正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 課件(人教A版必修四)

1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象解析式y(tǒng)=tanx圖象定義域___________________________值域__函數(shù)y=tanx的圖象和性質(zhì)R解析式y(tǒng)=tanx周期___奇偶性_______單調(diào)性在開(kāi)區(qū)間___________________上都是增函數(shù)π奇函數(shù)判斷：(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.()(2)正切曲線是中心對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心.()(3)正切曲線有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，其對(duì)稱軸是()提示：(1)錯(cuò)誤.正切函數(shù)的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)镽.(2)正確.點(diǎn)是其對(duì)稱中心.(3)錯(cuò)誤.正切曲線沒(méi)有對(duì)稱軸.答案：(1)×(2)√(3)×【知識(shí)點(diǎn)撥】1.正切函數(shù)性質(zhì)的拓展(1)對(duì)稱性：正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是不存在對(duì)稱軸.(2)單調(diào)性：正切函數(shù)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的，但不能說(shuō)其在定義域內(nèi)是增加的.(3)漸近線：直線稱為正切曲線的漸近線，漸近線把正切曲線分成無(wú)數(shù)個(gè)不連續(xù)的部分.正切曲線在漸近線右側(cè)向下無(wú)限接近漸近線，在漸近線左側(cè)向上無(wú)限接近漸近線.2.“三點(diǎn)兩線法”作正切曲線的簡(jiǎn)圖(1)“三點(diǎn)”分別為其中k∈Z；兩線為直線和直線其中k∈Z.(兩線也稱為正切曲線的漸近線，即無(wú)限接近但不相交).(2)作簡(jiǎn)圖時(shí)，只需先作出一個(gè)周期中的兩條漸近線，然后描出三個(gè)點(diǎn)，用光滑的曲線連接得一條曲線，最后平行移動(dòng)至各個(gè)周期內(nèi)即可.類型一正切函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題

【典型例題】1.函數(shù)y=tan(sinx)的定義域?yàn)開(kāi)_____，值域?yàn)開(kāi)_____.2.函數(shù)y=tan2x-2tanx+3的最小值為_(kāi)_____.3.求函數(shù)的定義域.【解題探究】1.解三角不等式的兩種常用方法是什么？2.如何求形如y=Atan2x+Btanx+C的函數(shù)最值？3.求與正切函數(shù)有關(guān)的定義域時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題？探究提示：1.求解三角不等式,一種是利用三角函數(shù)線,另一種是利用三角函數(shù)圖象,先在一個(gè)周期內(nèi)找到滿足不等式的解,再根據(jù)周期性加上周期的整數(shù)倍即可得完整解集,同時(shí)要注意定義域?qū)饧南拗?2.一般是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)配方后求最值.3.除了按求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)有意義.【解析】1.因?yàn)閟inx∈［-1,1］，所以y=tan(sinx)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋踭an(-1),tan1］.答案：R［tan(-1),tan1］2.y=(tanx-1)2+2，由于tanx∈R，所以當(dāng)tanx=1時(shí)，函數(shù)取最小值2.答案：23.由得，所以的定義域?yàn)椤就卣固嵘壳笳泻瘮?shù)定義域的方法及求值域的注意點(diǎn)(1)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí),除了求函數(shù)定義域的一般要求外,還要保證正切函數(shù)y=tanx有意義,即而對(duì)于構(gòu)建的三角不等式,常利用三角函數(shù)的圖象求解.解形如tanx＞a的不等式的步驟：(2)求解與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域時(shí),要注意函數(shù)的定義域,在定義域內(nèi)求值域；對(duì)于求由正切函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域時(shí),常利用換元法,但要注意新“元”的范圍.【變式訓(xùn)練】函數(shù)的值域是()A.［-1,1］B.［-1,0)∪(0,1］C.(-∞,1］D.［-1,+∞)【解析】選A.為增函數(shù)，故值域?yàn)椋?1,1］.類型二正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用

