2020-2021海淀區(qū)高三上期末數(shù)學(xué)試題及答案

2021京海淀高三（上）期末數(shù)

學(xué)2020.01本試卷共8頁(yè)，150分考試時(shí)常120分。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共分）一、選擇題共小，每小題4，共分。在每小題列出的四個(gè)項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）拋物線y的線方程是（A）

12

（B

11（C）y（Dy42（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)

i1

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限

（B第二象限（）第三象限（D第象限（3）在的展開(kāi)式中，x

的系數(shù)為（A）

（B

（）

（）

（4）已知直線

lxay

，點(diǎn)A

B2,2若

lAB

，則實(shí)數(shù)a的為（A）1

（B

（）

（）（5）某三棱錐的三視圖如圖所示，該棱錐的體積為（A）

（B4

（）

（）（6）已知向量a，

滿足

a

，b

a

，則

（A）

（B

（）

（）（7）已知，是個(gè)不同的平面“

一充分條件是（A）內(nèi)無(wú)數(shù)直線平行于

（B存在平面，

，

第1共18頁(yè)

O12122（C）存在平面，O12122

m，

且∥n（）存在直線l，l，

l（8）已知函數(shù)fx)（A）

f()2(x是偶函數(shù)

4

)

則（B函數(shù)

fx)

的最小正周期為2π（C）曲線

yf()

關(guān)于

π

對(duì)稱（）

ff（9）數(shù)列

的通項(xiàng)公式為

ann

2

n

，

∈N前項(xiàng)為

，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在正整數(shù)

,(m)

，使得

；②存在正整數(shù)

,(m)

，使得a2aa；③記，aa

a)

則數(shù)列

，中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（A）

（B③（）③（）②（）如圖所示，在圓錐放入連個(gè)球，，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線切），切點(diǎn)2圓（圖中粗線所示）分別⊙.兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，丹德林G·Dandelin）利用這個(gè)型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，F(xiàn)，F(xiàn)為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也稱雙球。若圓錐的母線與它的軸的夾角

，的半徑分別為1,4，點(diǎn)M為上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P

為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則從點(diǎn)

沿圓錐表面到達(dá)的路長(zhǎng)與線PF的之和的最小值是（A）

（B

（C33

（）43第2共18頁(yè)

PalPNMAN90t第二部分（非選擇題共分PalPNMAN90t（）在互網(wǎng)時(shí)代，國(guó)家積極推動(dòng)信息化技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)方式的深度融合，實(shí)現(xiàn)線上、線下融合式教學(xué)模式變.某高一、高二和高三學(xué)生人如圖所示采用分層抽樣的方法調(diào)查融合式教學(xué)模式的實(shí)施況，在抽取樣本中，高一學(xué)生有16人則該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為

（）設(shè)等比數(shù)列

{a}n

的前n項(xiàng)為.、、成差列，則數(shù)列n13

{a}n

的公比為

（）已知雙曲線

22

的左右焦點(diǎn)分別為

F,，點(diǎn)(1

，則雙曲線的漸近線方程為；MFMF1

;（）已知函數(shù)

(x)

是定義域

的奇函數(shù)，且x0

時(shí)，

f(x)

，則a

，

(x)

的值域是；（）已知圓

Px5)

2

y

2

，線l:，M(5,2，點(diǎn)A(,

給出下列4個(gè)結(jié)論：①當(dāng)，線與相；②若直線l圓一條對(duì)稱軸，則

；③若直線l上存點(diǎn)A，圓上在點(diǎn)N，使得

MAN90

，則的大值為；④為圓

P

上的一動(dòng)點(diǎn)，若

，則的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

.第3共18頁(yè)

三、解答題共6小，共。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。（）（本小題共15分）在三棱柱

AC中，側(cè)面為矩形，AC平CC111111

D分別是棱，BB11的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：

AE∥平面CD11（Ⅱ）求證:

平面ABC1(Ⅲ)若

ACBC1

求直線AB

與

面BCD11

所成角的正弦值（）（本小題共14分）若存在ABC同時(shí)足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的三個(gè)件并解答下列問(wèn)題：（Ⅰ）求

的大?。唬á颍┣骳os和a的值條件①：sin；條件②：

c

；條件③：

b

；條件④：

cosA

第4共18頁(yè)

第5共18頁(yè)

2222（）（本小題共14分）2222某公司在2013~2021年產(chǎn)經(jīng)營(yíng)某種產(chǎn)品的相數(shù)據(jù)如下表所示：年份

2016

年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（單位：萬(wàn)臺(tái)）年返修臺(tái)數(shù)（單位：臺(tái)）

年利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）

c注：

=

（Ⅰ）從2013~2020年隨機(jī)抽取一年，求該生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于元/的概率；（Ⅱ）公司規(guī)定：若年返修率不超過(guò)千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)現(xiàn)從中隨機(jī)選出3年，記表示這3年生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次.

