2020-2021學年北京市西城區(qū)北京四中高二上學期期中考試數(shù)學試題

2S期中考試試卷2S北京市西區(qū)北京四中2020-2021學年高二上學期中考試試（卷分100分，試間100分鐘一選題11.正棱錐底面邊長變?yōu)樵瓉淼?倍高變?yōu)樵瓉淼模w積（）A.不

B.變原來的C.變原來的

12

D.變原來的

『案』B『析』設正三棱錐底面面積為，高為，原來的體積為

VSh新的體積為

2ShSh

，即體積變?yōu)樵瓉淼?倍故選：2.設球半徑為，P、Q是地球上兩點，在緯、經(jīng)，在緯、東經(jīng)140°，P、

兩點截北緯圈的劣弧長為（）A.

B.C.

D.

『案』A『析』如圖所示：設地球北緯緯圓的圓心為，1

，rst，即E期中考試試卷，rst，即E因為P在緯30°、經(jīng)，

在北緯30°、東經(jīng)，所以

PCQ20

2

，

OQR在直角

OCQ

中，

，所以

R，所以北緯緯的半徑為，所以

、

兩點截北緯圈的劣弧長為

333

，故選：3.正20面有個點、條，個，則（）A.C.

rr

B.D.

rr『案』A『析』對于凸多面體面，面數(shù)頂點數(shù)棱，所以

tr

，故選：4.棱為2的直平行六面體

ABD1

，

BAD60

，則

AC1

與平面

1所成角的正弦值為（）1

A.

2

B.

C.

D.

『案』D『析』作

1

，垂足為，，

AE1

，

AC1

，ABA111直平行六面體，

平面

，

就是對角線

AC1

與側面

1所角，

DE平面1，12

，aababababcac，aababababcac//aaaacbc棱長都為2的平行六面體

ABD1

中，

，E603

，

3

，

ACCE13

，在Rteq\o\ac(△,A)

1

EC

中，

AE3ACEA

．故選：．5.設、是面直線，給出下列命題：①經(jīng)過直線有僅有一個平面平行于直線；②經(jīng)過直線有僅有一個平面垂直于直線；③存在分別經(jīng)過直線和線的兩個平行平面；④存在分別經(jīng)過直線和線的兩個互相垂直的平面．其中錯誤的命題為（）A.①②

B.②③

C.②④

D.僅『案』D『析對于①，選一條直線與平行，且與相交，則由公理的推論可知，通過與有僅有一個平面，時，故①正確；對于②，若與不直，則直線不可能垂直于直線所在的平面，故②錯；

a對于③，取平面與面

，且使

，若，

b

，且與不行，則

,

異面，故③正確；對于④，若、異，則存在一條直線，使得，，由、所定的平3

MM111OAOBOC期中考試試卷MM111OAOBOC面為，一定可以過直線作個平面

，使得

，故④正確故選：6.在長為的方體

BCD1

中，是

1的中點，則點

到平面

MBD

的距離是（）A.

B.

C.

D.

『案』A『析』以D空間直角坐標原點，

,DC,DD1

分別為

,y,

軸建立空間直角坐標.由于是

1中，故

Ma

，且

A,0M0,0,2

，設

z

是平面BDM的法向量

1n2n

可，故

平面

BDM

的距離

Mdn

10,0,26

6a6

.故選A.7.在兩垂直且交于一點的三條直線上各取不是交點的一點，以它們?yōu)轫旤c構成的三角形是（）A.銳三角形C.鈍三角形

B.直三角形D.以情況皆有可能『案』A『析』如圖所示，設，，兩兩垂直且相交于一點，4

ABCEFEFAMABCEFEFAMAB設OA，OC，則

，

b

，

a

，則

BC2

，則角為銳角，同理可證故選：

,CBA

為銳角，則為銳角三角形8.

、是三角形的、的點把正三角形折成60°的二面如圖的切值為（）3

A.

B.

C.D.以答案均不對『案』B『析』如圖所示，取BC的點，連接'M，交EF于N，連接，，，.5

則，ANEF，所以為邊三角形ABCa則，ANEF，所以為邊三角形ABCaABADOO因為三角形為三角形，則

A'BC

，又點、F是的邊、AC的中點，MN'NEF

，所以，可證得EF面，則

EFAM，以AMBC.所以二面角

的平面角為

，'AMN而設等邊三角形的長為，

AMAN2

，所以

AM3tanABCBM

.故選：9.三錐ABC中PA、、PC兩互相垂直，（）A.有大值B.有小值2C.有大值2D.既最大值也無最小值

PB

，，則其體積『案』C『析』因為三棱錐P中PA、PC兩互相垂直，所以

V

1PA因為

PAPB2

，所以

PA

，當且僅當故選：

PA

時等號成立，所以，10.長體

ABD1

中，，

此方體內(nèi)接于球，則球的面積為（）A.

2

B.

2

C.

50

D.

