Lecture 5 運(yùn)算器-定點(diǎn)加減法

思考設(shè)X=-0.1010Y=0.0101求(X+Y)補(bǔ)和(X-Y)補(bǔ)設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含1位符號(hào)位）且A=–97，B=+41，用補(bǔ)碼求A

–

B思考定點(diǎn)整數(shù)、小數(shù)有原碼、補(bǔ)碼表示形式，手工在紙上怎么加減？舉例分析(兩正數(shù)相加、兩負(fù)數(shù)相加、正負(fù)兩個(gè)數(shù)相加)。(符號(hào)位直接參與運(yùn)算!)[x]原+[y]原=？[x+y]原；[x]原

+[-y]原=？[x-y]原[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=？[x+y]補(bǔ)；[x]補(bǔ)+[-y]補(bǔ)=？[x-y]補(bǔ)計(jì)算機(jī)中表示數(shù)據(jù)的寄存寄或存儲(chǔ)單元長度固定，如果運(yùn)行結(jié)果超過這個(gè)長度會(huì)產(chǎn)生什么結(jié)果？什么情況下會(huì)發(fā)生超出表示范圍的現(xiàn)象？這個(gè)結(jié)果能否被利用？試從計(jì)算機(jī)的角度來判斷運(yùn)算結(jié)果什么時(shí)候出錯(cuò)了？定點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算課程結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)硬件運(yùn)算器數(shù)據(jù)表示數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)定點(diǎn)原碼反碼補(bǔ)碼移碼浮點(diǎn)一般表示規(guī)格化IEEE754非數(shù)值數(shù)據(jù)字符漢字BCD碼校驗(yàn)碼奇偶校驗(yàn)海明校驗(yàn)循環(huán)冗余校驗(yàn)運(yùn)算方法定點(diǎn)數(shù)補(bǔ)碼加減乘除浮點(diǎn)數(shù)加減乘除規(guī)格化溢出判斷運(yùn)算器一般運(yùn)算快速運(yùn)算典型ALU存儲(chǔ)器控制器總線輸入輸出軟硬件接口軟件主要內(nèi)容定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法溢出檢測(cè)基本加法器解：[A]補(bǔ)[B]補(bǔ)[A]補(bǔ)

+[B]補(bǔ)+=0.1011=1.1011=10.0110=[A+B]補(bǔ)驗(yàn)證例設(shè)A=0.1011，B=–

0.0101求[A+B]補(bǔ)0.1011–0.01010.0110∴A+B

=0.0110[A]補(bǔ)[B]補(bǔ)[A]補(bǔ)

+[B]補(bǔ)+=1,0111=1,1011=11,0010=[A+B]補(bǔ)驗(yàn)證–1001–1110–0101+例設(shè)A=–9，B=–5求[A+B]補(bǔ)解：∴A+B

=–1110①

補(bǔ)碼加法的運(yùn)算公式為：[x＋y]補(bǔ)＝[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)②

補(bǔ)碼減法的運(yùn)算公式為：[x－y]補(bǔ)＝

[x]補(bǔ)＋[－y]補(bǔ)

③加減法運(yùn)算規(guī)則：·參加運(yùn)算的數(shù)都用補(bǔ)碼表示。·數(shù)據(jù)的符號(hào)與數(shù)據(jù)一樣參加運(yùn)算?！で蟛顣r(shí)將減數(shù)求補(bǔ)，用求和代替求差。·運(yùn)算結(jié)果為補(bǔ)碼。如果符號(hào)位為0，表明運(yùn)算結(jié)果為正；如果符號(hào)位為1，則表明運(yùn)算結(jié)果為負(fù)?！し?hào)位的進(jìn)位為模值，應(yīng)該丟掉。定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法①補(bǔ)碼加法的運(yùn)算公式為：[x＋y]補(bǔ)＝[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)證明：下面以模為2定義的補(bǔ)碼為例，分幾種情況來證明這個(gè)公式。

