《線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

《線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何》

復(fù)習(xí)要點(diǎn)一.行列式二.矩陣三.向量四.線(xiàn)性方程組六.二次型七.綜合與提高五.(小結(jié))初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的地位內(nèi)容提要

一.行列式

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)一.行列式

行列式

定義

性質(zhì)

計(jì)算

方程組

秩

秩

極大無(wú)關(guān)組

線(xiàn)性相關(guān)性

特征多項(xiàng)式

伴隨矩陣

逆矩陣

應(yīng)用

克拉默法則

面積/體積

矩陣

向量組

叉積/混合積

幾何

一.行列式

行列式

的

定義

低階

一般

一階

遞推公式

排列組合a11A11+a12A12+…+a1nA1na11A11+a21A21+…+an1An1

數(shù)

二階

三階

對(duì)角線(xiàn)法則《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二階行列式

一.行列式a11a12a21a22|A|==a11a22

a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12

(1)1+2a21

a11a12a21a22

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三階行列式

一.行列式

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

=a11A11

+a12A12

+

a13A13

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)一.行列式

a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代數(shù)余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代數(shù)余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代數(shù)余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

行列式的性質(zhì)

一.行列式性質(zhì)1.互換行列式中的兩列,行列式變號(hào).推論.若行列式D中有兩列完全相同,則

D=0.性質(zhì)2.(線(xiàn)性性質(zhì))(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式推論.若行列式D中有兩列元素成比例,則

D=0.性質(zhì)3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不變.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式例2.設(shè)D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,證明:D=D1D2.證明:對(duì)D1施行ci+kcj

這類(lèi)運(yùn)算,把D1化為下三角形行列式:=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnm

bn1…

bnn

a11…a1m

am1…amm

D1

=……《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式對(duì)D2施行ci+kcj

這類(lèi)運(yùn)算,把D2化為下三角形行列式:b11…

b1nbn1…

bnnD2

=……=q11

qn1

…

qnn

…...=

q11…

qnn

,于是對(duì)D的前m列施行上述ci+kcj

運(yùn)算,再對(duì)D的后n列施行上述施行ci+kcj

運(yùn)算,可得:=

p11…

pmm

q11…

qnn

=D1D2.a11…

a1m0…0……………………D=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnm

bn1…

bnn

.p11

pm1

…

pmm

…………=..0dn1

…

dnm

qn1

…

qnn

d11

…

d1m

q11

...《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式性質(zhì)4.設(shè)A,B為同階方陣,則|AB|=|A||B|.性質(zhì)5.設(shè)A方陣,則|AT|=|A|.注:根據(jù)方陣的性質(zhì)5,前面幾條關(guān)于列的性質(zhì)可以翻譯到行的情形.例如:性質(zhì)1’.互換行列式中的兩行,行列式變號(hào).《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)定理1.n階行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.

一.行列式《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式性質(zhì)6.n階行列式的某一行(列)元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理2.設(shè)n階行列式D=|[aij]|,則aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克羅內(nèi)克(Kronecker)記號(hào)ij=1,i=j,0,ij.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式

行列式的計(jì)算

1.二,三階行列式—對(duì)角線(xiàn)法則.2.利用初等變換化為三角形.(其中n

2,x

a).Dn=x

a…aa

x…a………a

a…x例3.計(jì)算n階行列式《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式解:…×(1)…x+(n1)a

a

a…a

a0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa

==[x+(n1)a](xa)n1.Dn=x

a…aa

x…a………a

a…xx+(n1)a

a…ax+(n1)a

x…a………x+(n1)a

a…x=《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式3.按某一行(列)展開(kāi)—降階.4.遞推/歸納.(未寫(xiě)出的元素都是0).例4.計(jì)算2n階行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………

行列式的計(jì)算

1.二,三階行列式—對(duì)角線(xiàn)法則.2.利用初等變換化為三角形.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式例5.證明n階級(jí)(n2)范德蒙(Vandermonde)行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1證明:當(dāng)n=2時(shí),D2=(a2a1).

現(xiàn)設(shè)等式對(duì)于(n1)階范德蒙行列式成立,則(a1)(a1)(a1)…《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn=

11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式5.升階.(其中a1a2…an

0).Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an例6.計(jì)算n階行列式3.按某一行(列)展開(kāi)—降階.4.遞推/歸納.

行列式的計(jì)算

1.二,三階行列式—對(duì)角線(xiàn)法則.2.利用初等變換化為三角形.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式解:

Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an=111…101+a11…1011+a2…1……………011…1+an(1)

…《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式=111…101+a11…1011+a2…1……………011…1+an(1)

…111…11

a10…010a2…0……………100…an=“傘形”行列式

Ilveit!《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一.行列式=111…11

a10…010a2…0……………100…an(1/a1)

…(1/a2)

(1/an)

注意已知條件:a1a2…an

0,否則不能1/a1,…,1/an!=[1+(1/ai)]a1a2

an.

