(必考題)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修4第一章《不等關(guān)系與基本不等式》測(cè)試

nn242，88，88，8，88nn242，88，88，8，88一、選題1．某單位計(jì)劃今明兩年購(gòu)買某物品，有甲、乙兩種不同的購(gòu)買方案，甲方案：每年購(gòu)買的數(shù)量相等；乙方案：每年購(gòu)買的金額相等，假設(shè)今明兩年該物品的價(jià)格分別為、

p1

，則這兩種方案中平均價(jià)格比較低的是（）A．甲

B．

C．甲、乙一樣

．法確定2．若a＞，下列不等式一定成立的是（）A．

11ab

B．a(chǎn)

5

5

C．a(chǎn)c

2

bc

2

．

b3．已知

，ab

a，則a的最小值（）A．B．C．

．4．已知函數(shù)f(x)

，若

x[2,

，

f)0則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．

(

B．

(0,

C．

[0,

．

(1,5．設(shè)

0.6，0.3

12

，則（）A．C．

mmmmn

B．．

mmn6．等差數(shù)列{a}的n項(xiàng)和S，S≤615≤≤21，則的取值范圍為（）A．

47

B．

C．

．

7．如果

2

，

，

c

10.53

，那么)A．

B．

c

C．

．

ca8．如關(guān)于的等式

x

的解集不是空集，則參數(shù)a的值范圍是（）A．

B．

C．

．

9．若A．

，則下列結(jié)論不正確的是B．

C．

．10．知

bR

，且

a2

，

，則，的關(guān)系是（）A．

P

B．

P

C．

P≤

．

P11．，下列不等式成立的是（）

a,2p::xxa,2p::xxA．2

B．

11ab

C．

ab

．e12．x是x

成立的)A．充分不必要條件C．要條件二、填題

B．要不充分條件．非充分又非必要條件13．知平面向量a，，

滿足|b，

，則|

的最大值為___________．14．出下列語(yǔ)句：①若a為正實(shí)數(shù)，a，a

3；②若為正實(shí)數(shù)，

a

，則

abb

；③若

abc

，則；④當(dāng)

x

2

)時(shí)

2x

的最小值為，中結(jié)論正確的___________．15．較大?。?_______

25

．16．知不等式xyax，對(duì)任意

xy[4,5]

恒成立，則實(shí)數(shù)a的值范圍是__________．．某學(xué)習(xí)小組，調(diào)查鮮花市場(chǎng)價(jià)格得知，購(gòu)買2支瑰與1支乃馨所需費(fèi)用之和大于8元而購(gòu)買4支瑰與5支乃馨所需費(fèi)用之和小于22元設(shè)買支瑰花所需費(fèi)用為元，購(gòu)買支乃馨所需費(fèi)用為元?jiǎng)t、B的大小關(guān)系_18．關(guān)于的等式

(ab)

的解集為

{5}

，則

________.19．知二次函數(shù)（（R）值域?yàn)?，∞），為．

acca

的最小值20．函數(shù)

f(x)

|

(a0)

，若

f

，則

a

的取值范圍是_____.三、解題21．知函數(shù)

fx

的最大值為m．f的解集；（）不等式（）、均正數(shù)，且滿足

b2，求證：ab

．22．實(shí)滿2ax，實(shí)數(shù)滿足（），為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

x

.（）其中

a0

且是的分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范.

xxm12112xxm1211223．知函數(shù)

f(x

.（）時(shí)求不等式

f(x

的解集；（）a，若

f(

的圖象與軸成的三角形面積于，求的.24．知函數(shù)

f(x)x|

.f(x)的解集；（）不等式（）存在實(shí)，使得不等式

m

mf(x)

成立，求實(shí)數(shù)的值范圍25．下列關(guān)于的等式的解集（）

2x

；（）x|．26．函數(shù)

f(

1132cx32

，

f

x

為

的導(dǎo)函數(shù)，

f

a2

，3cb

.（），表，證明：

a0

時(shí)，

ba

；（）

a

12

，b，

，求證：當(dāng)時(shí)，

f

.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要除一選題1．解析：【分析】分別計(jì)算出兩種方案的平均價(jià)格，然后利用作差法可得出結(jié).【詳解】對(duì)于甲方案，設(shè)每年購(gòu)買的數(shù)量為，兩年的購(gòu)買的總金額為

xx12

，平均價(jià)格為

pp1x2

；y對(duì)于乙方案，設(shè)每年購(gòu)買的總金額為y，則總數(shù)量為，2平均價(jià)格為

yp12

11

.因?yàn)?/p>

pp2pppp12122pppp2pp122

，所以，

p2p2p

.因此，乙方案的平均價(jià)格較低故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，作差法的主要步驟為：作差—形判正負(fù)．所給不等式是積、商、冪的形式時(shí)，可考慮比商2．B解析：【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【詳解】a＞，則

