三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)2

要點(diǎn)梳理1.周期函數(shù)

(1)周期函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值,都有___________,那么函數(shù)f(x)

就叫做周期函數(shù)._________叫做這個(gè)函數(shù)的周期.§3.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)f(x+T)=f(x)非零常數(shù)T(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)____________,那么這個(gè)_________就叫做f(x)的最小正周期.

如果函數(shù)y=f(x)的周期是T,那么函數(shù)y=f(ωx)的周期是多少？函數(shù)y=f(ωx)的周期是而不是最小的正數(shù)最小正數(shù)思考提示2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=sinxy=cos

xy=tanx定義域______圖象值域___________________奇偶性________________________函數(shù)性質(zhì)RR[-1,1][-1,1]R奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸:;對(duì)稱(chēng)中心:對(duì)稱(chēng)軸:;對(duì)稱(chēng)中心:對(duì)稱(chēng)中心:周期___________________單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間

;單調(diào)減區(qū)間單調(diào)增區(qū)間

;單調(diào)減區(qū)間單調(diào)增區(qū)間基礎(chǔ)自測(cè)1.(2010·泰州模擬)函數(shù)y=cos4x的最小正周期是____.

解析利用公式2.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

________________________.

解析

解析答案

(1)>(2)<4.設(shè)函數(shù)f(x)=A+Bsinx,若B<0時(shí),f(x)的最大值是最小值是則A=____,B=____.

解析根據(jù)題意,-1【例1】求下列函數(shù)的定義域:

本題求函數(shù)的定義域:(1)需注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，然后利用弦函數(shù)的圖象求解；(2)需注意偶次根式的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零,然后利用函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線(xiàn)求解.典型例題深度剖析分析解

(1)要使原函數(shù)有意義,必須有由圖知,原函數(shù)的定義域?yàn)?2)要使函數(shù)有意義∴函數(shù)定義域是{x|0<x<或π≤x≤4}.解方法一利用三角函數(shù)線(xiàn),如圖MN為正弦線(xiàn),OM為余弦線(xiàn),要使sinx≥cosx,即MN≥OM,∴定義域?yàn)榉椒ǘ?/p>

sinx-cosx

將視為一個(gè)整體,由正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)可知所以定義域?yàn)楦櫨毩?xí)1求函數(shù)的定義域:

【例2】求下列函數(shù)的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.

先觀(guān)察解析式的結(jié)構(gòu)針對(duì)不同的結(jié)構(gòu)采用不同的方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或利用|sinx|≤1，

|cosx|≤1等.

解

(1)y=2cos2x+2cosx=2(cosx+)2-

于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)取得ymax=4,

當(dāng)且僅當(dāng)cosx=時(shí)取得ymin=

故函數(shù)值域?yàn)榉治龈櫨毩?xí)2求下列函數(shù)的值域:(1)y=4tanxcosx;(2)y=6-4sinx-cos2x;(3)

解

(1)y=4tanxcosx=4sinx(cosx≠0).

由于cosx≠0,所以sinx≠±1,∴函數(shù)的值域?yàn)?-4,4).(2)y=6-4sinx-cos2x=sin2x-4sinx+5=(sinx-2)2+1.∵-1≤sinx≤1.∴函數(shù)的值域?yàn)椋?,10］.(3)方法一方法二【例3】已知函數(shù)

(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小正周期.

(1)判斷函數(shù)的奇偶性,首先要判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),之后再作進(jìn)一步判斷.(2)在求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.分析解又f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴f(x)是偶函數(shù).跟蹤練習(xí)3已知函數(shù)求它的定義域和值域,并判斷它的奇偶性.

解

=cos2x-1=-sin2x.又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴f(x)是偶函數(shù).

顯然-sin2x∈［-1,0］,

所以原函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】(13分)(2008·北京)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍.

利用公式轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+)的形式,然后根據(jù)單調(diào)性求解.

解題示范

解分析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π,且ω>0,所以解得ω=1.[6分]跟蹤練習(xí)4

關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在區(qū)間[0,2π]上有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根,求:(1)實(shí)數(shù)a的范圍;(2)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和.