【典型例題】1.比較大?。簍an167°______tan173°.2.求的單調(diào)區(qū)間.【解題探究】1.函數(shù)y=tanx的周期和單調(diào)區(qū)間分別是什么？2.常采用何種方法求形如y=Atan(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間？探究提示：1.周期是π，單調(diào)增區(qū)間為2.常采用“整體代換”的思想，令k∈Z，解得x的范圍即可.【解析】1.因?yàn)樗杂謞=tanx在上為增函數(shù)，所以所以tan167°＜tan173°.答案：＜2.由題意，即所以增區(qū)間為【互動(dòng)探究】題2若改為如何求單調(diào)區(qū)間？【解析】

可化為由故減區(qū)間為【拓展提升】1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω＞0，由于y=tanx在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令解得x的范圍即可.(2)若ω＜0，可利用誘導(dǎo)公式先把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan［-(-ωx-φ)］=-Atan(-ωx-φ)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可.2.運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法(1)運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).(2)運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系.【變式訓(xùn)練】若則()A.f(0)>f(-1)>f(1)B.f(0)>f(1)>f(-1)C.f(1)>f(0)>f(-1)D.f(-1)>f(0)>f(1)【解題指南】y=tanx在上為增函數(shù).根據(jù)誘導(dǎo)公式把轉(zhuǎn)化到上再比較大小.【解析】選A.又所以f(0)>f(-1)>f(1).類型三正切函數(shù)的奇偶性與周期

【典型例題】1.函數(shù)的周期是()2.函數(shù)y=|tanx|的圖象對(duì)稱于()A.原點(diǎn)B.y軸C.x軸D.直線y=x【解題探究】1.如何求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的最小正周期?2.怎樣判斷函數(shù)的對(duì)稱性？探究提示：1.2.先求出函數(shù)的定義域,再判斷此定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后根據(jù)奇偶函數(shù)的定義尋找f(-x)與f(x)的關(guān)系.【解析】1.選C.2.選B.由|tanx|=|tan(-x)|,所以y=|tanx|為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.【拓展提升】與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問(wèn)題的解決策略(1)一般地，函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的最小正周期為常常利用此公式來(lái)求周期.(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若不對(duì)稱，則該函數(shù)無(wú)奇偶性，若對(duì)稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.【變式訓(xùn)練】下列函數(shù)中,既是以π為周期的奇函數(shù)，又是上的增函數(shù)的是()A.y=tanxB.y=cosx【解析】選A.由于y=tanx與是奇函數(shù)，但是只有y=tanx的周期為π，y=cosx與y=|sinx|是偶函數(shù).【規(guī)范解答】正切函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【典例】【條件分析】【規(guī)范解答】由于函數(shù)y=tanx的對(duì)稱中心為其中k∈Z.…………………2分故令其中

……………4分由于所以當(dāng)k=2時(shí)，故函數(shù)解析式為………6分由于正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間上為增函數(shù).則令………………8分解得…………10分故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為…………12分【失分警示】【防范措施】1.結(jié)合圖象把握性質(zhì)：對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)，充分利用好圖象，掌握性質(zhì).如本例中正切函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間.2.整體代換的思想：在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及對(duì)稱軸、對(duì)稱中心時(shí)，要有充分的整體意識(shí).如本例中的求φ值和求單調(diào)增區(qū)間.

【類題試解】函數(shù)f(x)=tan(3x+φ)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是其中試求函數(shù)f(x)的定義域、值域和單調(diào)性.【解析】由于函數(shù)y=tanx的對(duì)稱中心為其中k∈Z，故令其中由于故當(dāng)k=1時(shí)，得故函數(shù)解析式為由得所以函數(shù)的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)镽.由于正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間上為增函數(shù),故令解得即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為1.直線y=a(a為常數(shù))與正切曲線y=tanωx(ω是常數(shù)且ω>0)相交，則相鄰兩交點(diǎn)間的距離是()【解析】選C.相鄰兩交點(diǎn)間的距離恰為該函數(shù)的周期，由y=tanωx，ω>0，得2.已知a=tan2，b=tan3，c=tan5，下列大小關(guān)系正確的是()A.a>b>cB.a<b<cC.b>a>cD.b<a<c【解析】選C.c=tan5=tan(5-π)，又y=tanx在上為增函數(shù)，所以tan(5-π)<tan2<tan3，即b>a>c.3.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是()【解析】選C.由y=tanx的對(duì)稱中心是得當(dāng)