與的小關(guān)系不確定；由函數(shù)y=x5在R上調(diào)遞增∴a5b5；b=0時(shí)，ac=bc；取，=-2|a|＞b不立．因此只有B成立．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．C解析：【分析】令

a

，得

a

，代入2ab

2

，簡(jiǎn)后利用判別式列不等式，解不等式求得【詳解】

的最小值令

z

，得

a

，代入2ab

2

并簡(jiǎn)得b2

，關(guān)于的一元二次方程有正解所以首先

，即

，由于,是正實(shí)數(shù)，所以

z，即z

，也即a的小值為.此時(shí)對(duì)稱軸

12z22

，所以關(guān)于的元二次方程

有正解，符合題意.故選：【點(diǎn)睛】

220.60.60.60.6220.60.60.60.6本小題主要考查判別式法求最值，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔.4．B解析：【分析】結(jié)合已知不等式可轉(zhuǎn)化為即

2

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求

2

x在

[2,

上的最大值即求解．【詳解】解

,

f()

,即

2

x在

x[2,

上恒成立結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)

2

時(shí)x取最大值為0.即

a

.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了由不等式恒成立問題求參數(shù)的范對(duì)關(guān)于

f(x)

的不等式在的段區(qū)間上恒成立問題一情況下進(jìn)行參變分,

ah()

在區(qū)間上恒成立只求出

h(x)

的最大值令

()

max

即可若

a(x)

在區(qū)間上恒成立只求出

(x)

的最小值令

min

即可.5．A解析：【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,n

,根據(jù)不等式的性質(zhì)可知

m

;通比較11m

與1的小關(guān)系即判斷

,從可選出正確答案【詳解】解

0.6

,

1log0.6log12

,則

mn1log0.3loglog0.6mmnm故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào).比較對(duì)數(shù)的大小常結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小對(duì)

f()a

,若

,則1)0

時(shí)

fx0

;當(dāng)

x時(shí)

fx

;當(dāng)

x

時(shí)

f(

;若a,則1)x

時(shí)

f()

;當(dāng)

時(shí)

f)0

;當(dāng)時(shí)

fx0

.6．B解析：

22222222222212222222222221【分析】首先設(shè)公差為d

，由題中的條件可得

a2

和

152122

，利用待定系數(shù)法可得

a2

112aa4

，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得【詳解】

.設(shè)公差為d

，由

2

，得

1

，即

a2

；同理由

4

可得

15a2

.故可設(shè)

ax22

，所以有

ay2

，所以有

yxy

，解得

x

14

，即

1aa44

，因?yàn)?/p>

1

1315212，428

.所以

231333322，即84

.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運(yùn)算，利用不等式求解范圍時(shí)注意放縮的尺度，運(yùn)算次數(shù)越少，范圍越準(zhǔn).7．D解析：【分析】由題意可知，

asin

34

，

，

1c3

，從而判斷ac

的大小關(guān)系即可【詳解】2

43sinsin21123

2，即2

11log，log23

11

2b故選：【點(diǎn)睛】本題考查比較大小，是比較綜合的一道題，屬于中檔.8．A解析：【分析】先求最小值是，即得解【詳解】由題得＜有，由絕對(duì)值三角不等式|≥|x-3-x+4|=1所以最小值為，所以＜即＞故選【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式求最值，考查不等式的有解問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能.9．D解析：【分析】不妨令【詳解】

，代入各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，找出符合條件的選項(xiàng)．由題，妨令，故正；

，可得a＜2，故A正；，故C正．故不確．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項(xiàng)，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題10．解析：【解析】分析：因?yàn)镻﹣2=﹣

(

≤0，以P≤Q，則P，

詳解：因?yàn)閍，∈，P=

aa，，2所以2

a

2

2a，24

2

，則2﹣2=

a22a2ab()﹣=﹣≤0424當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等成立，所以2﹣2≤0，即P≤Q

2所以P≤Q故選：．點(diǎn)睛：比較大小的常用方法（）差法：一般步驟：作②變；定；結(jié)論其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方當(dāng)個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差（）商法：一般步驟：作②變；判商的大小；結(jié).（）數(shù)的單性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān).（）助第三比較法11．解析：【解析】分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)，通過舉例，可判定A、、不確根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到是確.詳解：當(dāng)

b

時(shí)，滿足，時(shí)

2

ab

，所以A、、不正確；因?yàn)楹瘮?shù)

是單調(diào)遞增函數(shù)，又由所以e

a

b

，故選點(diǎn)睛：本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中熟記不等式的基本性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力12．解析：【解析】分析：先化簡(jiǎn)x和x詳解：因?yàn)椋?≤x≤2.

