概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(2-1)

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度§2.4幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布§2.6二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)§2.7二維離散型隨機(jī)變量§2.8二維連續(xù)型隨機(jī)變量§2.9隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性§2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律一、隨機(jī)變量的定義二、離散型隨機(jī)變量及其分布律三、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律,有必要引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.

例1

擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。記ω1=“正面朝上”，ω2=“反面朝上”。X是定義在Ω={ω1，ω2}上的函數(shù)，是隨機(jī)變量。一、隨機(jī)變量的概念

Ω={t|t≥0}例3

測(cè)試燈泡的壽命：X=X（t）ω

X(ω)ΩX

例2

從一批種子中隨機(jī)抽取20粒進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，觀察發(fā)芽粒數(shù)。顯然Ω={0，1，…，20}，用變量X表示發(fā)芽種子粒數(shù)，則X的所有可能取值為0，1，…，20.={ω}→X=X(ω)一、隨機(jī)變量的概念

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，如果對(duì)于每一個(gè)ω∈Ω，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)X(ω)為隨機(jī)變量，并簡(jiǎn)記為X。

注意：

1.X是定義在Ω上的實(shí)值、單值函數(shù)。

2.因隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都有一定的概率，所以隨機(jī)變量X的取值也有一定的概率。

3.隨試驗(yàn)結(jié)果不同,X取不同的值，試驗(yàn)前可以知道它的所有取值范圍，但不知確定取什么值。一、隨機(jī)變量的概念例3

(1)50次射擊試驗(yàn)中命中的次數(shù)……可以用一個(gè)隨機(jī)變量X來(lái)表示，它可能取0，1，…，50中的任一非負(fù)整數(shù)；(2)城市某十字路口一分鐘內(nèi)通過(guò)的機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)……可以用隨機(jī)變量X來(lái)表示，它所有可能的取值為一切非負(fù)整數(shù)；二、

離散型隨機(jī)變量及其分布律(3)汽車(chē)司機(jī)剎車(chē)時(shí)，輪胎接觸地面的點(diǎn)的位置是在[0,2r]上取值的隨機(jī)變量，其中r是輪胎的半徑．

隨機(jī)變量按其可能取的值，區(qū)分為兩大類(lèi):

一類(lèi)叫離散型隨機(jī)變量,其特征是只能取有限或可列個(gè)值.在例1的(1)和(2)中,隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量．另一類(lèi)是非離散型隨機(jī)變量。在非離散型隨機(jī)變量中，通常只關(guān)心連續(xù)型隨機(jī)變量，它的全部可能取值不僅是無(wú)窮多的、不可列的，而是充滿某個(gè)區(qū)間．在例1的（3），隨機(jī)變量則為連續(xù)型隨機(jī)變量．二、

離散型隨機(jī)變量及其分布律

P{X=xi}=pi

（i=1,2,…）亦可用下面的概率分布表來(lái)表示Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…則稱(chēng)之為離散型隨機(jī)變量X的概率分布律或分布列（律）

定義

設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值為

x1,x2,…,xn

,…X取各個(gè)值的概率，即事件{X=xi}的概率為二、

離散型隨機(jī)變量及其分布律（1）非負(fù)性：pi≥0（i=1,2，…）（2）規(guī)范性：

課堂練習(xí)1

已知隨機(jī)變量X的概率分布為：求常數(shù)a.解由概率分布的性質(zhì)得得

15a=1,即分布律具有如下性質(zhì)：X0123pk6白4紅10球

解用X表示抽到的紅球數(shù)，則X所有可能的取值為0，1，2，3。且取每一個(gè)值的概率分別為

課堂練習(xí)2

在一個(gè)袋子中有10個(gè)球，其中6個(gè)白球，4個(gè)紅球。從中任取3個(gè)，求抽到紅球數(shù)的概率分布。可表示為

例4

假設(shè)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.8，X表示他投籃一次命中的次數(shù)，求X的概率分布．