（1）

x>0，y>0，則x＋y>0

由于參加運(yùn)算的數(shù)都為正數(shù)，故運(yùn)算結(jié)果也一定為正數(shù)。又由于正數(shù)的補(bǔ)碼與真值有相同的表示形式，即[x]補(bǔ)＝x[y]補(bǔ)＝y(tǒng)

所以[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝x＋y＝[x＋y]補(bǔ)

（2）x>0，y<0，則x＋y>0或x＋y<0

當(dāng)參加運(yùn)算的數(shù)一個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，則運(yùn)算結(jié)果有正、負(fù)兩種可能。根據(jù)補(bǔ)碼定義有：

[x]補(bǔ)＝x[y]補(bǔ)＝2＋y所以[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝2＋(x＋y)當(dāng)x＋y>0時(shí)，2＋(x＋y)>2，2為符號(hào)位進(jìn)位，即模丟掉。又因?yàn)?x＋y)>0，所以

[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝x＋y＝[x＋y]補(bǔ)當(dāng)x＋y<0時(shí)，2＋(x＋y)<2，又因?yàn)?x＋y)<0，所以

[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝2＋x＋y＝[x＋y]補(bǔ)這里應(yīng)將(x＋y)看成一個(gè)整體。定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法

（3）

x<0，

y>0，

則x＋y>0或x＋y<0

這種情況和第②種情況類似，即把x與y的位置對(duì)調(diào)即可得證。（4）

x<0，

y<0，

則x＋y<0

由于參加運(yùn)算的數(shù)都為負(fù)數(shù)，故運(yùn)算結(jié)果也一定為負(fù)數(shù)。又由于負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為：

[x]

補(bǔ)＝

2＋x[y]

補(bǔ)＝

2＋

y

所以

[x]補(bǔ)＋[y]

補(bǔ)＝

2＋(2＋x＋y)

由于x＋y為負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值又小于1，那么(2＋

x

＋

y)就一定是小于2而大于1的數(shù)，所以上式等號(hào)右邊的2必然丟掉，又因?yàn)閤＋y<0，所以

[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝

(2＋x＋y)＝

2＋(x＋y)＝[x＋y]

補(bǔ)

至此證明了在模為2的定義下，任意兩個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼之和等于該兩個(gè)數(shù)之和的補(bǔ)碼。這是補(bǔ)碼加法的理論基礎(chǔ)，其結(jié)論也適用于定點(diǎn)整數(shù)。

定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法②

補(bǔ)碼減法的運(yùn)算公式為：

[x]補(bǔ)－[y]補(bǔ)＝

[x]補(bǔ)＋[－y]

補(bǔ)

證明：因?yàn)閇x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)=[x＋y]補(bǔ)令x=－y代入，則有[－y]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)=[－y＋y]補(bǔ)=[0]補(bǔ)

=0

所以－[y]補(bǔ)=[－y]補(bǔ)所以：[x]補(bǔ)－[y]補(bǔ)＝[x]補(bǔ)＋(－[y]補(bǔ))=[x]補(bǔ)＋[－y]

補(bǔ)

定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法

不難發(fā)現(xiàn)，只要能通過[y]

補(bǔ)求得[－y]

補(bǔ)，就可以將補(bǔ)碼減法運(yùn)算化為補(bǔ)碼加法運(yùn)算。

已知[y]

補(bǔ)，求[－y]

補(bǔ)的法規(guī)是：對(duì)[y]

補(bǔ)各位(包括符號(hào)位)取反、末位加1，就可以得到[－y]

補(bǔ)。

例如：已知[y]

補(bǔ)＝1.1010，則[－y]

補(bǔ)＝0.0110；又如：已知[y]

補(bǔ)＝0.1110，則[－y]

補(bǔ)＝1.0010；

定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法證明：[-x]

補(bǔ)與[x]

補(bǔ)的關(guān)系。證明：①當(dāng)0≤x<1時(shí)，設(shè)

[x]

補(bǔ)=0.x1x2…

xn

-x=-0.x1x2…

xn所以

[-x]

補(bǔ)=1.x1*x2*…

xn*

＋2-n比較[x]

補(bǔ)和[-x]

補(bǔ)，發(fā)現(xiàn)將[x]

補(bǔ)連同符號(hào)位求反，末位加１，即得[－x]

