山西省呂梁市汾陽杏花中學2021-2022學年高二數(shù)學理上學期期末試題含解析

山西省呂梁市汾陽杏花中學2021-2022學年高二數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[） B．[） C．[） D．[）參考答案：D【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；51：函數(shù)的零點．【分析】設g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，求導數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關(guān)于a的不等式組可得．【解答】解：設g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴當x＜﹣時，g′（x）＜0，當x＞﹣時，g′（x）＞0，∴當x=﹣時，g（x）取最小值﹣2，當x=0時，g（0）=﹣1，當x=1時，g（1）=e＞0，直線y=ax﹣a恒過定點（1，0）且斜率為a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故選：D【點評】本題考查導數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．2.已知復數(shù)z滿足z?（i﹣1）=2i，則z的共軛復數(shù)為（） A．1﹣i B． 1+i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i參考答案：B略3.已知函數(shù)f（x）=x﹣存在單調(diào)遞減區(qū)間，且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切，符合情況的切線l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在參考答案：D【分析】求出f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，討論a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切線l的方程，再假設l與曲線y=ex相切，設切點為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，設h（x）=exx﹣ex﹣1，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判斷不存在．【解答】解：函數(shù)f（x）=x﹣的導數(shù)為f′（x）=1﹣e，依題意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0時，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）無解，不符合題意；②a＞0時，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合題意，則a＞0．易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的方程為y=（1﹣）x﹣1．假設l與曲線y=ex相切，設切點為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，設h（x）=exx﹣ex﹣1，則h′（x）=exx，令h′（x）＞0，則x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則，而a＞0時，，與矛盾，所以不存在．故選：D．4.如果二次函數(shù)有兩個不同的零點，那么的取值范圍是．A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面對應的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】先化簡復數(shù)為代數(shù)形式，再確定對應的點所在象限.【詳解】因為,對應的點為，位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查了復數(shù)的基本運算和復數(shù)的幾何意義，屬于基本題.6.如圖所示的算法框圖中，輸出S的值為(

)A.10

B.12

C.15

D.18參考答案：B略7.函數(shù)的最小值為

A．10

B．9

C．6

D．4參考答案：A8.點M(x0，y0)是圓x2+y2=r2內(nèi)圓心以外的一點，則直線x0x+y0y=r2與該圓的位置關(guān)系是（

）（A）相切

（B）相交

（C）相離

（D）相切或相交參考答案：C9.若復數(shù)

（為虛數(shù)單位)，是z的共軛復數(shù)，則在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知是定義在上的非負可導函數(shù),且滿足.對任意正數(shù),若,則必有A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分16.已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，有下列四個結(jié)論：

①

②

③

④，其中所有正確結(jié)論的序號有

參考答案：①②③略12.我校女籃6名主力隊員在最近三場訓練賽中投進的三分球個數(shù)如下表所示：隊員i123456三分球個數(shù)圖6是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框里應填

，輸出的s=

．參考答案：，輸出；略13.已知函數(shù)在處取得最大值，則參考答案：14.下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的所有圖形的序號是

▲

參考答案：①④略15.復數(shù)的值是.參考答案：－1略16.半徑為的圓的面積，周長，若將看作上的變量，則，①

①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為的球，若將看作上的變量，請你寫出類似于①的式子:

(注：球體積公式為為球體半徑)參考答案：略17.設p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，則p是q成立的

條件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．參考答案：必要不充分【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】由q?p，反之不成立．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：∵p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，由q?p，反之不成立．∴p是q成立的必要不充分條件；故答案為：必要不充分．【點評】本題考查了充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點。（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）證明：面面；&X&K]參考答案：（Ⅰ）證明：因由題設知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面.又在面上，故面⊥面.

ks5u（Ⅱ）解：因

略19.(13分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：證明：(Ⅰ)連結(jié)和交于，連結(jié)，為正方形，為中點，為中點，，平面，平面平面．(Ⅱ)平面，平面，，為正方形，，平面，平面，平面，

以為原點，以為軸建立如圖所示的坐標系，則，，，平面，平面，，為正方形，，由為正方形可得：，設平面的法向量為，由，令，則設平面的法向量為，，由，令，則，設二面角的平面角的大小為，則二面角的平面角的余弦值為20.(本小題滿分12分)

已知P：“直線x+y-m＝0與圓(x-1)2＋y2＝1相交”，q：“m2－4m<0”若p∪q為真命題，p為真命題，求m的取值范圍。參考答案：解：∵P∪q為真命題，p為假命題，所以p假q真…………3分由若p為假，則D=4(1+m)2－4′2′m2≤0∴m≥1+或m≤1－………………8分若q為真，m2－4m<0，則0<m<4……10分∴p假q真時，1+≤m<4∴m的取值范圍是[1+,4)…………12分21.(9分)已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）設函數(shù)，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個不同的自變量使得的值相等，若存在，請求出的范圍，若不存在，請說明理由？參考答案：（Ⅰ）定義域為，由已知得，

………2分則當時，在上是減函數(shù)，當時，在上是增函數(shù)，

故函數(shù)的極小值為．

…………6分（Ⅱ）若存在，設，則對于某一實數(shù)方程在上有三個不等的實根，設，則函數(shù)的圖象與x軸有三個不同交點，即在有兩個不同的零點．……9分顯然在上至多只有一個零點

則函數(shù)的圖象與x軸至多有兩個不同交點，則這樣的不存在。

……13分22.如圖所示，異面直線AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分別與BD，AD，AC，BC相交于點E，F(xiàn)，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求證：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能證明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，Cz為z軸，建立空間直角坐標系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】證明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB?平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFG