《線性代數》電子教程4(矩陣的定義及運算)

《線性代數》

電子教案之四1主要內容第四講

矩陣及其運算矩陣的概念；零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；矩陣的線性運算（矩陣的加法及矩陣與數的乘法）、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉置、方陣的行列式以及他們的運算規(guī)律.基本要求理解矩陣的概念，知道零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；熟練掌握矩陣的運算及其運算規(guī)律.2一、矩陣的定義與記號第一節(jié)矩陣1.定義

由個數排成的行列的數表稱為行列矩陣，簡稱矩陣.為表示這個數表是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作3這個數稱為矩陣的元素，簡稱為元，數位于矩陣的第行第列，稱為矩陣的元.以數為元的矩陣可簡記作或.矩陣也記作注意（1）矩陣的記號是在數表外加上括弧，與行列式的記號（在數表外加上雙豎線）是不同的，這是兩個不同的概念，注意區(qū)別.（2）矩陣的行數和列數不一定相等.4二、小結在線性代數里，矩陣是一個主要工具，也是一個主要的研究對象.1850年由西爾維斯特（Sylvester）首先提出矩陣的概念矩陣的應用十分廣泛：自然科學、工程技術、社會科學等許多領域。如在觀測、導航、機器人的位移、化學分子結構的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、模糊識別，以及計算機層析X射線照相術等方面，都有廣泛的應用1858年卡萊（A.Cayley）建立了矩陣運算規(guī)則5一、矩陣的加減法第二節(jié)矩陣的運算1.定義兩個同為的矩陣相加（減）后得一矩陣，其元素為兩矩陣對應元素的和（差）.特別注意只有兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加（減）法.6例如72.矩陣的加減法_運算規(guī)則交換律：結合律：設矩陣記稱為矩陣的負矩陣.

8二、矩陣與數的乘法（矩陣的數乘）1.定義階矩陣與一個數相乘后得一矩陣，其元素為原矩陣對應元素乘以這個數.記作說明矩陣的負矩陣；

純量矩陣.

9例如102.矩陣的數乘_運算規(guī)則

說明

矩陣的加法與矩陣的數乘合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.11三、矩陣與矩陣的乘法（矩陣的乘法）1.概念的引入某家電公司向三個商店發(fā)送四種產品的數量如下表空調冰箱29``彩電25``彩電甲商店30205020乙商店07100丙商店5040505012這四種產品的售價（單位：百元）及重量（單位：千克）如下售價重量空調3040冰箱163029``彩電223025``彩電1820問：該公司向每個商店出售產品的總售價及總重量分別是多少？13甲商店乙商店丙商店售價重量142.定義定義如下：若則其中設是一個矩陣，是一個矩陣，與的乘積是一個矩陣，記作說明：

的元就是的第行元素與的第列元素對應乘積之和.15特別注意_乘積不可交換可乘的前提是的列數等于的行數.

乘積一般不可以交換，1）

為矩陣，但無意義；2）為和均有意義，但2階矩陣，為3階矩陣，不相等；3）若則稱矩陣乘積可交換.16例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.17例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.18例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.19例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.20例6求矩陣與的乘積及

解說明

此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出21３．矩陣的乘法_運算規(guī)則

或簡寫成

純量矩陣與方陣的乘積說明

第五條規(guī)則表明，純量矩陣與方陣都是可交換的．22４．方陣的冪定義設是階方陣，定義說明

此定義表明，就是個連乘，并且顯然，只有方陣，它的冪才有意義.運算規(guī)則

特別注意

一般來說，與不相等.23方陣的多項式設稱為方陣

的次多項式.為數的次多項式，記同一個方陣的兩個矩陣多項式是可交換的：設是的兩個多項式，則由此可知，方陣的多項式可以像數的多項式一樣分解因式.如24說明

當與可交換時，有類似與數的乘法公式.

與為同階方陣：255.行矩陣與列矩陣的乘積設則26四、矩陣的轉置1.定義

把矩陣的行換成同序數的列得到一個新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.即若則其中例如則的轉置矩陣為設矩陣272.對稱矩陣設為階方陣，如果滿足，即那么稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣.例如對稱陣的特點是：它的元素以對角線為對稱軸，對應相等.283.矩陣的轉置_運算規(guī)則

29例8已知求解法1解法2

此例驗證了矩陣的轉置運算規(guī)則430五、方陣的行列式1.定義由階方陣的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或特別注意方陣與行列式是兩個不同的概念，方陣是一個數表，而行列式則是一個數.方陣與它的行列式又是緊密相關的，行列式是方陣確定的一個數，所以行列式可看作方陣的函數；同時，行列式是方陣特性的重要標志.312.由確定_運算規(guī)則

證明注意但但322.有關概念實矩陣與復矩陣：元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣；除特別說明外，都指實矩陣.行矩陣（行向量）：只有一行的矩陣，記作列矩陣（列向量）：只有一列的矩陣，記作矩陣矩陣33方陣：行數與列數都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣.階矩陣也記作同型矩陣:兩個矩陣的行數相等、列數也相等時，就稱它們是同型矩陣.矩陣相等：如果與是同型矩陣，并且它們的對應元素相等，即那么就稱矩陣與矩陣相等，記作34三、幾個特殊矩陣單位矩陣（單位陣）：從左上角到右下角的直線（叫做（主）對角線）上的元素都是1，其它元素都是0，這種矩陣稱為單位矩陣，簡稱單位陣，用表示，即35對角矩陣：不在對角線上的元素都是0.這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣，用表示，即36零矩陣：元素都是零的矩陣，記作0.注意

不同型的零矩陣是不同的，例如37數量矩陣（純量矩陣）：不在對角線上的元素都是0，對角線上的元素相同，這種矩陣稱為數量矩陣，又稱純量矩陣，用表示，