材料力學課件第6章 彎曲變形

第六章彎曲變形第六章彎曲變形6.1工程中的彎曲變形問題6.2撓曲線微分方程6.3彎曲變形求解——積分法6.4彎曲變形求解——疊加法6.6提高抗彎剛度的一些措施6.5簡單超靜定梁6.1工程中的彎曲變形問題控制彎曲變形的例子對于機械結構中的某些零部件以及土木工程中的某些結構，若變形過大，也會引起結構的失效。目錄利用彎曲變形的例子工程實際中有一些情況是希望在結構滿足強度要求下，盡量產(chǎn)生較大的彈性位移，以達到一定的功能效果。6.1工程中的彎曲變形問題對于某些結構，若變形過大同樣會嚴重影響結構功能，引起結構失效。對結構變形量的限制則體現(xiàn)了材料力學的另一設計要求，即剛度要求。6.1工程中的彎曲變形問題6.2撓曲線微分方程1.基本概念2）轉角θ：截面繞中性軸轉過的角度。1）撓度w：截面形心在y方向的位移。撓度規(guī)定：當位移與坐標正向一致時取正。轉角規(guī)定：逆時針旋轉為正，反之為負。撓曲線轉角3）變形后的梁軸線變?yōu)閤y平面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。4）在圖示坐標系中，各點撓度和轉角可用撓曲線方程和轉

角方程來表示：6.2撓曲線微分方程2.梁彎曲變形下的幾何關系撓曲線轉角由高等數(shù)學知識可知撓曲線的曲率可以表示為考慮到可簡化6.2撓曲線微分方程3.梁彎曲變形下的靜力學關系（可參見第五章）忽略剪力對變形的影響再考慮幾何關系，則可得到梁在彎曲變形下的微分方程：式中正負號與彎矩的符號規(guī)定與所取坐標系有關。6.2撓曲線微分方程4.梁彎曲變形下的撓曲線微分方程正負號如何確定？分別考慮(a),(b)圖，可知上式中可以去掉，得撓曲線方程為：(a)(b)6.2撓曲線微分方程由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。6.2撓曲線微分方程撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-36.2撓曲線微分方程

積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形6.2撓曲線微分方程例1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程:3）列撓曲線近似微分方程

并積分:積分一次再積分一次ABF6.3彎曲變形求解——積分法4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF6.3彎曲變形求解——積分法例2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：6.3彎曲變形求解——積分法3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：6.3彎曲變形求解——積分法4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件6.3彎曲變形求解——積分法5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：6.3彎曲變形求解——積分法6）確定最大轉角和最大撓度令得，令得，6.3彎曲變形求解——積分法討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？6.3彎曲變形求解——積分法

設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為，撓度為y，則有：

若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-46.4彎曲變形求解——疊加法故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。6.4彎曲變形求解——疊加法例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉角B1）將梁上的載荷分解yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。解:6.4彎曲變形求解——疊加法3）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和

yC2yC36.4彎曲變形求解——疊加法例4已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解:6.4彎曲變形求解——疊加法3）將結果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。6.4彎曲變形求解——疊加法討論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？6.4彎曲變形求解——疊加法1.基本概念：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.求解方法：解除多余約束，建立相當系統(tǒng)——比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件——由物理關系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)7-66.5簡單超靜定梁解：例5求梁的支反力，如圖(a)所示，其中，梁的抗彎剛度為EI。1）該問題為1次超靜定問題。2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)，如圖(b)所示3）進行變形比較，如圖(c)所示。列出變形協(xié)調(diào)條件6.5簡單超靜定梁(a)(b)(c)4）由物理關系，列出補充方程所以5）由整體平衡條件求其他約束反力6.5簡單超靜定梁(a)(b)(c)例6梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：FBMAFAwB1FBMCFCwB2物理關系解:6.5簡單超靜定梁FBFBMAFAMCFCwB1wB2代入得補充方程：確定A端約束力6.5簡單超靜定梁FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定C端約束力6.5簡單超靜定梁MAFAMCFCA、C端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖6.5簡單超靜定梁6.6提高彎曲剛度的一些措施為了滿足結構的剛度要求，一方面要使用適當載荷，另一方面要通過結構設計提高結構彎曲剛度。從撓曲線微分方程可以看出，彎曲變形與梁上作用載荷的類別和分布情況以及梁的跨度、支承情況、梁截面的慣性矩、材料的彈性模量有關。

因此，為提高梁的抗彎剛度，應從考慮以上各因素人手。以下分為幾類討論：1）改善結構形式，減少彎矩數(shù)值改變支座形式6.6提高彎曲剛度的一些措施2）改善加載形式，減少彎矩數(shù)值改變載荷類型6.6提高彎曲剛度的一些措施3）選擇合理的截面形