補(bǔ)。

②當(dāng)-1≤x<0時(shí)，設(shè)

[x]

補(bǔ)=1.x1x2…

xn則

x

=-(0.x1*x2*…

xn*＋2－n

)所以

-x=0.1.x1*x2*…

xn*＋2-n故

[x]

補(bǔ)=0.…＋2-n比較[x]

補(bǔ)和[－x]

補(bǔ)，發(fā)現(xiàn)將[x]

補(bǔ)連同符號(hào)位求反，末位加１，即得[－x]

補(bǔ)。(1)設(shè)X=-0.1010Y=0.0101求(X+Y)補(bǔ)和(X-Y)補(bǔ)解:(X)補(bǔ)

=1.0110(Y)補(bǔ)

=0.0101(-Y)補(bǔ)

=1.1011(X)補(bǔ)

1.0110(X)補(bǔ)

1.0110+(Y)補(bǔ)

0.0101+(-Y)補(bǔ)

1.1011(X+Y)補(bǔ)

1.1011(X-Y)補(bǔ)1.0001X+Y=-0.0101X-Y=-0.1111

加減法運(yùn)算示例(2)

設(shè)X=-0.1011Y=-0.0101求(X+Y)補(bǔ)和(X-Y)補(bǔ)解:(X)補(bǔ)

=1.0101(Y)補(bǔ)

=1.1011(-Y)補(bǔ)

=0.0101(X)補(bǔ)

1.0101(X)補(bǔ)

1.0101+(Y)補(bǔ)

1.1011+(-Y)補(bǔ)

0.0101(X+Y)補(bǔ)

1.0000(X-Y)補(bǔ)1.1010X+Y=-1X-Y=-0.0110

加減法運(yùn)算示例例練習(xí)1設(shè)x=y=，用補(bǔ)碼求x+y9161116x+y=–0.1100=1216–練習(xí)2設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含1位符號(hào)位）且A=–97，B=+41，用補(bǔ)碼求A

–

BA

–B=+1110110=+118錯(cuò)錯(cuò)主要內(nèi)容定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法溢出檢測(cè)基本加法器溢出判斷

由于機(jī)器碼的位數(shù)通常是給定的（如16位字長，32位字長），因此，數(shù)的表示范圍是有限的，若兩數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算的結(jié)果超出給定的取值范圍，就會(huì)產(chǎn)生溢出。溢出是指運(yùn)算結(jié)果超過了數(shù)的表示范圍。兩個(gè)符號(hào)相同的數(shù)相加，才可能產(chǎn)生溢出；兩個(gè)符號(hào)相異的數(shù)相加，不可能產(chǎn)生溢出。例，X=+0.1011,Y=+0.1001,X+Y=?[X]補(bǔ)0.1011+[Y]補(bǔ)0.10011.0100此時(shí)，兩個(gè)正數(shù)相加的結(jié)果成為負(fù)數(shù)，顯然是錯(cuò)誤的。溢出判斷又如，X=－0.1101,Y=－0.1011,X+Y=?[X]補(bǔ)1.0011+[Y]補(bǔ)1.01010.1000兩個(gè)負(fù)數(shù)相加的結(jié)果成為正數(shù)，這同樣是錯(cuò)誤的。為判斷溢出是否產(chǎn)生，可以采用三種檢測(cè)方法。溢出判斷1、單符號(hào)位操作檢測(cè)方法：當(dāng)運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位與操作數(shù)的符號(hào)位不一致時(shí)，表示溢出；當(dāng)加數(shù)和被加數(shù)符號(hào)位不同時(shí)，相加的結(jié)果絕對(duì)不會(huì)溢出。例，X=+0.1001,Y=+0.1110,是否溢出？

[X]補(bǔ)0.1001+[Y]補(bǔ)0.11101.0111

運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生溢出。XfYfSfV00111101其它0溢出判斷2、進(jìn)位檢測(cè)法Cf C0