求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）記公司在2013~2015年，2016~2018年，的年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的方差分別為

ss2,s213

若s3

max{2,1

}，其中max{s12

}示ss1

，這兩個(gè)數(shù)中最大的請(qǐng)寫出a的最大值和最小值.（只需寫出結(jié)論）（注：

s

2

x)1

2

x)2

2

n

2

]

，其中x

為數(shù)據(jù)

x,,2

的平均數(shù)）（）（本小題共14分）x已知橢圓:離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C2a22（Ⅰ）求橢圓W的程及其長(zhǎng)軸長(zhǎng)；（Ⅱ），B分別為橢圓W的、右頂，點(diǎn)在圓上且位于x軸方，直線CD交x軸點(diǎn)Q，△

的面積比

BDQ

的面積大3，求點(diǎn)D的坐第6共18頁(yè)

第7共18頁(yè)

（）（本小題共14分）已知函數(shù)

f)

lnx

（Ⅰ）求函數(shù)

f(x

的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)

g(x)f()

，求證：

g(x)

；（Ⅲ）設(shè)((

2axa

若存在使h(x)求a的大值.0（）（本小題共14分）設(shè)A是由

n(n

個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列數(shù)表，足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值1，所有數(shù)的和是非負(fù)數(shù)，則稱數(shù)表A是階負(fù)數(shù)表”（Ⅰ）判斷如下數(shù)表A，A是是階負(fù)數(shù)表；1（Ⅱ）對(duì)于任意

階非負(fù)數(shù)表A，記

)

為A的行數(shù)之明：存在,k

R(i)j)

；（Ⅲ）當(dāng)k*)

時(shí)，證明：對(duì)與任意階非負(fù)表A，存在

k

行

k

列，使得這

k

行

k

列交叉處的k個(gè)數(shù)之和不小于k.第8共18頁(yè)

2021京海淀高三（上）期末數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題共小，每小題分共分題號(hào)答案

（1（）（3（）（）（）（）（8）（）（）BADADCA二、填空題共5小，每小題分，共25分題號(hào)

（11

（12

（）（14（）答案

-

y0

1

①②④

（三、解答題共6小，共。（）（本小題共15分）解：（Ⅰ）在三棱柱

C1

中，

BB

，且

BB1

因?yàn)辄c(diǎn)

D

，

E

分別是棱

1

，

1

的中點(diǎn)，所以

BE，且B1

所以四邊形AEBD平行四邊.1所以

//DB1

又因?yàn)?/p>

平面BC11

，

平面BCD111

，所以

//平BCD1

（Ⅱ）因?yàn)?/p>

平B1

，

CC平面CC11

，所以

CC1

，因?yàn)閭?cè)面

BCCB

為矩形，所以

，又因?yàn)?/p>

BC

，

AC平ABC

，

BC平面ABC

，所以

CC平面A1

第9共18頁(yè)

（Ⅲ）分別以

，

，

CC

所在的直線為

軸，

軸，

軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系xyz

，由題意得A(2,0,0)

，(0,2,0)

，

1

，

C(0,0,2)1

，D

所以

，

C1

，

CD1

設(shè)平面

D11

的法向量為nxy)

，則B11

即

2y2x0.令，則y，z2.于是n所以

cos

|

2

.所以直線AB與平面D所角的正弦值為11（）（本小題分）選擇①②③

解：（Ⅰ）因?yàn)?/p>

cC

，由正弦定理可得：因?yàn)閎，所以

sin

Cc2

0所以2所以（Ⅱ）在ABC中，

c

，所以ac.所以

0

2

第10頁(yè)共18頁(yè)

因?yàn)?/p>

C

3

，所以

Csin

1314

所以

cosB

)))A

3127所以

B1cos2B

由正弦定理可得因?yàn)閎所以a.選擇①②④

33，即b解：（Ⅰ）因?yàn)?/p>

c,sinC,14由正弦定理得

A

C.2在

ABC,

bcos

52所以所以

0

2

（Ⅱ）在

ABC,

a

73

所以ac所以

第11頁(yè)共18頁(yè)

