2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解2020年國中學合賽題詳?shù)谠囋氯瘴?:309:30)一選題本滿42分，每題7分(題共有6小題題均給出了代號為,,C,的個答案中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號在題后的括號.每小題選對得分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內得分.).用的大整數(shù)

.已知

t

12

，是t的小數(shù)部分，b是的數(shù)部分，則

12ba

（）A.

12

.

32

.

D.

3.三種圖書的單價分別為10元15元20元，某學校計劃恰好用元買上述圖書本，那么不同的購書方案

（）A.

種

.10

種

.

種

D.12

種3(A)如一個正整數(shù)可以示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差稱這個正整數(shù)和數(shù)如：

23,2632和均“和諧數(shù)”那么，不超過2016的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為A6858B.68609260D.9262

（）3(B）.已二次函數(shù)

yax20)

的圖象的頂點在第二象限，且過點

.當

為整數(shù)時，

（）A.

.

14

.

34

D..已知

O

的半徑

OD

垂直于弦

AB

,交

AB

于點

C

，連接

并延長交

O

于點

E

,若ABCD,則BCE的積為（）A.

..16D.18.如圖，在四邊形

ABCD

中，

BACBDC

，

AC

,

,對線的交點為

M

則

DM

()A.

35.2.

D.

12.設實數(shù)

xyz滿則Mxyyz

的最大值為()

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解A.

12..2

D.二填題本滿分每題分本題有4個題要直將案在線..【1(A)、2（B已知

的頂點

A

、

在反比例函數(shù)

3

（

）的圖象上，

ACB

0

,

ABC30

0

,x軸點在A的方，且6,則的坐標為.1(B).已

ABC

的最大邊

BC

上的高線

AD

和中線

AM

恰好把

三等分，3

,則

AM

.2(A)在四邊形中，∥AD,CA平分BCD,為對角線的交點，CDAO,OD,

則

ABC

.【3(A)】有位學生忘記寫兩個三位數(shù)間的乘號，得一個六位數(shù)，這個六位數(shù)恰好為原來兩個三位數(shù)的乘積的3倍這個六位數(shù)是.3(B)若數(shù)、滿足：p0,則pq的最值為.將1、個2、個3個、5個共個填入一個行列的表格內（每格填入一個數(shù)得一列中何兩數(shù)之差的絕對值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，這和的最小值為

M

,則

M

的最大值為.第試(3月日上午9:50—)一題滿分20分已知

b

為正整數(shù)，求

Ma22b

能取到的最小正整數(shù).

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解二題分分(A).圖，點

在以

AB

為直徑的

O

上，

于點

D

,點

E

在

BD

上，

AE,四邊形

DEFM

是正方形，

AM

的延長線與

O

交于點

.證明:

DE

.().知：

5,a2215,47.求

a

2abbca

的.

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解三題滿分分(A).知正實數(shù)

xyz

滿足：

yzzx

,且(xy2(2(x

.求

1zx

的值.證:

xyy)()

.().圖，在等腰

中

ABAC

5,D

為

邊上異于中點的點，點

關于直線AD

的對稱點為點

E

,

EB

的延長線與

AD

的延長線交于點

F,

求

AD

的值.

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解2019年全初數(shù)聯(lián)競試及解第試月日午8:309:30)一選題本滿42分，每題7分(題共有6小題題均給出了代號為,,C,的個答案中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號在題后的括號.每小題選對得分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內得分.).用的大整數(shù)

.已知

t

12

是t

的小數(shù)部分，b是的數(shù)部分，則

12ba

（）A.

12

.

32

.

D.

3【答案】

A

.【解析】

1t3,132,4,23

即

又

b

11131,b2(23)32

故選..三種圖書的單價分別為元、15元20元某學校計劃恰好用500元買上述書本那么不同的購書方案有

（）A.

種

.10

種

.