解用{X=1}表示“投籃一次命中”，{X=0}表示“投籃一次沒(méi)命中”，則

P{X=1}=0.8,P{X=0}=1－P{X=1}=1－0.8=0.2.即X的概率分布為

X

01

P

0.20.8三、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布

1.0-1分布

若隨機(jī)變量X

只可能取0和1兩個(gè)值，概率分布為

(0＜p＜1，p+q=1)

若Ω只有兩個(gè)樣本點(diǎn)，即Ω={ω1,ω2}，則可以定義具有0-1分布的隨機(jī)變量：X=X(ω)=XP10p

q則稱(chēng)X

服從0-1分布（p為參數(shù)）,也稱(chēng)為兩點(diǎn)分布.記作

X～B(1,p).其分布可表示為或特別當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布為顯然

2.二項(xiàng)分布即為0-1分布。

定義

如果隨機(jī)變量X的概率分布為（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)則稱(chēng)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。記作X~B(n,p).P{X≥2}=1—[P{X=0}+P{X=1}]（k=0，1，2，…，400）

解將每次射擊看成是一次伯努利試驗(yàn)，X表示在400次射擊中擊的次數(shù)，則X~B(400,0.02)其分布律為

例5

某人進(jìn)行射擊，其命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求擊中的次數(shù)大于等于2的概率。≈0.9972

小概率事件原理：某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性很小，但只要重復(fù)次數(shù)足夠大，那么該事件的發(fā)生幾乎是肯定的。

例6

甲、乙兩名棋手約定進(jìn)行10盤(pán)比賽，以贏的盤(pán)數(shù)較多者為勝.，假設(shè)每盤(pán)棋甲贏的概率都為0.6，乙贏的概率為0.4，且各盤(pán)比賽相互獨(dú)立，問(wèn)甲、乙獲勝的概率各為多少？

解每一盤(pán)棋可看作一次伯努利試驗(yàn).設(shè)X為10盤(pán)棋賽中甲贏的盤(pán)數(shù)，則X

～

B(10,0.6)，按約定，甲只要贏6盤(pán)或6盤(pán)以上即可獲勝.所以P{甲獲勝}=若乙獲勝，則甲贏棋的盤(pán)數(shù)，即

練習(xí)

某廠需從外地購(gòu)買(mǎi)12只集成電路.已知該型號(hào)集成電路的不合格率為0.1，問(wèn)至少需要購(gòu)買(mǎi)幾只才能以99%的把握保證其中合格的集成電路不少于12只？

解設(shè)需要購(gòu)買(mǎi)n只，用X表示這n只集成電路中合格品只數(shù)，則，按題意，要求事件“X≥12”的概率不小于0.99，即可算出至少需要購(gòu)買(mǎi)17只集成電路，才能以99%的把握保證其中合格品不少于12只.

注意：事件“甲獲勝”與“乙獲勝”并不是互逆事件，因?yàn)閮扇诉€有輸贏相當(dāng)?shù)目赡埽菀姿愠鲆槐緯?shū)的某一頁(yè)中印刷符號(hào)錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某地區(qū)一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)等，這些隨機(jī)變量都服從或近似服從泊松分布其中λ＞0是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)查課本204頁(yè)附表2泊松分布表，對(duì)于給定的λ，可查

3.泊松分布（k=0，1，2，…）

定義

如果隨機(jī)變量X的概率分布為例7

在500個(gè)人組成的團(tuán)體中，恰有5個(gè)人的生日是元旦的概率是多少？

解該團(tuán)體中每個(gè)人的生日恰好是元旦的概率都是1/365，則該團(tuán)體中生日為元旦的人數(shù)B(500,1/365)，恰有5個(gè)人的生日是元旦的概率為這里n值較大，直接計(jì)算比較麻煩.而在二項(xiàng)分布中，當(dāng)n值較大，而p較小時(shí)，有一個(gè)很好的近似計(jì)算公式，這就是著名的泊松定理。設(shè)隨機(jī)變量Xn(n=1，2，3…)服從二項(xiàng)分布B(n,pn),

從而n較大，pn較小時(shí)有其中pn與n有關(guān)。如果泊松（Poisson）定理:（k