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山西省呂梁市聯(lián)盛中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論:
①AC⊥BD;
②ACD是等邊三角形;
③AB與平面BCD所成的角為60°;
④△AB與CD所成的角為60°
其中正確的序號(hào)是
.(寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào))參考答案:答案:①②④2.下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是()A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=參考答案:D【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域;對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值.【分析】分別求出各個(gè)函數(shù)的定義域和值域,比較后可得答案.【解答】解:函數(shù)y=10lgx的定義域和值域均為(0,+∞),函數(shù)y=x的定義域和值域均為R,不滿足要求;函數(shù)y=lgx的定義域?yàn)椋?,+∞),值域?yàn)镽,不滿足要求;函數(shù)y=2x的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽(0,+∞),不滿足要求;函數(shù)y=的定義域和值域均為(0,+∞),滿足要求;故選:D3.若,,,則(
)A.a(chǎn)>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a參考答案:A4.設(shè),函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合,則的最小值是(
)A.
B.
C.
D.3參考答案:C5.已知函數(shù)(其中)的圖象如圖所示,則函數(shù)的解析式為A.
B.C.
D.參考答案:A略6.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)等于(
)
參考答案:A7.下列關(guān)于函數(shù)的圖象的敘述正確的是A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B.關(guān)于y軸對(duì)稱
C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D.關(guān)于直線對(duì)稱參考答案:C8.已知直線平面,直線∥平面,則“”是“”的
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)既非充分也非必要條件參考答案:
A略9.已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)相等,體積為,其三視圖中的俯視圖如圖所示,則其左視圖的面積是()A.
B.
C.
D.參考答案:A10.已知點(diǎn)在圖象上,則下列點(diǎn)中不可能在此圖象上的是
A.
B.
C.
D.參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若(x+)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81,且常數(shù)項(xiàng)為a,則直線y=x與曲線y=x2所圍成的封閉區(qū)域面積為.參考答案:【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用;定積分.【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用;二項(xiàng)式定理.【分析】依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為3n,列出方程求出n,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)a的值,再利用積分求直線y=x與曲線y=x2圍成的封閉圖形的面積.【解答】解:∵(x+)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81,∴3n=81,解得n=4,(x+)4的展開式的通項(xiàng)公式為:Tr+1=C4r?2r?x4﹣2r,令4﹣2r=0,解得r=2,∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為a=C42?22=24;∴直線y=4x與曲線y=x2所圍成的封閉區(qū)域面積為:S=(4x﹣x2)dx=(2x2﹣x3)=.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題,也考查了利用積分求封閉圖形的面積問題,是綜合性題目.12.設(shè)均為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為____________.參考答案:1613.在的展開式中,不含x的各項(xiàng)系數(shù)之和為___參考答案:-114.已知x,y滿足且z=2x+y的最大值是其最小值的2倍,則a=.參考答案:【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;不等式.【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用z的幾何意義,求出最優(yōu)解,建立方程關(guān)系,即可得到結(jié)論.【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直線y=﹣2x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),直線的截距最小,此時(shí)z最小,當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),直線的截距最大,此時(shí)z最大,由得,即C(a,2a),此時(shí)zmin=2a+2a=4a,由得,即B(1,2),此時(shí)zmax=2+2=4,∵z=2x+y的最大值是其最小值的2倍,∴2×4a=4,即a=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.15.若運(yùn)行如圖所示的程序框圖,輸出的n的值為127,則輸入的正整數(shù)n的所有可能取值的個(gè)數(shù)為________.參考答案:3【分析】根據(jù)框圖的循環(huán),判斷出時(shí)符合題意,再研究和的情況,判斷是否符合題意,得到答案.【詳解】令,得,故輸入符合題意;當(dāng)輸入的滿足時(shí),輸出的結(jié)果總是大于127,不合題意;當(dāng)輸入時(shí)候,輸出的的值為,,,均不合題意;當(dāng)輸入或時(shí),輸出的,符合題意;當(dāng)輸入時(shí),進(jìn)入死循環(huán),不合題意.故輸入的正整數(shù)的所有可能取值為,共3個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),根據(jù)輸出值求輸入值,對(duì)循環(huán)終止條件和循環(huán)規(guī)律的研究有較高的要求,屬于中檔題.16.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△PBC的面積大于的概率是
.參考答案:17.函數(shù)則的值為.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖,P是⊙O外一點(diǎn),PA是切線,A為切點(diǎn),割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B,C,PC=2PA,D為PC的中點(diǎn),AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.證明:AD·DE=2PB2.參考答案:證明:由切割線定理得PA2=PB·PC.因?yàn)镻C=2PA,D為PC的中點(diǎn),所以DC=2PB,BD=PB.