解

(1)圖為

的圖象,

方程在[0,2π]上有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是高考中主要考查三角函數(shù)的概念、周期性、單調(diào)性、有界性.填空題、解答題均有可能出現(xiàn),難度以容易題、中檔題為主.

1.當(dāng)明確了函數(shù)圖象基本特征后,“描點(diǎn)法”是作函數(shù)圖象的快捷方式.運(yùn)用“五點(diǎn)法”作正、余弦型函數(shù)圖象時(shí),應(yīng)取好五個(gè)特殊點(diǎn)，并注意曲線(xiàn)的凹凸方向.思想方法感悟提高高考動(dòng)態(tài)展望方法規(guī)律總結(jié)2.作函數(shù)圖象首先要確定函數(shù)的定義域,先作出一個(gè)周期的圖象，再利用周期性作出整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.3.數(shù)形結(jié)合是本節(jié)課的重要數(shù)學(xué)思想.4.對(duì)于周期函數(shù),先確定一個(gè)周期內(nèi)的圖象，再確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.5.判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性.注意偶函數(shù)的和、差、積、商仍為偶函數(shù).6.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定,一般先將函數(shù)化為基本三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式,然后通過(guò)同解變形或利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.若對(duì)函數(shù)利用描點(diǎn)畫(huà)圖，則根據(jù)圖形的直觀(guān)性可迅速獲解.一、填空題1.(2009·大連一模)y=sin(2x+)的最小正周期是

____.

解析∵y=sinx的周期為2π,定時(shí)檢測(cè)2.(2010·揚(yáng)州模擬)

的最大值為_(kāi)___,此時(shí)x=______________.

解析33.(2010·鹽城模擬)函數(shù)的定義域是

_________________________.

解析4.(2009·牡丹江調(diào)研)已知函數(shù)y=2cosx(0≤x≤1000π)的圖象和直線(xiàn)y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形,則這個(gè)封閉圖形的面積是________.

解析如圖,y=2cosx的圖象在[0,2π]上與直線(xiàn)

y=2圍成封閉圖形的面積為S=4π,

所以在[0,1000π]上封閉圖形的面積為

4π×500=2000π.2000π5.(2010·江蘇鹽城月考)已知函數(shù)y=tanωx在內(nèi)是減函數(shù),則ω的取值范圍是________.

解析由已知條件ω<0,∴-1≤ω<0.-1≤ω<06.(2008·遼寧理)已知(ω>0),

且f(x)在區(qū)間上有最小值,無(wú)最大值,則ω=_____.

解析如圖所示,

又f(x)在區(qū)間內(nèi)只有最小值、無(wú)最大值,答案7.(2009·浙江寧波檢測(cè))定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)時(shí),f(x)=sinx,則的值為_(kāi)___.

解析由已知得8.(2010·連云港模擬)sin2,cos1,tan2的大小順序是__________________.

解析

sin2>0,cos1>0,tan2<0.∵cos1=sin(-1),sin2=sin(π-2),

從而sin(-1)<sin(π-2),即cos1<sin2.

故tan2<cos1<sin2.tan2<cos1<sin29.(2008·全國(guó)Ⅱ)若動(dòng)直線(xiàn)x=a與函數(shù)f(x)=sinx

和g(x)=cosx的圖象分別交于M、N兩點(diǎn),則|MN|

的最大值為_(kāi)___.

解析設(shè)x=a與f(x)=sinx的交點(diǎn)為M(a,y1),

x=a與g(x)=cosx的交點(diǎn)為N(a,y2),

則|MN|=|y1-y2|=|sina-cosa|二、解答題10.(2009·福建莆田模擬)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是1？若存在,求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，說(shuō)明理由.

解11.(2008·陜西)已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值;(2)令g(x)=判斷函數(shù)g(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由.

解

∴f(x)的最小正周期當(dāng)時(shí),f(x)取得最小值-2;

當(dāng)時(shí),f(x)取得最大值2.(2)g(x)是偶函數(shù).理由如下∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù).12.(2010·山東濟(jì)寧第一次月考)設(shè)a=cosx+sinx),b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)已知常數(shù)ω>0,若y=f(ωx)在區(qū)間上是增函數(shù),求ω的取值范圍;(3)設(shè)集合A=B={x||f(x)-m|<2},

若AB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

(1)f(x)=·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx