

V8=100kNH=0V1=80kNV8=100kN2、求內(nèi)力180kNN12N13Y13X13∑Y=0Y13=－80，=－80×3/4=－60kN=－80×5/4=－100kNN12N13=60kNX13∑X=0

由比例關(guān)系得40kN60kNN24N23100－＋＋－6080606040304050結(jié)點(diǎn)2∑X=0N24=60kN∑Y=0N23=40kN-60-8040N35X34Y34N34結(jié)點(diǎn)3∑Y=0Y34=80-40=40kNX34=40×3/4=30kNN34=40×5/4=50kN∑X=0N35=-60-X34=-90kN依次考慮5、4、6、7的平衡求其它軸力，還余三個(gè)方程作校核用。熟練之后可以直接在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行，不必列平衡方程。如圖所示。-90-90075152025807510075125例試求桁架各桿內(nèi)力3m×4=12m4m1234567840kN60kN80kN校核790157581007575100由圖a結(jié)點(diǎn)A，需解聯(lián)立方程計(jì)算桿件內(nèi)力?！?-2結(jié)點(diǎn)法如圖b，將FN1在B點(diǎn)分解，對(duì)C點(diǎn)取矩。平面匯交力系——二斜桿問(wèn)題幾種特殊結(jié)點(diǎn)§5-2結(jié)點(diǎn)法（1）L形結(jié)點(diǎn)（2）T形結(jié)點(diǎn)（3）X形結(jié)點(diǎn)（4）K形結(jié)點(diǎn)§5-2結(jié)點(diǎn)法圖示桁架中虛線所示桿件的軸力皆為0?！?-2結(jié)點(diǎn)法對(duì)稱性的利用一、對(duì)稱荷載作用下內(nèi)力呈對(duì)稱分布。對(duì)稱性要求：N1=N2由D點(diǎn)的豎向平衡要求N1=－N2對(duì)稱軸上的K型結(jié)點(diǎn)無(wú)外力作用時(shí)，其兩斜桿軸力為零。12PPD（注意：該特性僅用于桁架結(jié)點(diǎn)）所以N1=N2=0二、反對(duì)稱荷載作用下內(nèi)力呈反對(duì)稱分布。§5-2結(jié)點(diǎn)法P1PNN1桿1受力反對(duì)稱=0=0與對(duì)稱軸垂直貫穿的桿軸力為零1PP/2P/2PPPPPP與對(duì)稱軸重合的桿軸力為零。§5-2結(jié)點(diǎn)法↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qq§5-3截面法截面法：取桁架一部分為隔離體，計(jì)算桁架桿件的內(nèi)力用截面切斷擬求桿件，取一側(cè)為隔離體

——三個(gè)獨(dú)立的平衡方程（平面一般力系） →求解三個(gè)未知內(nèi)力 （不交于一點(diǎn)，不完全平行）適用： 求指定桿件內(nèi)力求解聯(lián)合桁架（1）力矩法§5-3截面法按所選方程類型不同，截面法又可分為力矩法和投影法圖a所示簡(jiǎn)支桁架，設(shè)支座反力已求出，現(xiàn)要求EF、ED、CD桿件的內(nèi)力。取I-I截面左側(cè)部分為隔離體，如圖b。由力矩平衡方程分子為相應(yīng)簡(jiǎn)支梁E點(diǎn)的彎矩下弦桿受拉§5-3截面法取ED、CD兩桿交點(diǎn)D為矩心，將FNEF在其作用線上的F點(diǎn)處分解為水平和豎向兩個(gè)分力，豎向分力FyEF通過(guò)D點(diǎn)，而水平分力FxEF的力臂即為高桁H分子為相應(yīng)簡(jiǎn)支梁D點(diǎn)的彎矩，并可由比例關(guān)系求得FNEF取EF、CD兩桿交點(diǎn)O為矩心，將FNED在其作用線上的D點(diǎn)處分解為水平和豎向兩個(gè)分力，水平分力FxEF通過(guò)O點(diǎn)可由比例關(guān)系求得FNED結(jié)論：可證簡(jiǎn)支桁架，豎直向下荷載作用下弦桿受拉力，上弦桿受壓力——對(duì)應(yīng)梁，受豎直向下荷載的下、上邊緣§5-3截面法（2）投影法取II-II截面左側(cè)部分為隔離體，如圖d。括號(hào)內(nèi)值為相應(yīng)簡(jiǎn)支梁DG段的剪力，故此法有時(shí)也稱剪力法?！?-3截面法2m×6=12m1m2mP例:【解】：先找出零桿，將它們?nèi)サ?23取ⅠⅠⅠ-Ⅰ截面以左為隔離體N1N2N3X2Y2X3Y32m1mP/22m4mCD∑MD=3N1+P/2×6=0得N1=－P∑MC=2X3－P/2×2=0得X3=P/2

∴N3=X3/4×4.12=0.52P∑X=N1+X2+X3=0∴X2=P/2∴N2=5X2/4=5P/8

§5-3截面法取I-I截面左側(cè)部分為隔離體由可求得FNa取I-I截面上側(cè)部分為隔離體由可求得FNb截面法：①所截桿件一般不超過(guò)三根——三個(gè)獨(dú)立平衡方程可解②截面多于三個(gè)未知力，其中除一根外，其余均交于一點(diǎn)、或平行

