普通物理學講義(運動2)

△rABrArBOddddddddktzjtyitxtrv++==vrvvvzyxkvjviv++=vvv何時取等號？直線直進運動曲線運動設質點繞圓心在作變速圓周運動，在其上任意選一點可建立如下坐標系，其中一根坐標軸沿軌跡在該點P的切線方向，該方向單位矢量用et表示；另一坐標軸沿該點軌跡的法線并指向曲線凹側，相應單位矢量用en表示，這就叫自然坐標系。

一、切向加速度法向加速度顯然，沿軌跡上各點，自然坐標軸的方位是不斷變化著的?！?-2圓周運動和一般曲線運動

1.自然坐標系BRdA為單位矢量，

大小不變，但方向改變t時刻：A點t+dt時刻：B點

dt時間內(nèi)經(jīng)過弧長dsds對應圓心角角度d2.切向加速度法向加速度

即與

同向BRdA圓周運動中的切向加速度at和法向加速度an

切向加速度改變速度的大小，法向加速度改變速度的方向。OXR角位移沿逆時針轉動，角位移取正值沿順時針轉動，角位移取負值角位置角速度角加速度單位：rad/s單位：rad/s2二、圓周運動的角量描述勻角加速圓周運動是恒量一般圓周運動勻速圓周運動是恒量討論：ROx

圓周運動既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者應有一定的對應關系。

+00+t+tBtA

圖示，一質點作圓周運動：在t時間內(nèi)，質點的角位移為，則A、B間的有向線段與弧將滿足下面的關系兩邊同除以t，得到速度與角速度之間的關系：將上式兩端對時間求導，得到切向加速度與角加速度之間的關系：將速度與角速度的關系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關系：線量速度、加速度角量角速度、角加速度勻速直線運動勻變速直線運動勻速率圓周運動變速曲線運動討論：例題1-2計算地球自轉時地面上各點的速度和加速度。解：地球自轉周期T=246060s，角速度大小為：

如圖，地面上緯度為的P點，在與赤道平行的平面內(nèi)作圓周運動,R赤道R’p

其軌道的半徑為P點速度的大小為P點只有運動平面上的向心加速度，其大小為P點速度的方向與過P點運動平面上半徑為R的圓相切。P點加速度的方向在運動平面上由P指向地軸。已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯3957、3112和

2300，可算出三地的v和

an分別為：北京：上海：廣州：解：由題意，可得該點的速率為：

例題1-3一飛輪邊緣上一點所經(jīng)過的路程與時間的關系為，v0、b都是正的常量。（1）求該點在時刻t的加速度；（2）t為何值時，該點的切向加速度與法向加速度的大小相等？已知飛輪的半徑為R.上式表明，速率隨時間t而變化，該點做勻變速圓周運動

（1）t

時刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:Ro加速度方向由它和速度的夾角確定為：

（2）令at=an，即得例題1-4如圖a所示為一曲柄連桿機構，曲柄OA長為r，連桿AB長為l，AB的一段用銷子在A處與曲柄OA相連，另一端以銷子在B處與活塞相連。當曲柄以勻角速ω繞軸O旋轉時，通過連桿將帶動B處活塞在汽缸內(nèi)往復運動，試求活塞的運動學方程。解：取O為原點，Ox軸水平向左，如圖b所示；并設開始時，曲柄A在Ox軸上的點P處。當曲柄以勻角速ω轉動時，在t時刻曲柄轉角為φ=ωt以，這時B處活塞的位置為x=OR+RB，即這就是活塞的運動學方程我們把上式右端第2項按二項式定理展開為級數(shù)：一般r/l<1/3.6,因此高階小量可以略去，于是的活塞的運動學方程

拋體運動：從地面上某點向空中拋出的物體在空中所做的運動稱拋體運動。

以拋射點為坐標原點建立坐標系，水平方向為x軸，豎直方向為y軸。設拋出時刻t=0的速率為v0，拋射角為

，三、拋體運動的矢量描述則初速度分量分別為：故任意時刻的速度為：將上式積分，得運動方程為:

物體在空中飛行回落到拋出點高度時所用的時間為:

飛行的射程（即回落到與拋出點的高度相同時所經(jīng)過的水平距離）為:運動方程消去時間參數(shù)t，得到拋體運動的軌跡方程為：若，則，此時為平拋運動；若，則，此時射程最大；

若，則，此時為豎直拋體運動.

飛行的射高（即高出拋射點的距離）為

例題1-5在距離我方前沿陣地1000m處有一座高50m長的山丘，山上建有敵方一座碉堡。求我方的大炮在什么角度下以最小的速度發(fā)射炮彈就能摧毀敵軍的這座碉堡？解：由前面分析可知，拋體運動的軌跡方程是由此可解出發(fā)射速度v0與發(fā)射角度的關系，由上式不難分析出，當tanθ=y/x，以及θ=π/2時，v0都將趨于無窮大，所以在這中間必存在一個使v0為極小值的角度，令dv0/dθ=0，將目標位置x=1000m，y=50m，代入方程求解，原則上可以求出擊中目標炮彈的最小速度，但由此產(chǎn)生的超越方程難以得出解析解。為此，我們可以編寫Matlab程序，利用計算機的數(shù)值解，繪出為了擊中目標所發(fā)射炮彈的初速度與發(fā)射角度的關系曲線，并得到在θ=46.4°時，可以最小速度v0=101.5m/s發(fā)射炮彈摧毀敵軍碉堡。例

有一學生在體育館陽臺上以投射角θ=30°和速率v0=20m/s向臺前操場出一壘球。球離開手時距離操場水平面