2222因?yàn)?/p>

C

3

，所以

Csin

1314所以

cosB

)))A

32所以

Bcos2B

因?yàn)?/p>

bcos

52所以

5b12

3由正弦定理得

a

753

14（）（本小題共14分）解：（Ⅰ）由圖表知2013~2020中，產(chǎn)品的平均利潤(rùn)小于元/臺(tái)的年份只有2015，2016年所以從2013~2020年隨機(jī)抽取一年，該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于6元/臺(tái)的概率為

（Ⅱ）由圖表知2013~2020年，返修率超過(guò)千分之一的年份只有，年所以的有可能取值為1,2,3（）

CC2C3

328

（）=

C2C15C052C283（）8

所以的分布列為第12頁(yè)共18頁(yè)

W，22W，其中WBDQ333W，22W，其中WBDQ333BDQ（Ⅲ）的大值為13最小值為7（）（本小題共14分）解：（）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

所以

43ab因?yàn)闄E圓的心率為，所以

3bc2所以

所以橢圓的程為

2

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意可知由（Ⅰ可知A

D3

Qξ

所以的面積

為×6×3，的面積為×2

3顯然的積比的面積為大方法一

2

.第13頁(yè)共18頁(yè)

yDcDDACQ2AOC1當(dāng)直線yDcDDACQ2AOC1

CD

的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線

CD

的方程為

y(x

，且

k令，

x

k

，所以

Q(2k由

3x2)2y2

，得

(

33y2)yk2k2k

依題意可得點(diǎn)

的縱坐標(biāo)

3kk3yk2k

因?yàn)辄c(diǎn)

在

軸下方，所以，即D

所以的積為

33(24)3),2

的面積為

11313BQy2k

D3k3(21k

)343k2k(21k2

)因?yàn)榈拿娣e比的面積大，所以

123(6)(22k1

)3此方程無(wú)解綜上所述，點(diǎn)的標(biāo)為

(2,

方法二因?yàn)辄c(diǎn)在x軸方，所以Q在段AB（不包括端點(diǎn)）上由（Ⅰ可知

4,0),B(4,0)

所以的面積為

3

，第14頁(yè)共18頁(yè)

BCDmn22與BCDmn22與

（不包括端點(diǎn)）上，且的積等于時(shí)面所以的積等于的積.所以

OD/BC

設(shè)

D(,n)

，則

03

因?yàn)辄c(diǎn)

在橢圓

上，所以.4所以

n所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

3)（）（本小題共14分）解：（）因?yàn)?/p>

f(x)

lnx

，所以

fx)

lnx

令

f'(x)0

，得f(x)f'(x)xf'(x)f(x)

在區(qū)間上情況如下：)+

e極大

（-所以

f(x

的單調(diào)遞增區(qū)間為

)

，單調(diào)遞減區(qū)間為

,

（Ⅱ）因?yàn)?/p>

f()

lnxx，所以()

所以

)

ln1lnxx22

2

①當(dāng)

x

時(shí)，

1

lnx，所以'(x)

；第15頁(yè)共18頁(yè)

②當(dāng)x

時(shí)，

1

0,ln0

，所以x)

所以g(x)

，所以(x)

（Ⅲ）因?yàn)?/p>

f(x)

lnxlnx，所以h)2a

①當(dāng)

時(shí)，

haa2aa)0

，即存在1使得(1)

；②當(dāng)

lnxln時(shí)，由（Ⅱ）可知，即

所以x)xa

2(2a)2a

2

2

a1)(6a所以對(duì)任意

x

，(x)

，即不存在

使得

h()0

綜上所述，a的大值為（）（本小題14分

12

解：記(ij)為表A中i行j列數(shù)，(i,j)為表A中有數(shù)的和，(ij)為表ijijA中行列叉處各數(shù)之和．（Ⅰ）A是4階負(fù)數(shù)表；A不“4非負(fù)數(shù)．2（Ⅱ）由題意知a(ij)，j1,2,3,4,5且表A是“5階負(fù)數(shù)表，所以(s)(為奇數(shù)，且(1)(2)(3)(5)．不妨設(shè)R(3)(4)．①當(dāng)(3)時(shí)因?yàn)?3)奇數(shù)，所以R所以(1)+(2)+R．②當(dāng)(3)時(shí)因?yàn)?3)奇數(shù)，所以第16頁(yè)共18頁(yè)

所以(2)+(4)(5)有因?yàn)镽，(2)均奇，所以(1)+R(3)．（Ⅲ）證明數(shù)表A存在