2006

ACMACBABCD在上點在上MNACMACBABCD在上點在上MNMN『案』C『析』

長方體

BCD1

中，，AD，

1

，

長方體的對角線

AB3

，長方體

AC111

的各頂點都在同一球面上，

AC球的一條直徑為1，得半徑

2

，因此，該球的表面積為

52

)50

，故選：．11.平行六面體

ABD1

的六個面都是菱形，那么點

1在

上的射影一定是

1（）A.重B.垂C.內(nèi)D.外『案』B『析』設點

1在面

D中的射影為點，接11DM則

面

，可得

AC1

，AC/AC該平行六面體各個表面都是菱形，，

BAC111AC

BDBM，所以平面1，

，同理可證

AMC

，

CMAB

，點是1的心，故選：．12.如圖，正四面體中點

AMCNMABND

，

，與成為與成為設

f

，當

時，

f

是（）7

MBFDNDEBMENF△ABDBDMBFDNDEBMENF△ABDBDBDCOAOAOCCOAOC//AC//FNENA.單增函數(shù)C.先調(diào)遞增后單調(diào)遞減

B.單減函數(shù)D.常數(shù)『案』D『析』如圖所示，過點M作//，交于點，過點作NE//，BC于點E，AMAFMF則，，可得出，即四邊形是平行四邊形.MNF

，

MNE

，所以

f

.取的中點，連接OA,OC，由正四面體的特點可知，為等邊三角形，所以，，又

CO

，且平面，平面，所以BD面AOC，BDAC，又，，以，所以

f

.故當

時，

f

是常函數(shù)故選：8

ABFC面，期中考試試卷ABFC面，二填題13.正形與方形ABEF有共邊，面ABCD與面所角為60°，則異面直線與所角大小等_．『案』45°『析』

面

ABCD

面，且

BCBE

，AB連接，如圖所示，則

BCEF

，又

EF/AB

，則EF面，

EF

，即是腰直角三角形，

CFE45

，則異面直線與FC所成角大小等于故答案為：.14.若ABC的邊長分別是、、，平面ABC外點P到三距離都是2則點P到面ABC的離是．『案』

『析』如圖，點在面上的垂足O，PE、PF、PD分是頂點P到角形各邊的距離，9

ABCABCx到平面的離為aABCABCx到平面的離為aaa由三垂線定理的逆定理可知，OE、OF、OD分是三角形各邊的垂線，因為三條側高相等，所以

OEOFOD，OD

，因為的邊長分別是3、、5，所以是角三角形，

2

，由面積相等可以得出：

12

34

113x5222

，解得，故答案為：

P.

ABC22

3

，15.一球的外切正方體的全面積是，則此球體積_．『案』

『析』設正方體的棱長為

a)

，正方體的全面積為6，所以

6a

，所以該正方體的內(nèi)切球的半徑

r

13，因此正方體內(nèi)切球的體積為.故答案為：.16.設、是線，、、為平面，有如下命題：①

，

//

；②內(nèi)不共線三點到

距離相等，則

；③a，，a//，

b//

；④若、異，，

b

且

//

，，

；其中正確命題的序號_．10

aaM//bABADBC『案』④『析』①，正方體一個頂點相鄰的三個平面，滿足兩個平面垂直第三個平面，但是這兩個平面不平行，故錯誤；②中兩平面相交時也可以一個平面找到不共線的三點到另一個平面的距離相等錯誤；③中，直線a，b，ab//，若兩直線平行，兩平面也可相交，故錯誤；④中圖示，、異，，

，

//

直a的面與

的交線

，且必然與相，設交于，理，由知，過直線的平面與的線

，且必然與相，設交于P，此

，

a//

，且

b

a

，均在內(nèi)故.故正確故答案為：.三解題17.已線段面，B為足，BCCD且CD與面角CD

．求：（）面直線與間距離；（）、兩點間的距離．『解）面，∴，又，是面直線與的垂線段，11

CDDDOOOCOCCDDDOOOCOCDCODC中，矩形中，，∴中//PCDMNBC由題，以與間的距離為．（）作于，接，∴是在平面內(nèi)射影，由CD，CO，且是與所成角，由題知

DCO

，又連接，過D作DE//交AB于，由OB，，DEABRt△DCODODC

，

3

．Rt△BCO

中，

BO

7

．DE

，Rt△

AE2222

．18.已四邊形ABCD是形，PD面，NPB點，M是點，二面角

PBC

大小是．求證）平面；（）；（）面平．12

NEDEABCDDEMNNEDEABCDDEMNBC⊥PDC∴是面角的平面角，△DEPCDEMNPCMNMNBPBCAMC『解）中，，．∵、N是中點，是形，∴

NE//DM//BC

且

NEDMBC

，∴四邊形是平行四邊，∵MN面PCD，DE面PCD，∴//平PCD（）ABCD，PDBC∵是形，∴，∵

DCD

，∴BC面PDC，∵PDC，DE，∵，∴．（）面，PCDPBCPCD45

，∴是腰直角三角形，，∵，∴，∵MN，BCPC，PBC，∵面，平面平面．19.已正三棱柱底面邊長為，是上一點，1是以為直角頂點的等腰直角三角形．13

MC的MABCBBCCABCMAMAMCD112MC的MABCBBCCABCMAMAMCD112（）明是中；（）點到面

1

距離；（）二面角

AC1

大?。航猓?/p>

AMC

為直角頂點的等腰直角三角形，∴

AMMC1

，∵

ABC1是三棱柱，∴

CC

面，

CCAM1

，∵

MCCC11，

AM

面1，∴AMBC∵是正三角形，∴是中．BBCC（）面1，面

1，∴面

1

面

BBCC11，如圖所示：作

CDMC1，

D

為垂足，則為求距離，∵ABa，∴

a2AMMCaCCa，，，aCDa6∴．（）圖所示：作

AC1，

E

為垂足，連，14

6Rt△CDEO1:DCACOD6Rt△CDEO1:DCACODCD2OAC由三垂線定理知

CEAC1，

DEC

為所求二面角．在

△C1

中，

a2

，

C11

a3

，6a2a∴在中，∴二面角

AC1

的大小為45°四、附加題20.如，球的面