垂徑定理(第1課時(shí))

3.3垂徑定理(第1課時(shí))圓的軸對(duì)稱性

例1如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.(1)右圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，對(duì)稱軸是什么？(2)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由．

反思：圓是軸對(duì)稱圖形，它的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸．例2一條30m寬的河上架有一半徑為25m

的圓弧形拱橋，請(qǐng)問(wèn)一頂部寬為6m且高出水面4m的船能否通過(guò)此橋？并說(shuō)明理由．解析：假設(shè)該橋恰能通過(guò)橋時(shí)，橋的半徑為r，如圖所示，AB表示拱橋，EF為船頂部寬，CD為船頂?shù)剿娴木嚯x．垂徑定理(連結(jié)OE，OB，設(shè)OC＝x(O為圓心)，在Rt△OBC中，r2＝152＋x2，①在Rt△ODE中，r2＝(4＋x)2＋32

②由①②，得r＝

≈29.2＞25即船恰能通過(guò)時(shí)，橋的半徑為

m，而橋的半徑只有25m，所以該船不能通過(guò)此橋．變式：如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長(zhǎng)為8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OM長(zhǎng)的取值范圍是(

)A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5答案：A例3

如圖，△OCD為等腰三角形，底邊CD交⊙O于A、B兩點(diǎn)．求證：AC＝BD.

垂徑定理的應(yīng)用解：作OE⊥CD于E.則由垂徑定理，得AE＝BE.∵△OCD為等腰三角形，∴CE＝DE.∴AC＝BD.例利用尺規(guī)作圖把弧AB

四等分．(正解：如圖，先作AB的中垂線交AB，AB于點(diǎn)G，T，連結(jié)AG，BG分別作AG，BG的中垂線交AG，BG，于點(diǎn)M，N.(((1．圓是軸對(duì)稱圖形，每一條過(guò)圓心的直線都是圓的對(duì)稱軸．2．垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平

分．弦所對(duì)的弧1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，OB＝5，OM＝3，則CD的長(zhǎng)為()

A．4

B．5

C．8

D．16第1題圖

2．如圖，已知⊙O的半徑為5mm，弦AB＝8mm，則圓心O到AB的距離是()

A．1mm

B．2mmC．3mm

D．4mmA組基礎(chǔ)訓(xùn)練第2題圖CC3．如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，若AB＝，則⊙O的半徑為()A.B．C.D.第3題圖

4．如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為()A．2cmB.cmC．

cmD．cm第4題圖AC5．如圖所示，CD是⊙O的直徑，AB是弦，

OD⊥AB于M，則可得出AM＝BM，AC＝BC等結(jié)論，請(qǐng)你按現(xiàn)有的圖形再寫(xiě)出另外兩個(gè)結(jié)論：

．第5題圖

6．如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)C是半圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，OE交弦AC于點(diǎn)D，若AC＝8cm，DE＝2cm，則OD的長(zhǎng)為

cm.第6題圖((AD＝BD，∠ACD＝∠BCD等((3(7．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)M，AM＝18，BM＝8，則CD的長(zhǎng)為

．第7題圖

8．某市建設(shè)污水管網(wǎng)工程，該圓柱形污水管的直徑為100cm，截面如圖所示，若管內(nèi)污水的水面寬AB＝60cm，則污水的最大深度為

cm.第8題圖24109．如圖，是一個(gè)單心圓隧道的截面，若路面AB寬為10m，凈高CD為7m，則求此隧道單心圓的半徑OA.【答案】設(shè)半徑為x，則OD＝7－x∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝5.由勾股定理得AO2＝OD2＋AD2，即x2＝(7－x)2＋52，∴x＝，∴⊙O的半徑為m.第9題圖10．如圖，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M，N，如圖MN＝3，求BC的長(zhǎng)．11．如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，試判斷AC與BD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．第10題圖【答案】∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴，∴BC＝6.第11題圖【答案】作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵OE⊥AB，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.//13．如圖，在Rt△AOB中，∠O＝90°，OA＝6，OB＝8，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓交AB于點(diǎn)C，求BC的長(zhǎng)．第13題圖【答案】作OE⊥AB于點(diǎn)E，由勾股定理AB＝＝10，又∵S△AOB＝AO·BO＝AB·OE得OE＝4.8，∵OE⊥AB，∴AE＝EC＝AC，由勾股定理AE＝＝3.6，∴AC＝2AE＝7.2，∴BC＝AB－AC＝10－7.2＝2.8.【點(diǎn)撥】勾股定理結(jié)合面積試求Rt△斜邊上的高線，再利用垂徑定理求解．B組自主提高12．已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，求弦MN和EF之間的距離．第12題圖【答案】如圖分兩種情況：MN，EF分別在圓心O的同側(cè)或異側(cè)．作OD⊥MN于D，OG⊥EF于G，則