——可解此桿§5-3截面法aⅠⅠB3d3dAEBCYaXaP35-=YNaa25=32PYa-=dYdPMaA032=×+×=?ACEPNaPP聯(lián)合桁架取I-I截面左（右）側(cè)部分為隔離體，求出DE桿的內(nèi)力，再分析各簡(jiǎn)單桁架。計(jì)算圖a所示桁架，截?cái)鄡蓚€(gè)鉸結(jié)三角形之間的聯(lián)系，取隔離體如圖b。§5-3截面法§5-3截面法如圖示結(jié)構(gòu)?、?Ⅰ界面以內(nèi)為隔離體，Ⅰ

ⅠN1N2N3對(duì)其中兩個(gè)力的交點(diǎn)取矩可求出另一個(gè)力，在這里可得三力全為零。本題也直接可用力學(xué)概念判定三桿軸力為零?；蛴衫锩娴男∪切螢楦綄俨糠?，不受外力。其內(nèi)力為零。由三力平衡匯交定理知，該三力不相交而使物體平衡，它們必為零?！?-4截面法和結(jié)點(diǎn)法的聯(lián)合應(yīng)用單獨(dú)使用結(jié)點(diǎn)法或截面法有時(shí)并不簡(jiǎn)潔。為了尋找有效的解題途徑，必須不拘先后地應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法和截面法,但是要注意：①選擇合適的出發(fā)點(diǎn)，即從哪里計(jì)算最易達(dá)到計(jì)算目標(biāo)；②選擇合適的截面，即巧取分離體，使出現(xiàn)的未知力較少；③選用合適的平衡方程，即巧取矩心和投影軸，并注意列方程的先后順序，力求使每個(gè)方程中只含一個(gè)未知力?！?-4截面法和結(jié)點(diǎn)法的聯(lián)合應(yīng)用例5-1試求圖a所示K式桁架中a、b桿的內(nèi)力。解：算法一作截面I-I，取其左側(cè)為隔離體。由結(jié)點(diǎn)K由∑MC=0可求得FNb。算法二：作截面II-II，取其左側(cè)為隔離體?！?-4截面法和結(jié)點(diǎn)法的聯(lián)合應(yīng)用例5-2試求圖示桁架HC桿的內(nèi)力。解：取截面I-I左側(cè)部分為隔離體，由由結(jié)點(diǎn)E的平衡：FNEC=FNED=112.5kN將FNHC在C點(diǎn)分解為水平和豎向分力取截面II-II右側(cè)部分為隔離體，由例：求

a、b桿軸力NNNNNβNaNDEF解：1、由內(nèi)部X形結(jié)點(diǎn)知：位于同一斜線上的腹桿內(nèi)力相等。

2、由周邊上的K形結(jié)點(diǎn)知各腹桿內(nèi)力值相等，但正負(fù)號(hào)交替變化。所有右上斜桿同號(hào)（設(shè)為N），所有右下斜桿同號(hào)（設(shè)為－N）。3、取圖示隔離體：P2d2ddddabEFD4、取DEF為隔離體5、取隔離體如圖NbNaNNNN1、弦桿2P1245∑M2=N1×6+（2P－P/2）×4=0N1=－P∑M5=N4×6－（2P－P/2）×4=0N4=PN1=－PN4=PP/2P2P2PN3N1N2N4ⅠⅠP/2P/2PPP4m4m4m4m3m3m12654123456ⅡⅡN1N5N6N42、斜桿∵結(jié)點(diǎn)6為K型結(jié)點(diǎn)。∴N6=－N5再由∑Y=0得：Y5－Y6+2P－P－P/2=0∴Y6=P/4∴N6=－N5=5P/12P/2P12652P3、豎桿取結(jié)點(diǎn)7為隔離體。由于對(duì)稱：N3=N537由∑Y=0得：Y5+Y3+P+N2=0∴N2=－P/2PNN1N5N3N22P2P2P2P2P2P2P2P例：求指定桿的軸力。先求出反力。2Plll2l2llabAB例：求圖示桁架指定桿軸力。解：①整體平衡得：5P/3P/3Na5P/3x②1-1截面以上P/3Ncxc②2-2截面以下1122x③3-3截面以右P/3NaNbNc33例：求圖示桁架指定桿軸力。解：①找出零桿如圖示；000000②D點(diǎn)11③1-1以左4×4m2×3m5m12ACDBPPEFCPNCE22PN1④2-2以下§5-5常用梁式桁架的比較平行弦桁架拋物線形桁架對(duì)三種常用的簡(jiǎn)支梁式桁架，將均布荷載用等效結(jié)點(diǎn)荷載代替，且各結(jié)點(diǎn)荷載F=1時(shí)，弦桿的內(nèi)力計(jì)算公式M0：相應(yīng)簡(jiǎn)支梁與矩心對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的彎矩；r