…i=1n=1+(1/ai)

0

0

…

01

a10…010a2…0……………100…ani=1n《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

二.矩陣

矩陣

運(yùn)算

分塊運(yùn)算

初等變換

線(xiàn)性方程組

向量空間

應(yīng)用

標(biāo)準(zhǔn)形

規(guī)范形

正定性

向量組

秩

線(xiàn)性表示

線(xiàn)性相關(guān)性

二次型

特征值特征向量

相似

秩

齊次

非齊次

線(xiàn)性變換

坐標(biāo)變換

基變換《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣運(yùn)算前提條件定義性質(zhì)加法A+BA與B是同類(lèi)型的對(duì)應(yīng)元素相加A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+O=A;A+(A)=O數(shù)乘kAk是一個(gè)數(shù)用k乘A的每一個(gè)元素k(lA)=(kl)A;(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;(1)A=A乘法ABA的列數(shù)

=B的行數(shù)(aij)ml(bij)ln=(cij)mn

cij=(AB)C=A(BC);A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(kA)B=k(AB)冪

AmA是方陣,m是正整數(shù)A1=A,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l;(Ak)l=Akl轉(zhuǎn)置AT無(wú)(aij)ml

T=(aji)lm(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT多項(xiàng)式f(A)A是一個(gè)方陣,f(x)=asxs+…+a1x+a0f(A)=asAs+…+a1A+a0IA=()f(A)=f(),A=(),f(A)=O

f()=0行列式|A|A是一個(gè)方陣,|A1|=|A|1逆矩陣A1A是一個(gè)方陣且|A|0若AB=BA=I則B=A1唯一性,(A1)1=A,(A1)m=(Am)1,(AT)1=(A1)T,(kA)1=k1A1,

(AB)1=B1A1,滿(mǎn)秩,特征值0

矩陣的運(yùn)算

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

行矩陣

列矩陣

零矩陣

初等矩陣

對(duì)稱(chēng)矩陣

對(duì)角矩陣單位矩陣

反對(duì)稱(chēng)矩陣

正交矩陣

正定矩陣

可逆矩陣

數(shù)量矩陣

方陣《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣行矩陣A1n:只有一行,又名行向量.列矩陣An1:只有一列,又名列向量.零矩陣:每個(gè)元素都是0,常記為Omn或O.初等矩陣:由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換所得.方陣:行數(shù)=列數(shù).對(duì)稱(chēng)矩陣:AT=A.對(duì)角矩陣:diag{1,2,…,n},常用表示.

數(shù)量矩陣:kE,kI,其中k為常數(shù).單位矩陣:主對(duì)角線(xiàn)元素都是1,其余元素都是0,

常記為E或I.反對(duì)稱(chēng)矩陣:AT=A.

正交矩陣:QTQ=QQT=E.正定矩陣:AT=A且x

有xTAx>0.可逆矩陣:AB=BA=E.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

矩陣的乘積

向量組之間的線(xiàn)性表示(系數(shù)矩陣)

線(xiàn)性變換的合成(z=By=BAx)

二次型的矩陣表達(dá)式(f(x)=xTAx)

不滿(mǎn)足消去律

結(jié)合律的妙用

不滿(mǎn)足交換律

線(xiàn)性方程組的矩陣表達(dá)式(Ax=b)

兩組基之間的聯(lián)系(過(guò)渡矩陣)

有非平凡的零因子

應(yīng)用

定義

性質(zhì)(T)k

(P1AP)k

向量的內(nèi)積(,=T)

實(shí)際問(wèn)題(背景)《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣值得注意的現(xiàn)象:(1)AB和BA未必相等.(2)(AB)2和A2B2未必相等.例如:A=1100,,B=101011002000,A2B2

=AB=1010=20004000.而(AB)2=2000=11001100=A,A2=1100=10101010=B,B2=1010=《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣值得注意的現(xiàn)象:(1)AB和BA未必相等.(2)(AB)2和B2A2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:A=1100,,B=10101201,(A+B)(AB)

=0

110.而A2

B2

=21105221,(A+B)2=2110=611011001010=4000+而A2+2AB+B2=+,

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣值得注意的現(xiàn)象:(1)AB和BA未必相等.(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.(2)(AB)2和B2A2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:(10)=0,02又如:=100000030000.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣值得注意的現(xiàn)象:(1)AB和BA未必相等.(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.(5)“AB=AC且A