種

D.12

種【答案.【解析】設購買三種圖書的數(shù)量分別為

y則10xz500

，即

y3100x

x，解得依意得，z10

x,

為自然數(shù)（非負整數(shù)故

10,

有

種可能的取值（分別為

,1,2,

,9,10)

，對于每一個

值，

y

和

都有唯一的值（自然數(shù)）相對應.即不同的購書方案共有種故選.3(A)如果個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差這正整數(shù)諧如：

23,2632和均“和諧數(shù)”那么，不超過2016的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為A6858B9260D.9262

（）

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解【答案.【解析】kk22

（其中

為非負整數(shù)

2(122

得，

k

,8,9

，即得所有不超過的和諧數(shù)們的和為

3)3)

3

)(19

3

)

3

故選.3(B）.已二次函數(shù)

y

2

bxa

的圖象的頂點在第二象限，且過點

.當

為整數(shù)時

（）A.

.

1.44

D.【答案.【解析】依題意知

a

b2

0,a

故

0,

且

b

，a，于是11又為數(shù)a0,故,ab24

，故選..已

O的半徑OD垂于弦交于，接AO并延長交O于,若

ABCD2

,則

的面積為（）A.【解析】設

..16D.18x,則OAxOD于C,CB

12

AB4,在

Rt

中，

2

AC

2

即

x2x

解得

x

OC

（第答案圖）OCABE的中線BE

AE是的徑，B11S故選A.BCE225如圖，在四邊形中BDC

，

AC

,CD,對角線的交點為

M

，則

DM

()A.

35.2

22020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解2.

D.

12（第5題案圖）【答案D.【解析】過點

A

作

AHBD

于點

H,

則

AMH

～

AMCMD,CD

CDAMAH,設,則CM,CM

5在ABM中AB

2

AM

2

2

則AHBM

5x

5x2

5

顯然

0

，化簡整理得

2x0解得

52

,

（

x2

不符合題意，舍去5CM在中DMCM2

2

2

12

,故選D.設實數(shù)

x,y,滿xy則Mxy

的最大值為)A.

12

.

23

.

34

D.【答案.【解析】xy(2x)xy)(1)2xyy2y

2

1xy2

12

2

2

12

2

12

2

2

12

12

12

2

34當且僅當

12

,y時M等號，故

34

，故選C二填題本滿分每題分本題有4個題要直將案在線.

2232020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解223.【1(A)、2（B已知

的頂點

A

、

在反比例函數(shù)

3

（

）的圖象上，

ACB

0

,

ABC30

0

,

x

軸，點

B

在點

A

的上方，且

AB

則點

的坐標為.3【答案】2

.【解析】如圖，過點

作

AB

于點

D

.在

RtACB

中，

BCAB在

BCD

中，

CDBC

332

,

（第題案圖）933B,ADBD,設CA22

，依題意知

nm

故

CD,AD

3m

，于是33

解得

m，故點的標為

.1(B).已ABC的最大邊上的高線AD和中AM恰把BAC三分3

,則

AM

.【答案】【解析】

.（第題案圖1）（第答案圖）依題意得

BADDAM

0

,

故

(1若

ACB

時答圖所示≌,BD

12

CM又AM平

DM1,在Rt中即cos,AC

0

,

從而

90

0

,

0

.

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解在

ADC中CDADDAC

3603,在

RtADM

中，

AM

DM2

.(2若

時，如答案圖2示同理可得

AM

.綜上所述，

AM

.2(A)在四邊形

ABCD

中，

BC

∥

AD

,

CA

平分

,

O

為對角線的交點，CDAO,OD,

則

ABC

.【答案】.【解析】設

OCD

,

平分

BCD

,OCB

,

∥

AD

,OBCOCB

,(第2題案)OCDDAO

,ADCD

,

CD,AD

,AODOBC

,OC

,BCOD,OD,OCDODCOBCOCB180

180

解得

36,

，DBC72

CD,

1802

故

ABC126

【3(A)】有位學生忘記寫兩個三位數(shù)間的乘號，得一個六位數(shù)，這個六位數(shù)恰好為原來兩個三位數(shù)的乘積的3倍這個六位數(shù)是.【答案】.【解析】設兩個三位數(shù)分別為

x,

，則

000

，①yxyxy

故

y

是

的正整數(shù)倍，不妨設

tx

（

t

為正整數(shù)代入①得

tx,x

1000t

,

是三位數(shù)，

1000t

，解得1000t,299

t

為正整數(shù)，t的能取值為,2,3.證可知，只有符，此時334.

故所求的六位數(shù)為

.3(B)若數(shù)p、滿足：q0,則pq的大值為.

22020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解2【答案】.【解析

3qp得ppqq

2

qq

2,3因q為數(shù)，故pq的隨著質數(shù)的大而增大，當且僅當q得最大值時，取最大值.又

111，3111,

34

，因q質數(shù)，故q的能取值為23,19,17,13,11,7,5,3,2

，但

時，

q65

不是質數(shù)，舍去當時,q53

恰為質數(shù).故

q

max

19,(pq)

max

.將1、個2、個3個、5個共個填入一個行列的表格內（每格填入一個數(shù)得一列中何兩數(shù)之差的絕對值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，這和的最小值為M,則M的大值為.10.【答案】【解析】(依據(jù)1分的列數(shù)的不同情形進行討確定

M

的最大值.(1)若布在同一列，則

M

；(2若51分布在兩列中，則由題知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3故

故

M

;若5個1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故330,;若1分布在至少四列中，則其中一列至少有一個數(shù)大于，這與已知矛.綜上所述，

M另一方面，如下表的例子說明

M

可以取到.故

M

的最大值為

1122

第試(3月日上午9:50—)一題滿分20分已知

b

為正整數(shù)，求

Ma22b

能取到的最小正整數(shù).【解析】解：因為正整數(shù)，要使得

Ma

2

b

的值為正整數(shù)，則有

.當a2時b只為，此時故M能到的最小正整數(shù)不超過4當

時，

只能為或若

M

;若

2

，則

M

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解當

時

只能為1或或3.若

M

;若

2,24

;若

3,

則

M

(下面考慮：

Ma

22

b

的值能否為1？)（反證法）假設M，

22b即32

，a(3

2

2

①因為整數(shù)，故

2

為奇數(shù)，從而a為數(shù)，為偶數(shù)，不妨設

mn

，其中

均為正整數(shù)，則a(3a

2

)m

n)

m

2

m

2

2即

2

)被4除得余數(shù)為3

b)

被所得余數(shù)為1，故①式不可能成立，故M.因，M能到的最正整數(shù)值為2.二題分分(A).如圖點

在以

AB

為直徑的

O

上，

于點

D

,點

E

在

BD

上，AE,

四邊形DEFM是方形，AM延長線與O交于點N.證明FNDE

.第2(A)答案)【證明接

、

BN

AB

為

O

的直徑，

于點

DACBADC,ACBACB∽,,

由四邊形

DEFM

是正方形及

AB

于點

D

可知:點

M

在

上，

DEDMEFNABDAM,ADM,∽,AD,ACAM

2

AMAE,

2

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解以點

為圓心FE

為半徑作

F,

與直線

AM

交于另一點

P

,則

與

AB

切于點

E

,即是

的切線，直線AMP是的線，故由切割線理得

AE

AN

,即點

與點

P

重合，點

在

上，F(xiàn)N

.(注上述最后一段得證明用了“同一法)().知：

5,a

22

15,a

3

3

3

47.求

a

2abbca

的.【解析】由已知得

ab

12

)2a22)由恒等式

a

3

3

3

abc)(a

2

2

2

得，(15abc又

a2ab)()5(5)5(c同理可得

b222ca25(4)∴原式

(4)(4)125a4(abca)

[64625.【注恒等式

ttt))t2abbc)tabc

】三題滿分分(A).知正實數(shù)

xyz

滿足：

yzzx

,且(xy2(2(x

.求

1zx

的值.證:

xyy)()

.【解析）：由等式

(x2(22(yz

，去分母得

z(

22(y21((y(z2

，22yz22)(2)(2)xyz)xyz

2020年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解xyzxy)xyxyyz))

，[y

，

z