0 0 正確（正數(shù)）

0 1 上溢

1 0 下溢

1 1 正確（負(fù)數(shù)）V=Cf

⊕C0，其中Cf為符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位,C0為最高有效位產(chǎn)生的進(jìn)位。看高位的進(jìn)位輸入與其進(jìn)位輸出是否一致從真值表可判斷當(dāng)兩個(gè)單符號(hào)位補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，若最高數(shù)值位向符號(hào)位的進(jìn)位值C0與符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位輸出值Cf相同時(shí)，則沒有溢出發(fā)生。如果兩個(gè)進(jìn)位值不同，則有溢出發(fā)生。溢出表達(dá)式：V＝Cf⊕C0。設(shè)xf和yf表示兩個(gè)相加數(shù)的符號(hào)，C0表示高位的進(jìn)位信號(hào)，Cf表示符號(hào)位的進(jìn)位信號(hào)，S表示結(jié)果的符號(hào)，V為溢出信號(hào)

例，X=+0.1011,Y=+0.1101[X]補(bǔ)0.1011+[Y]補(bǔ)0.11011.1000若最高數(shù)值位向符號(hào)位的進(jìn)位為1，符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位為0，表示有溢出。又如，X=-0.1011,Y=-0.1100[X]補(bǔ)1.0101+[Y]補(bǔ)1.01000.1001若最高數(shù)值位向符號(hào)位的進(jìn)位為0，符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位為1，表示有溢出。溢出判斷3、變形補(bǔ)碼檢測(cè)法(雙符號(hào)位)方法：每個(gè)操作數(shù)在運(yùn)算時(shí)都采用兩個(gè)符號(hào)位，正數(shù)用00表示，負(fù)數(shù)用11表示，兩個(gè)符號(hào)位與碼值一起參加運(yùn)算；若運(yùn)算結(jié)果的兩個(gè)符號(hào)位的代碼不一致時(shí)表示溢出，兩個(gè)符號(hào)位代碼一致時(shí)，沒有溢出。設(shè)左邊第一位為第一符號(hào)位Sf1，相鄰的為第二符號(hào)位Sf2，則溢出邏輯表達(dá)式：

V＝Sf1⊕Sf2

若V＝0無溢出；V＝1有溢出。

溢出判斷主要內(nèi)容定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法溢出檢測(cè)基本加法器基本的加法器基本的加法和減法器半加器

Hi＝Ai⊕Bi

不考慮進(jìn)位全加器

考慮低位進(jìn)位Ci-1和向高位的進(jìn)位Ci

一位全加器真值表輸入輸出AiBiCiSiCi＋10000000110010100110110010101011100111111基本的加法器基本的加法器－FA邏輯電路和框圖FA（全加器）邏輯電路圖FA框圖圖行波進(jìn)位的補(bǔ)碼加法/加法器基本的加法器－n位行波進(jìn)位加法器基本的加法器－n位行波進(jìn)位加法器B0A0MB1A1Bn-2An-2Bn-1An-1溢出S0S1Sn-2Sn-1一個(gè)“與”門或者一個(gè)“或”門的時(shí)間延遲為一個(gè)T，異或門為3T0時(shí)刻3T時(shí)刻4T時(shí)刻6T時(shí)刻6T＋2T時(shí)刻9T時(shí)刻6T＋4T時(shí)刻6T＋2nT時(shí)刻6T＋2(n-1)T時(shí)刻11T時(shí)刻6T＋2(n-1)T+3T時(shí)刻6T＋2nT+3T時(shí)刻C0C2Cn-1C1Cn并行加法器由知令&A1B1=1A0B0=1A1B1C0&&A0B0&&C2基本的加法器－實(shí)現(xiàn)加法的邏輯圖①實(shí)現(xiàn)加法時(shí)應(yīng)提供以下控制信號(hào)：A→ALU，B→ALU，+，ALU→A②實(shí)現(xiàn)減法時(shí)應(yīng)提供以下控制信號(hào)：A→ALU，B*→ALU，ALU+1，+，ALU→A小結(jié)定點(diǎn)補(bǔ)碼加減法運(yùn)算方法，理解減法運(yùn)算用加法來實(shí)現(xiàn)三種溢出檢測(cè)方法及溢出判斷的邏