O”推不出“B=C”.(2)(AB)2和B2A2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:(10)02

=0

=(10)

03

,但,02

03

又如:=10000002

0000,10000003

=.0002

0003

但

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

逆矩陣n階方陣A可逆的充要條件定義:AB=BA=I

存在方陣B使AB=I存在方陣B使BA=I|A|0Ax=

只有零解Ax=b

有唯一解秩(A)=nA的行(列)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)A與I相抵(等價(jià))A為有限多個(gè)初等矩陣的乘積A的特征值全非零

計(jì)算A1

利用伴隨矩陣?yán)贸醯茸儞Q(A1)1=A唯一性(A1)m=(Am)1(AT)1=(A1)T(kA)1=k1A1(AB)1=B1A1|A1|=|A|1若A可逆,則秩(AB)=秩(B)秩(CA)=秩(C)是A的特征值1是A1的特征值n階可逆矩陣的性質(zhì)《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣設(shè)A可逆,則A可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形——單位矩陣E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣設(shè)A可逆,則A可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形——單位矩陣E.下面用初等變換解矩陣方程AX=B.注意到X=A1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A1B=X分塊矩陣

初等行變換《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

加法

逆矩陣

乘法

數(shù)乘

轉(zhuǎn)置

行列式用初等行變換求A1(A,E)(E,A1)解AX=B(A,B)(E,A1B)Ax=b的增廣矩陣(A,b)

向量組矩陣矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形(Jordan標(biāo)準(zhǔn)形)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形Em

n(r)分塊矩陣運(yùn)算應(yīng)用《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算注:分塊之前A與B是同類(lèi)型的,

分塊之后,與Aij對(duì)應(yīng)的Bij是同類(lèi)型的(否則加不起來(lái)).

加法

逆矩陣

乘法

數(shù)乘

轉(zhuǎn)置

行列式B=B11…B1t………Bs1…BstA+B=A11+B11…A1t+B1t………As1+Bs1…Ast+BstA=A11…A1t………As1…Ast,《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算

加法

逆矩陣

乘法

數(shù)乘

轉(zhuǎn)置

行列式k

為一個(gè)數(shù)kA=kA11…kA1t………kAs1…kAstA=A11…A1t………As1…Ast,Easy!《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算注:分塊之前A的列數(shù)等于B的行數(shù);分塊之后,各Aik的列數(shù)分別等于對(duì)應(yīng)的Bkj的行數(shù)(否則乘不起來(lái)).

乘法B=B11

…

B1t……

…Bs1

…

BstAB=A=A11…A1s………Ar1…Ars,k=1s

A1kBk1k=1s

A1kBkt

k=1s

ArkBk1k=1s

ArkBkt

……………

逆矩陣

轉(zhuǎn)置

行列式

加法

數(shù)乘《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算

轉(zhuǎn)置A=A11…A1t………As1…AstAT=A11

…

A1tA1t

…

AstTTTT……

加法

數(shù)乘

逆矩陣

行列式

乘法《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算

行列式其中A,B都是方陣.也未必成立,例如A

C

O

B

=|A||B|,A

OCB

=|A||B|,但即使A,B,C,D都是方陣,A

CDB

=|A||B||C||D|00

10

00

01

1000

0100

=

100000

01

00

100100

=10000100

00

1000

01=1.A1

…At

分塊對(duì)角矩陣的行列式=|A1|…|At|.

加法

數(shù)乘

乘法

逆矩陣

轉(zhuǎn)置《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算

逆矩陣若A1,…,At都是可逆方陣A1

…At

1.=A1

…At

11(不必是同階的),則

加法

數(shù)乘

乘法

轉(zhuǎn)置

行列式《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

與初等矩陣的聯(lián)系

解矩陣方程

求逆矩陣

可逆性

解線(xiàn)性方程組求L(1,…,s)的基和維數(shù)

求矩陣的秩

保矩陣的秩

求合同標(biāo)準(zhǔn)形

求極大無(wú)關(guān)組矩陣的初等變換

求向量組的秩

性質(zhì)

分類(lèi)

初等行變換

初等列變換

線(xiàn)性方程組的初等變換

來(lái)源

應(yīng)用《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

矩陣的秩

最高階非零子式的階數(shù)

行向量組的秩

列向量組的秩

r(A)=r(AT)A與B等價(jià)r(A)=r(B)P與Q可逆r(A)=r(PAQ)

max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B)

A與B相似r(A)=r(B)A與B合同r(A)=r(B)

r(A+B)r(A)+r(B)

r(AB)min{r(A),r(B)}

不等式

等式

行空間的維數(shù)