………5分由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.
………10分19.2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成,分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮?,F(xiàn)有8個(gè)相同的盒子,每個(gè)盒子中放一只福娃,每種福娃的數(shù)量如下表:福娃名稱貝貝晶晶歡歡迎迎妮妮數(shù)量12311從中隨機(jī)地選取5只。
(1)求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率;
(2)若完整地選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記100分;若選出的5只中僅差一種記80分;差兩種記60分;以此類推。設(shè)表示所得的分?jǐn)?shù),求的分布列和期望值。參考答案:解析:(I)選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”的概率
(II)ξ的取值為100,80,60,40.
ξ的分布列為ξ100806040P
Eξ=
20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).(1)若函數(shù)在(,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的值;(2)是否存在正整數(shù)a,使得在(,)上既不是單調(diào)遞增函數(shù)也不是單調(diào)遞減函數(shù)?若存在,試求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.參考答案:解(1)∵在(,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴f′(x)=3x2+2ax-2,
……………2分f′(1)=0,∴a=-.………………6分(2)令f′(x)=3x2+2ax-2=0.
∵a是正整數(shù),∴a=2.…………………16分21.高三(3)班班主任根據(jù)本班50名學(xué)生體能測(cè)試成績(jī),繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)求頻率分布圖中a的值;(2)求該班50名學(xué)生中,成績(jī)不低于80分的概率;(3)從成績(jī)?cè)赱40,60)的學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人,求此2人分?jǐn)?shù)都在[40,50)的概率.參考答案:【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;頻率分布直方圖.【分析】(1)由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1,能求出a.(2)由所給頻率分布直方圖知,50名學(xué)生成績(jī)不低于80的頻率為0.4,由此能求出該班成績(jī)不低于80的概率的估計(jì)值.(3)學(xué)生成績(jī)?cè)赱50,60)的有3人,記為A1,A2,A3,學(xué)生成績(jī)?cè)赱40,50)的有2人,記為B1,B2.由此能求出此2人分?jǐn)?shù)都在[40,50)的概率.【解答】解:(1)因?yàn)椋?.004+a+0.018+0.022+0.028)×10=1,所以a=0.006.…(3分)(2)由所給頻率分布直方圖知,50名學(xué)生成績(jī)不低于80的頻率為(0.022+0.018)×10=0.4,所以該班成績(jī)不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.…(7分)(3)學(xué)生成績(jī)?cè)赱50,60)的有:50×0.006×10=3(人),記為A1,A2,A3,學(xué)生成績(jī)?cè)赱40,50)的有:50×0.004×10=2(人),記為B1,B2.從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,所有可能的結(jié)果共有10種,它們是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因?yàn)樗槿?人的成績(jī)都在[40,50)的結(jié)果有1種,即{B1,B2},故所求的概率為p=.…(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真是題,注意列舉法的合理運(yùn)用.22.已知遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足:,且是和的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)若,求使成立的正整數(shù)n的值.參考答案:(1);(2)試題分析:(1)等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列的一類基本問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,尤其需要注意的是,在使用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)該要分類討論,有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換的思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程;(2)解題時(shí)要善于類比要能正確區(qū)分等差、等比的性質(zhì),不要把兩者的性質(zhì)搞混
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