，再利用充要條件的定義判斷因?yàn)?/p>

，所以1≤x+1，所2≤x≤0.

因?yàn)?≤2成，-2≤x≤0不一定成立，所以

成立的非充分條.因?yàn)?≤x≤0成，-2≤x≤2一定成立，所以x

成立的必要條件所以是x

成立的必要不充分條.故答案為：點(diǎn)睛：1）題主要考查解絕對(duì)值不等式和充要條件的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力(2)判充要條件常用的方法定義法、集合法和轉(zhuǎn)化.二、填題13．【分析】只有不等號(hào)左邊有當(dāng)為定值時(shí)相當(dāng)于存在的一個(gè)方向使得不等式成立適當(dāng)選取使不等號(hào)左邊得到最小值且這個(gè)最大值不大于右邊【詳解】當(dāng)為定值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取最小值此時(shí)所以因?yàn)樗运运援?dāng)且僅當(dāng)且與解析：2【分析】只有不等號(hào)左邊有

c

，當(dāng)

c

為定值時(shí)，相當(dāng)于存在

c

的一個(gè)方向使得不等式成立．適當(dāng)選取【詳解】

c

使不等號(hào)左邊得到最小值，且這個(gè)最大值不大于右邊．當(dāng)

c

為定值時(shí)，|)|

當(dāng)且僅當(dāng)c與向時(shí)取最小值，此時(shí)||a|

，所以c|

aa

．因?yàn)閍b|，以())a)，所以

a)

a

|a)

a

]所以|a2，且僅當(dāng)a且與同時(shí)取等號(hào)．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考察平面向量的最值問題，需要用到轉(zhuǎn)化思想、基本不等式等，綜合性很強(qiáng)，屬于中檔題．14．③分析】利用作差法可判斷出確；通過反例可排除②根據(jù)不等式的性質(zhì)可知③確；根據(jù)的范圍可求得的范圍根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知錯(cuò)誤【詳解】①為正實(shí)數(shù)即可知正確；②若則可知錯(cuò)誤；③若可知?jiǎng)t即可知解析：③.【分析】利用作差法可判斷出正；通過反例可排；根據(jù)不等式的性質(zhì)可正確；根據(jù)

的范圍可求得x

的范圍，根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可④錯(cuò).【詳解】

22y22y①

a2

a

，b為實(shí)數(shù)

，32，a332，知正；②若，

，

，則

a1b2b

，可知錯(cuò)；③若

acc

，可知c

，

abc2

2

，即a，可③確；④當(dāng)

x0,

時(shí)，sin象可知：

sinsin

，可知④錯(cuò).本題正確結(jié)果：③【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較大小問題、利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問題，屬于常規(guī)題型15．【詳解】試題分析：要比較的大小只須比較要比較兩數(shù)的大小只須比較的大小顯然從而考點(diǎn)：1數(shù)或式的大小比較；2分析法解析：【詳解】試題分析：要比較7、

25

的大小，只須比較(7)42、21040，比較42、13兩數(shù)的大小，只須比較40的小，顯然

，而67

25

．考點(diǎn)：．或的大小比較2．析法．16．【分析】先將不等式對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意恒成立再令轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立求解即可【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意恒成立所以不等式對(duì)任意恒成立令所以對(duì)任意恒成立令所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等解析[【分析】先將不等式2y2，任意

xy[4,5]

恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式a，任意

xy[4,5]

恒成立，再令tx

，轉(zhuǎn)化為at，任意t[2,5]恒立求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁?/p>

，對(duì)任意

xy[4,5]

恒成立，

所以不等式a

，對(duì)任意

x[4,5]

恒成立，令t

yx

，所以at

，對(duì)任意t恒成立，令yt，所以所以

ya

，故答案為：

[【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問題以及不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題17．A>B【分析】設(shè)每支支玫x元每支康乃馨y元?jiǎng)t由題意可得：代入可得：根據(jù)不等式性質(zhì)聯(lián)立即可得解【詳解】設(shè)每支支玫瑰元每支康乃馨y元?jiǎng)t由題意可得：代入可得：根據(jù)不等式性質(zhì)可得：而可得故故答案為：【點(diǎn)解析：A【分析】設(shè)每支支玫瑰x元每支康乃馨y元，則

AB

，由題意可得：

xyx22

3，代入可得：

，根據(jù)不等式性質(zhì)，聯(lián)立即可得解.【詳解】設(shè)每支支玫瑰x元每支康乃馨y元，則

2xAyB

，由題意可得：

xyx22

，3代入可得：

，根據(jù)不等式性質(zhì)可得：

B

，而

，可得

A

,故AB，故答案為：A

【點(diǎn)睛】本題考查了利用不等式解決實(shí)際問題，考查了不等式性質(zhì)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題18．【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)解不等式后與已知比較可求得【詳解】由得即所以解得所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵解析【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)【詳解】

解不等式后與已知比較可求得b由

|

得

x

，即

x

，所以，得，所以

a

．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式，掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．【分析】先判斷是正數(shù)且把所求的式子變形使用基本不等式求最小值【詳解】由題意知?jiǎng)t當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)∴的最小值為4點(diǎn)睛】】本題考查函數(shù)的值域及基本不等式的應(yīng)用屬中檔題解析：【分析】先判斷、是數(shù)且ac把所求的式子變形使用基本不等式求最小值．【詳解】由題意知，

＞ac＞0，則

c1a1ccaaaac當(dāng)且僅當(dāng)ac取等號(hào)．

cca

的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域及基本不等式的應(yīng)用．屬中檔.20．【解析】分析：即再分類討論求得的范圍綜合可得結(jié)論詳解：函數(shù)函數(shù)由可得其中下面對(duì)進(jìn)行分類討論①可以解得②可以解得綜上即答案為點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化分類討論的數(shù)學(xué)思想屬于中檔題

22121解析()2【解析】分析：

f

，即

x

1a

，再分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．詳解：函數(shù)函數(shù)

f

x(a0)

，由

f

x

，其中，下面對(duì)進(jìn)分類討論，①3時(shí)

5

521，可以解得＜＜2②＜

時(shí)，

＜5

1，可以解得＜2綜上，a55即答案為點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解題21．1）

；（）明見解.【分析】（）段討論絕對(duì)值即可求解不等式；（）求出m，由基本不等式即可證.【詳解】（）：當(dāng)

x

時(shí)，

f

，令

，x

，解得此時(shí)

；當(dāng)

14

時(shí)，

f

，令

f

，即

，解得

x

55，此時(shí)33

；當(dāng)x4時(shí)

f

，令

，，得x，此時(shí)x．

qxqp,p綜上所述，不等式

的解集為

5

；（）：由（）知，當(dāng)時(shí)

f

；當(dāng)

時(shí)，

f

；當(dāng)x4時(shí)

f

．綜上所述，函數(shù)

的最大值為

，∴

a

．由基本不等式得a2b2abacb

，當(dāng)且僅當(dāng)

a

時(shí)，等號(hào)成立，所以

c2abc

．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值不等式的求解和不等式的證明，解題的關(guān)鍵是分段去絕對(duì)值求解，能正確利用基本不等式建立關(guān).22．1）

2

43

【分析】（）一元二不等式求得x的值圍，解絕對(duì)值不等式求得中x的值范圍，根據(jù)為，即都真題，求得的取值范圍.（）一元二不等式求得中的值范圍，根據(jù)是的分不必要條列不等式組，解不等式組求得實(shí)數(shù)的值范.【詳解】對(duì)于：

得

x

，解24（）時(shí)對(duì)于：

x

x

，解得

1x

，由于p為真，所以都真命題，所以

解得

x

，所以實(shí)數(shù)的值范圍是（）

a0

時(shí)，對(duì)于：

2

axa

2

，解得axa由于

是的分不必要條件，所以是的要不充分條件，所以，得4a.所以實(shí)數(shù)的值范圍是

.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據(jù)含有邏輯連接詞命題真假性求參數(shù)的取

aa,aa,值范圍，考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔.23．1）

3[,]2

；（）

a

.【分析】（）代

f(x)

中，然后根據(jù)

f(4

，利用零點(diǎn)分段法解不等式即可；（）據(jù)條件求出

f(x)

的圖象與軸成的三角形底邊和高，然后根據(jù)面積為6得到關(guān)于的方程，再求出的.【詳解】解：（）時(shí)

xf()xx

.fx)

，

4或或，x1x1

32

或

x

5x，22

，

不等式的解集為

.（）時(shí)，

(1a),xf()xa(a1

，當(dāng)a，令

f()，x

12或，a又由

yxay

，得，fx)

的圖象與軸成的三角形面積于，1a1a2

，解得

或

a

12

（舍

)

.

mm【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查了分類討論思想和方程思想，屬于中檔.24．1）

(

(

；（）

(1,4)

.【分析】（）函數(shù)

yf(x)

的解析式表示為分段函數(shù)，然后分

、

x

、

x

三段求解不等式

f()

，綜合可得出不等式

f(x)

的解集；（）出函數(shù)f(x)的最大值即可得出實(shí)數(shù)的值范圍

f)

，由題意得出

m

2

f(x

，解此不等式【詳解】xf(x)x

.

（）

x

時(shí)，由

(x

，解得x，時(shí)；當(dāng)

時(shí)，由

(x

，解得

x此時(shí)

；當(dāng)