列空間的維數(shù)

定義《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

特征值

和

特征向量

|E–A|=|E–(P1AP)|

i=tr(A),i=|A|A可逆A的特征值全不為零,此時(shí)A=A1=1

|E–A|=|E–AT|A=

f(A)=f()

對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)AT=AR且對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交

性質(zhì)

應(yīng)用

計(jì)算

定義相似對(duì)角化

用A=P1P

計(jì)算Ak

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

|E–A|=0

(E–A)x=0

A=

其中

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣A=

(E–A)=0|E–A|=0

特征方程|E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann

特征多項(xiàng)式E–A

特征矩陣

特征值

特征向量n階方陣

非零向量《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣?yán)?1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對(duì)應(yīng)于1=2的特征向量為對(duì)于1=2,(2E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣?yán)?1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對(duì)應(yīng)于2=4的特征向量為對(duì)于2=4,(4E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣

相似矩陣

反身性,對(duì)稱(chēng)性,傳遞性A~BAB(相抵/等價(jià))A~B|A|=|B|A~Br(A)

=r(B)A~B

多項(xiàng)式f(A)~f(B)

A~B|E–A|=|E–B|

性質(zhì)

A與B相似(A~B):存在可逆陣P使P1AP=BA~Btr(A)

=tr(B)

定義

相似對(duì)角化Ann有n個(gè)不同的特征值

Ann~對(duì)角陣

Ann~對(duì)角陣A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以正交相似對(duì)角化《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣求|I–A|=0的根有重根嗎?無(wú)A可以相似對(duì)角化有秩(iIA)=nni?否Jordan化A不能相似對(duì)角化是求n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量p1,…,pn,令P=[p1,…,pn]P–1AP=diag[1,…,n]《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣?yán)?4.把正交相似對(duì)角化.解:|I–A|=(–2)(–4)2.

所以A的特征值為1=2,2=3=4.

(2I–A)x

=的基礎(chǔ)解系1=(0,1,–1)T.(4I–A)x=的基礎(chǔ)解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.

由于1,2,3已經(jīng)是正交的了,將它們單位化即可得《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣注:對(duì)于2=3=4,若取(4I–A)x=的基礎(chǔ)解系

2=(1,1,1)T,3=(–1,1,1)T,

則需要將它們正交化.取1=2,再單位化,即得《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

二.矩陣?yán)?5.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式為(–1)2(–10),且3=[1,2,2]T是對(duì)應(yīng)于=10的特征向量.(1)證明:是對(duì)應(yīng)于=1的特征向量與3正交;(2)求A.證明(1)()因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,和3是對(duì)應(yīng)于A()因=1是A的二重特征值,故A有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量1,2對(duì)應(yīng)于=1.由于1,2,3線(xiàn)性無(wú)關(guān),而,1,2,3線(xiàn)性相關(guān),可設(shè)

=k11+k22+k33,故

=k11+k22是對(duì)應(yīng)于=1的特征向量.由3,=3,1=3,2=0得k3=0,的不同特征值的特征向量,所以3.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

幾個(gè)概念之間的聯(lián)系

三.向量

三.向量

線(xiàn)性運(yùn)算

度量

內(nèi)積

線(xiàn)性映射

向量

向量組

矩陣

線(xiàn)性方程組

代數(shù)向量

幾何向量

線(xiàn)性組合

線(xiàn)性表示

線(xiàn)性相關(guān)性

基

維數(shù)

極大無(wú)關(guān)組

秩

向量空間

長(zhǎng)度

夾角

單位向量

正交

線(xiàn)性變換

正交變換

正交矩陣

Schmidt正交化方法《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量n維向量的概念

n維向量

本質(zhì)

表現(xiàn)形式

幾何背景

n個(gè)數(shù)a1,a2,…,an構(gòu)成的有序數(shù)組

向量/點(diǎn)的坐標(biāo)

列矩陣

行矩陣

行向量

列向量

分量

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量列向量組:1,2,…,s

矩陣A=(1,2,…,s)

矩陣A的秩

向量組1,2,…,s的秩

r(1,2,…,s)

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量行向量組:1,2,…,s

矩陣A的秩

向量組1,2,…,s的秩

矩陣A=12s…r(1,2,…,s)

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量r(1,2,…,s)

sr(1,2,…,s)

<sr(1,2,…,s)

=s1,2,…,s

線(xiàn)性無(wú)關(guān)1,2,…,s

線(xiàn)性相關(guān)《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans=(1,2,…,s),=b1b2bn…