：內(nèi)力對(duì)矩心的力臂。

1）平行弦桁架中，弦桿的力臂是一常數(shù)，故弦桿內(nèi)力與彎矩的變化規(guī)律相同；腹桿內(nèi)力可根據(jù)投影法，豎桿內(nèi)力與斜桿內(nèi)力的豎向分量各等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁上對(duì)應(yīng)節(jié)間的剪力，故它們的大小分別由兩端向中間遞減；

2）拋物線形桁架，各下弦桿內(nèi)力及各上弦桿的水平分力對(duì)其矩心的力臂，即為各豎桿長(zhǎng)度。故各下弦桿內(nèi)力與各上弦桿水平力分量相等。由截面法可知各斜桿內(nèi)力均為零，故各豎桿內(nèi)力相等，均等于相應(yīng)下弦結(jié)點(diǎn)荷載。§5-5常用梁式桁架的比較三角形桁架結(jié)論（1）平行弦桁架內(nèi)力分布不均勻，弦桿內(nèi)力向跨中遞增；（2）拋物線形桁架內(nèi)力分布均勻，材料使用上最為經(jīng)濟(jì)；（3）三角形桁架內(nèi)力分布不均勻，弦桿內(nèi)力在兩端最大，端點(diǎn)結(jié)點(diǎn)處夾角甚小，適合屋頂構(gòu)造需要。幾類簡(jiǎn)支桁架的共同特點(diǎn)是：上弦受壓，下弦受拉，豎桿、斜桿內(nèi)力符號(hào)相反。

3）三角形桁架，弦桿所對(duì)應(yīng)力臂由兩端向中間按直線變化遞增，其增加速度比彎矩的增加來(lái)得快，因而弦桿的內(nèi)力由兩端向中間遞減；由結(jié)點(diǎn)法可知，各豎桿及斜桿的內(nèi)力都是由兩端向中間遞增的?！?-6組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算組合結(jié)構(gòu)：鏈桿和受彎桿件組成的結(jié)構(gòu)。常用于房屋中的屋架吊車梁橋梁的承重結(jié)構(gòu)下?lián)问轿褰切挝菁苡?jì)算組合結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)注意：①注意區(qū)分鏈桿（只受軸力）和梁式桿（受軸力、剪力和彎矩）；②前面關(guān)于桁架結(jié)點(diǎn)的一些特性對(duì)有梁式桿的結(jié)點(diǎn)不再適用；③一般先計(jì)算反力和鏈桿的軸力，然后計(jì)算梁式桿的內(nèi)力；④取分離體時(shí)，盡量不截?cái)嗔菏綏U。角鋼鋼筋混凝土

§5-6組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算鏈桿是兩端是鉸、中間不受力、也無(wú)連結(jié)的直桿。梁式桿NAB=NCD=0（）ABC2P/3DP①N1=N2=0②N1=－N2③N1≠N2

④N1=N2≠0PP12對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱荷載作用×√×AC§5-6組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算例5-3試分析圖a所示組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。解：整體平衡求支座反力FBVFAHFAVFCVFCHFNDE作截面I-I拆開(kāi)鉸C和截?cái)鄺U件DE，取隔離體如圖b。由∑MC=0可求得FNDE。由結(jié)點(diǎn)D、E

的平衡，可求得各鏈桿的內(nèi)力，進(jìn)而繪出受彎桿件彎矩圖?！?-6組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖a所示為靜定拱式組合結(jié)構(gòu)。拱和梁兩部分總的豎向反力等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁（圖b）的豎向反力。由鏈桿拱上每一結(jié)點(diǎn)的平衡條件∑Fx=0，每一桿件的水平分力=拱的水平推力FH取I-I截面左（右）側(cè)為隔離體，被截桿的內(nèi)力在C’點(diǎn)沿水平和豎向分解，由∑MC=0鏈桿拱及加勁梁的豎向反力為3.5+§5-6組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算②求鏈桿的內(nèi)力↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/mADFC6kNNDE③截面的剪力和軸力:Q=Ycosa－15sinaN=－Ysina

－15cosa

其中Y為截面以左所有豎向力的合力。sina=0.084，cosa=0.996↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/m3m3m3m3mf1=0.5mf2=0.7m

f=1.2mADFCE6kN6kN1515-3.515.4解：①求反力15153.515.43.5152.5④作內(nèi)力圖αkN17.15-=996.015084.0×-×NFC)35.35.2(-+-=kN74.1=084.015996.0×-×QFC)35.35.2(-+=0.750.75M圖(kN.m)1.241.741.751.25+－－+Q圖(kN)－－15.1314.9715.1714.92N圖(kN)§5-6組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算討論:影響屋架內(nèi)力圖的主要原因有兩個(gè):①高跨比f(wàn)/l高跨比越小軸力

NDE=MC0/f越大屋架軸力也越大。f1=0.5mf2=0.7m

f=1.2mADFCE0.750.750.75-15.0815-3.515.4

f1=0.5m，f2=0.7mDE

f=1.2m-6-1516.1615f1=0，f2=1.2m4.5DEC4.5150-15.88

f=1.2mf1=1.2m，f2=0DEC②f1與f2的關(guān)系當(dāng)高度f(wàn)

確定，內(nèi)力