高二數(shù)學必修五導學案：3.3.2簡單的線性規(guī)劃（第1課時）

3．3．2簡單的線性規(guī)劃（基本概念）29**學習目標**1．了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；2．了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的最值問題**要點精講**1.研究一個問題:設，式中變量滿足下列條件。求的最大值和最小值分析：從變量x、y所滿足的條件來看，變量x、y所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域ABC.作一組與直線:2x+y=0平行的直線:2x+y=t,t∈R（或平行移動直線），從而觀察t值的變化：從圖上可看出，點（0，0）不在以上公共區(qū)域內，當x=0，y=0時，t=2x+y=0.點（0，0）在直線：2x+y=0上.作一組與直線平行的直線（或平行移動直線):2x+y=t,t∈R.可知，當在的右上方時，直線上的點（x,y)滿足2x+y＞0,即t＞0.而且，直線往右平移時，可以發(fā)現(xiàn)t隨之增大.在經過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點且平行于的直線中，以經過點B（5，2）的直線所對應的t最大，以經過點A（1，1）的直線所對應的t最小.所以：=2×5+2=12，=2×1+3=3。2.目標函數(shù),線性目標函數(shù)線性規(guī)劃問題，可行解，可行域,最優(yōu)解：諸如上述問題中，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件。t=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數(shù).由于t=2x+y又是關于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數(shù)另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.例如：我們剛才研究的就是求線性目標函數(shù)z=2x+y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題那么，滿足線性約束條件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解**范例分析**例1．給出下列命題：①線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的變量或的值；②線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是目標函數(shù)的最大值或最小值；③線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行域；④線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.其中正確的是()A.①②B.②③C.②④D.④例2．已知變量滿足約束條件。求的最大值和最小值。例3．（1）已知變量滿足約束條件，。若目標函數(shù)(其中)僅在點處取得最大值，則a的取值范圍是。（2）已知平面區(qū)域D由以為頂點的三角形內部＆邊界組成。若在區(qū)域D上有無窮多個點可使目標函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則等于（）A．－2B．－1C．1D．4例4．設實數(shù)x、y滿足不等式組（1）求點(x,y)所在的平面區(qū)域；（2）設，在（1）所求的區(qū)域內，求函數(shù)的最值規(guī)律總結1．用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：（1）首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）;（2）設t=0，畫出直線（3）觀察、分析，平移直線，從而找到最優(yōu)解（4）最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值2．已知變量滿足約束條件，當時，將直線向上平移時，目標函數(shù)的越來越大；當時，將直線向上平移時，目標函數(shù)的越來越小。**基礎訓練**一、選擇題1．在約束條件下，則目標函數(shù)的最優(yōu)解是（）A．（0，1），（1，0）B．（0，1），（0，-1）C．（0，-1），（0，0）D．（0，-1），（1，0）2．設變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為（）Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．設變量、滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．4．設R為平面上以A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）為頂點的三角形區(qū)域（包括邊界），則z=4x－3y的最大值與最小值分別為（）A、最大值14，最小值－18B、最大值－14，最小值－18C、最大值18，最小值14D、最大值18，最小值－145．如圖所示的坐標平面的可行域（陰影部分且包括邊界）內，目標函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則為（）A、B、2C、D、6二、填空題6．已知,則4a－2b取值范圍是。7．已知實數(shù)、滿足則的最大值是。8．設、滿足約束條件則使得目標函數(shù)的最大的點是。三、解答題9．求目標函數(shù)的最大值及對應的最優(yōu)解，約束條件是．10．求的最大值和最小值，其中滿足約束條件。四、能力提高11．在約束條件下，當時，目標函數(shù)的最大值的變化范圍是（）A.B.C.D.12．己知滿足條件：且(1)試畫出點的存在范圍；(2)求的最大值.3．3．2簡單的線性規(guī)劃（基本概念）29例1．解：選D。注意對概念的辨析。例2．分析：從變量x、y所滿足的條件來看，變量x、y所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域ABC.作一組與直線：平行的直線：（或平行移動直線），從而觀察t值的變化：從圖上可看出，點（0，0）不在以上公共區(qū)域內，當x=0，y=0時，t=2x+y=0.點（0，0）在直線：2x+y=0上.作一組與直線平行的直線（或平行移動直線):.因為直線化成，斜率為，在軸的截距為，當直線往右平移時，軸的截距為隨之增大，因此隨之減小。在經過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點且平行于的直線中，以經過點B（5，2）的直線所對應的t最大，以經過點的直線所對應的最小.所以：，。例3．（1）解：變量滿足約束條件在坐標系中畫出可行域，如圖為四邊形ABCD，其中A(3，1)，，目標函數(shù)（其中）中的z表示斜率為－a的直線系中的截距的大小，若僅在點處取得最大值，則斜率應小于，即，所以的取值范圍為(1，+∞)。（2）依題意，令z＝0，可得直線x＋my＝0的斜率為－，結合可行域可知當直線x＋my＝0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點都可使目標函數(shù)z＝x＋my取得最小值，而直線AC的斜率為－1，所以m＝1，選C。例4．解：（1）已知的不等式組等價于解得點所在的平面區(qū)域為所示的陰影部分（含邊界）其中，（2）表示直線在y軸上的截距，且直線與（1）中所求區(qū)域有公共點∵,∴當直線過頂點C時，最大∵C點的坐標為（-3，7），∴的最大值為如果-1＜≤2，那么當直線過頂點A（2，-1）時，最小，最小值為-1-2.如果＞2，那么當直線過頂點B（3，1）時，最小，最小值為1-3評注：由于直線的斜率含參數(shù)，所以在求截距的最值時，要注意對參數(shù)進行討論，方法是直線動起來**參考答案**1．A；2．B；3．B；提示：設變量、滿足約束條件在坐標系中畫出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，則目標函數(shù)的最小值為3，選B.4．A；5．A；提示：當目標函數(shù)移動到與直線重合時，取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，6．7．已知實數(shù)、滿足在坐標系中畫出可行域，三個頂點分別是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴的最大值是4.8．(2,3).；9.解：作出其可行域如圖所示，約束條件所確定的平面區(qū)域的五個頂點為（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1），作直線l0：10x+15y=0，再作與直線l0平行的直線l：10x+1