,x=x1x2xs…,a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量=b1

b2

…bn=a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

a11a21…an1=x1+x2a12a22…an2+…+xsa1sa2s…ans

a11x1+a12x2+…+a1sxs

a21x1+a22x2+…+a2sxs…

………an1x1+an2x2+…+ansxs

=x11+x22+…+xss

Ax=有解能由1,2,…,s

線(xiàn)性表示Ax=有非零解1,2,…,s

線(xiàn)性相關(guān)《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量簡(jiǎn)記為A

:1,2,…,s,C

:1,2,…,n.若j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs

,j=1,2,…,n,即=12n12s《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量簡(jiǎn)記為B:1,2,…,s,C

:1,2,…,m.若i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12sm

1

2

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量矩陣的乘積Cmn

=

Ams

Bsn,=行向量i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs

,j=1,2,…,n,向量組的線(xiàn)性表示:

向量組的線(xiàn)性表示與矩陣乘積《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量

線(xiàn)性表示的傳遞性A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+2

2=12+3

=2(1+2)+(1+22)=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2)=1,《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量B能由A線(xiàn)性表示

A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,111121=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)211101=BF,=(1,2)211101111121=(1,2)3140C能由B線(xiàn)性表示一般地,C能由A線(xiàn)性表示.《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)初等行變換

矩陣A與B的行向量組等價(jià)B的行向量組能由A的行向量組線(xiàn)性表示A的行向量組能由B的行向量組線(xiàn)性表示初等行變換《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量矩陣A與B的列向量組等價(jià)B的列向量組能由A的列向量組線(xiàn)性表示A的列向量組能由B的列向量組線(xiàn)性表示初等列變換初等列變換《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量注:初等行變換(1)無(wú)法通過(guò)初等列變換實(shí)現(xiàn)矩陣A與B的行向量組等價(jià),但列向量組不等價(jià).初等列變換(1)無(wú)法通過(guò)初等行變換實(shí)現(xiàn)矩陣C與B的列向量組等價(jià),但行向量組不等價(jià).《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量設(shè)A與B是同類(lèi)型的矩陣,但是反過(guò)來(lái),都未必成立.例如:(1)若它們的行向量組等價(jià),則r(A)=r(B),從而可得A與B等價(jià)(相抵).(2)若它們的列向量組等價(jià),則r(A)=r(B),從而可得A與B等價(jià)(相抵).則A與B等價(jià)(相抵),但它們的行向量組不等價(jià),A=1000,B=0001,列向量組也不等價(jià).《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量其中1,…,s是維數(shù)相同的列向量(1,2,…,s也是維數(shù)相同的列向量),則1,…,s也是線(xiàn)性相關(guān)的.

一些常用的結(jié)論

(1)含有零向量的向量組一定線(xiàn)性相關(guān).(2)單個(gè)向量

構(gòu)成的向量組線(xiàn)性相關(guān)

=.(3)兩個(gè)向量,線(xiàn)性相關(guān)

與的分量成比例.(4)若1,…,s線(xiàn)性相關(guān),則1,…,s,s+1,…,t也線(xiàn)性相關(guān).

若1,…,s,s+1,…,t線(xiàn)性無(wú)關(guān),則1,…,s也線(xiàn)性無(wú)關(guān).

(5)任意n+1個(gè)n維向量線(xiàn)性相關(guān).(6)如果向量組,…,線(xiàn)性相關(guān),1

1

s

s

線(xiàn)性無(wú)關(guān).若1,2,…,s線(xiàn)性無(wú)關(guān),則,…,1

1

s

s

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量則I0與I等價(jià).(7)向量組1,…,s

(s2)線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是:其中至少有某一個(gè)向量可由其余的向量線(xiàn)性表示.(8)若向量組1,…,s線(xiàn)性無(wú)關(guān),而1,…,s,線(xiàn)性相關(guān),則

一定能由1,…,s線(xiàn)性表示,且表示的方式是唯一的.(9)若向量組I:1,…,s可由向量組II:1,…,t

線(xiàn)性表示,并且s>t,則向量組I是線(xiàn)性相關(guān)的.(10)若1,…,s線(xiàn)性無(wú)關(guān),且可由1,…,t線(xiàn)性表示,則s

t.(11)若向量組1,…,s和1,…,t都線(xiàn)性無(wú)關(guān),并且這兩個(gè)向量組等價(jià),則s=t.(12)設(shè)I0:1,…,r是向量組I:1,…,s的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,

一些常用的結(jié)論

《線(xiàn)性代數(shù)》《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

三.向量這兩個(gè)向量組的秩都是2,但它們不等價(jià).事實(shí)上,I中的不能由II線(xiàn)性表示.)例如:

一些常用的結(jié)論

(13)若向量組I