垂徑定理(第1課時)

3.3垂徑定理(第1課時)圓的軸對稱性

例1如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.(1)右圖是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸是什么？(2)圖中有哪些等量關系？說一說你的理由．

反思：圓是軸對稱圖形，它的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．例2一條30m寬的河上架有一半徑為25m

的圓弧形拱橋，請問一頂部寬為6m且高出水面4m的船能否通過此橋？并說明理由．解析：假設該橋恰能通過橋時，橋的半徑為r，如圖所示，AB表示拱橋，EF為船頂部寬，CD為船頂?shù)剿娴木嚯x．垂徑定理(連結OE，OB，設OC＝x(O為圓心)，在Rt△OBC中，r2＝152＋x2，①在Rt△ODE中，r2＝(4＋x)2＋32

②由①②，得r＝

≈29.2＞25即船恰能通過時，橋的半徑為

m，而橋的半徑只有25m，所以該船不能通過此橋．變式：如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則OM長的取值范圍是(

)A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5答案：A例3

如圖，△OCD為等腰三角形，底邊CD交⊙O于A、B兩點．求證：AC＝BD.

垂徑定理的應用解：作OE⊥CD于E.則由垂徑定理，得AE＝BE.∵△OCD為等腰三角形，∴CE＝DE.∴AC＝BD.例利用尺規(guī)作圖把弧AB

四等分．(正解：如圖，先作AB的中垂線交AB，AB于點G，T，連結AG，BG分別作AG，BG的中垂線交AG，BG，于點M，N.(((1．圓是軸對稱圖形，每一條過圓心的直線都是圓的對稱軸．2．垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平

分．弦所對的弧1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，OB＝5，OM＝3，則CD的長為()

A．4

B．5

C．8

D．16第1題圖

2．如圖，已知⊙O的半徑為5mm，弦AB＝8mm，則圓心O到AB的距離是()

A．1mm

B．2mmC．3mm

D．4mmA組基礎訓練第2題圖CC3．如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，若AB＝，則⊙O的半徑為()A.B．C.D.第3題圖

4．如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為()A．2cmB.cmC．

cmD．cm第4題圖AC5．如圖所示，CD是⊙O的直徑，AB是弦，

OD⊥AB于M，則可得出AM＝BM，AC＝BC等結論，請你按現(xiàn)有的圖形再寫出另外兩個結論：

．第5題圖

6．如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是半圓上的一點，點E是AC的中點，OE交弦AC于點D，若AC＝8cm，DE＝2cm，則OD的長為

cm.第6題圖((AD＝BD，∠ACD＝∠BCD等((3(7．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點M，AM＝18，BM＝8，則CD的長為

．第7題圖

8．某市建設污水管網(wǎng)工程，該圓柱形污水管的直徑為100cm，截面如圖所示，若管內污水的水面寬AB＝60cm，則污水的最大深度為

cm.第8題圖24109．如圖，是一個單心圓隧道的截面，若路面AB寬為10m，凈高CD為7m，則求此隧道單心圓的半徑OA.【答案】設半徑為x，則OD＝7－x∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝5.由勾股定理得AO2＝OD2＋AD2，即x2＝(7－x)2＋52，∴x＝，∴⊙O的半徑為m.第9題圖10．如圖，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M，N，如圖MN＝3，求BC的長．11．如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，試判斷AC與BD的大小關系，并說明理由．第10題圖【答案】∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴M，N分別為AB，AC的中點，∴，∴BC＝6.第11題圖【答案】作OE⊥AB于點E，∵OE⊥AB，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.//13．如圖，在Rt△AOB中，∠O＝90°，OA＝6，OB＝8，以點O為圓心，OA為半徑作圓交AB于點C，求BC的長．第13題圖【答案】作OE⊥AB于點E，由勾股定理AB＝＝10，又∵S△AOB＝AO·BO＝AB·OE得OE＝4.8，∵OE⊥AB，∴AE＝EC＝AC，由勾股定理AE＝＝3.6，∴AC＝2AE＝7.2，∴BC＝AB－AC＝10－7.2＝2.8.【點撥】勾股定理結合面積試求Rt△斜邊上的高線，再利用垂徑定理求解．B組自主提高12．已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，求弦MN和EF之間的距離．第12題圖【答案】如圖分兩種情況：MN，EF分別在圓心O的同側或異側．作OD⊥MN于D，OG⊥EF于G，則