材料力學(xué)課件第6章 彎曲變形

第六章彎曲變形第六章彎曲變形6.1工程中的彎曲變形問題6.2撓曲線微分方程6.3彎曲變形求解——積分法6.4彎曲變形求解——疊加法6.6提高抗彎剛度的一些措施6.5簡單超靜定梁6.1工程中的彎曲變形問題控制彎曲變形的例子對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)中的某些零部件以及土木工程中的某些結(jié)構(gòu)，若變形過大，也會(huì)引起結(jié)構(gòu)的失效。目錄利用彎曲變形的例子工程實(shí)際中有一些情況是希望在結(jié)構(gòu)滿足強(qiáng)度要求下，盡量產(chǎn)生較大的彈性位移，以達(dá)到一定的功能效果。6.1工程中的彎曲變形問題對(duì)于某些結(jié)構(gòu)，若變形過大同樣會(huì)嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)功能，引起結(jié)構(gòu)失效。對(duì)結(jié)構(gòu)變形量的限制則體現(xiàn)了材料力學(xué)的另一設(shè)計(jì)要求，即剛度要求。6.1工程中的彎曲變形問題6.2撓曲線微分方程1.基本概念2）轉(zhuǎn)角θ：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。1）撓度w：截面形心在y方向的位移。撓度規(guī)定：當(dāng)位移與坐標(biāo)正向一致時(shí)取正。轉(zhuǎn)角規(guī)定：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。撓曲線轉(zhuǎn)角3）變形后的梁軸線變?yōu)閤y平面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。4）在圖示坐標(biāo)系中，各點(diǎn)撓度和轉(zhuǎn)角可用撓曲線方程和轉(zhuǎn)

角方程來表示：6.2撓曲線微分方程2.梁彎曲變形下的幾何關(guān)系撓曲線轉(zhuǎn)角由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知撓曲線的曲率可以表示為考慮到可簡化6.2撓曲線微分方程3.梁彎曲變形下的靜力學(xué)關(guān)系（可參見第五章）忽略剪力對(duì)變形的影響再考慮幾何關(guān)系，則可得到梁在彎曲變形下的微分方程：式中正負(fù)號(hào)與彎矩的符號(hào)規(guī)定與所取坐標(biāo)系有關(guān)。6.2撓曲線微分方程4.梁彎曲變形下的撓曲線微分方程正負(fù)號(hào)如何確定？分別考慮(a),(b)圖，可知上式中可以去掉，得撓曲線方程為：(a)(b)6.2撓曲線微分方程由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。6.2撓曲線微分方程撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-36.2撓曲線微分方程

積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形6.2撓曲線微分方程例1求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程:3）列撓曲線近似微分方程

并積分:積分一次再積分一次ABF6.3彎曲變形求解——積分法4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF6.3彎曲變形求解——積分法例2求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：6.3彎曲變形求解——積分法3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：6.3彎曲變形求解——積分法4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件6.3彎曲變形求解——積分法5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：6.3彎曲變形求解——積分法6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令得，令得，6.3彎曲變形求解——積分法討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？6.3彎曲變形求解——積分法

設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為y，則有：

若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-46.4彎曲變形求解——疊加法故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理。6.4彎曲變形求解——疊加法例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角B1）將梁上的載荷分解yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。解:6.4彎曲變形求解——疊加法3）應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和

yC2yC36.4彎曲變形求解——疊加法例4已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變?cè)瓉磔d荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解:6.4彎曲變形求解——疊加法3）將結(jié)果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。6.4彎曲變形求解——疊加法討論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？6.4彎曲變形求解——疊加法1.基本概念：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.求解方法：解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)——比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件——由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)7-66.5簡單超靜定梁解：例5求梁的支反力，如圖(a)所示，其中，梁的抗彎剛度為EI。1）該問題為1次超靜定問題。2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)，如圖(b)所示3）進(jìn)行變形比較，如圖(c)所示。列出變形協(xié)調(diào)條件6.5簡單超靜定梁(a)(b)(c)4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程所以5）由整體平衡條件求其他約束反力6.5簡單超靜定梁(a)(b)(c)例6梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：FBMAFAwB1FBMCFCwB2物理關(guān)系解:6.5簡單超靜定梁FBFBMAFAMCFCwB1wB2代入得補(bǔ)充方程：確定A端約束力6.5簡單超靜定梁FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定C端約束力6.5簡單超靜定梁MAFAMCFCA、C端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖6.5簡單超靜定梁6.6提高彎曲剛度的一些措施為了滿足結(jié)構(gòu)的剛度要求，一方面要使用適當(dāng)載荷，另一方面要通過結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提高結(jié)構(gòu)彎曲剛度。從撓曲線微分方程可以看出，彎曲變形與梁上作用載荷的類別和分布情況以及梁的跨度、支承情況、梁截面的慣性矩、材料的彈性模量有關(guān)。

因此，為提高梁的抗彎剛度，應(yīng)從考慮以上各因素人手。以下分為幾類討論：1）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變支座形式6.6提高彎曲剛度的一些措施2）改善加載形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變載荷類型6.6提高彎曲剛度的一些措施3）選擇合理的截面形