測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

汽車傳感器與測(cè)試技術(shù)1第四章測(cè)量數(shù)據(jù)處理與誤差分析2▼被測(cè)量的真值和試驗(yàn)所得的給出值總存在一定的差異，這就是測(cè)量誤差。而誤差的存在使我們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)受到不同程度的歪曲，因此就必須進(jìn)行誤差分析。▼另一方面，一般原始的測(cè)試技術(shù)都是參差不齊的，需運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加以精選、加工，以求獲得可靠、真正反映事物內(nèi)在本質(zhì)的結(jié)論，這就是要進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

誤差分析和數(shù)據(jù)處理是判斷科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)測(cè)試結(jié)果質(zhì)量和水平的主要手段。3五數(shù)據(jù)處理三測(cè)量誤差的分析與處理二不確定度及其表征一測(cè)量誤差概述

本節(jié)主要內(nèi)容四測(cè)量結(jié)果的表達(dá)4§4.1

測(cè)量誤差概述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 期望值NO實(shí)驗(yàn)誤差測(cè)量絕對(duì)誤差=測(cè)得值—真值（示值誤差=儀器示值—真值）？1、測(cè)量誤差定義5注意：●“真值”是指被測(cè)量的客觀真實(shí)值。一 般來(lái)說(shuō)這一客觀真值是未知的，僅 在一些特殊的場(chǎng)合真值才是已知的（ 如一些理論分析值）

●測(cè)量誤差的正負(fù)號(hào)

●量綱與被測(cè)量的量綱相同（１）理論真值：由理論公式計(jì)算所得結(jié)果（２）規(guī)定真值：由國(guó)際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量。（如一米是光在真空中于1/299792458秒時(shí)間內(nèi)所到之長(zhǎng)度）（3）相對(duì)真值6絕對(duì)誤差很小示值誤差是儀表指示數(shù)值的絕對(duì)誤差；最大示值指該儀表測(cè)量范圍的上限；引用誤差的規(guī)定是便于儀器精度等級(jí)的評(píng)定當(dāng)允許誤差去掉百分號(hào)、正負(fù)號(hào)后的數(shù)字被稱為儀表的準(zhǔn)確度級(jí)，如）1、測(cè)量誤差定義7定義量綱相對(duì)誤差絕對(duì)誤差真值無(wú)反映測(cè)量效果絕對(duì)誤差測(cè)得值-真值有(與被測(cè)量相同)結(jié)果的實(shí)際誤差值81測(cè)量誤差是不可避免的，不同的是測(cè)量誤差的大小不同而已。2在一定的條件下，精確度的提高總要受到一定的限制。測(cè)量數(shù)據(jù)不可避免地會(huì)有一定的誤差，只要誤差在一定的范圍內(nèi)就認(rèn)為是正常的。3減小誤差的影響，提高測(cè)量精度4對(duì)測(cè)的結(jié)果的可靠性作出評(píng)定，即給出精確度的估計(jì)。2、測(cè)量誤差的普遍意義93測(cè)量誤差的分類測(cè)量誤差的來(lái)源對(duì)測(cè)量誤差的掌握程度測(cè)量誤差的特征規(guī)律裝置誤差已知誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差環(huán)境誤差方法誤差未知誤差人員誤差101）測(cè)量誤差的來(lái)源11系統(tǒng)誤差：在順次測(cè)量的系列測(cè)量結(jié)果中，其值固定不變或按某確定規(guī)律變化的誤差。確定的規(guī)律：①測(cè)量誤差具有確定的值；

②在相同的考察條件下，可重復(fù)表現(xiàn)；

③原則上可用函數(shù)的解析式，曲線或數(shù)表示；

④這一規(guī)律性并不一定確知；如：由于儀器標(biāo)度尺刻劃的不準(zhǔn)確；測(cè)量者觀察儀器指針時(shí)習(xí)慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統(tǒng)誤差的特性。12隨機(jī)誤差（偶然誤差）：在同一條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，各測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差或大或小，或正或負(fù)，其取值的大小沒(méi)有確定的規(guī)律性，是不可預(yù)知的。注意：●隨機(jī)誤差具有隨機(jī)變量的一切特征；

●不能通過(guò)“修正”的方法消除掉；

●用統(tǒng)計(jì)的方法做出估計(jì)；

如：由于儀器標(biāo)度尺刻劃的不準(zhǔn)確；測(cè)量者觀察儀器指針時(shí)習(xí)慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統(tǒng)誤差的特性。13粗大誤差（過(guò)失誤差）：超出正常范圍的大誤差。正常范圍：誤差的正常分布規(guī)律決定的分布范圍，只要誤差取值不超過(guò)這一正常的范圍，應(yīng)是允許的。粗大誤差是隨機(jī)的，但不同于隨機(jī)誤差，僅表現(xiàn)在數(shù)值大小上的差別，因此差別不明顯時(shí)，不太容易區(qū)分。一般粗大誤差是由測(cè)量中的失誤造成的。如：由于儀器標(biāo)度尺刻劃的不準(zhǔn)確；測(cè)量者觀察儀器指針時(shí)習(xí)慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統(tǒng)誤差的特性。144幾個(gè)術(shù)語(yǔ)：精密度：(precision)表述：概念：重復(fù)測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果的分散性準(zhǔn)確度：表述：精確度：(正確度)測(cè)量結(jié)果與真值的接近程度，系統(tǒng)誤差的影響程度性質(zhì)：隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)性質(zhì)：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合影響程度平均值與真值的偏差(deviation)表述：不確定度(uncertainty)工程表示：引用誤差，最大允許誤差相對(duì)于儀表測(cè)量范圍地百分?jǐn)?shù)0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七級(jí)15經(jīng)過(guò)修正的測(cè)量結(jié)果仍有一定的誤差。誤差的或大或小，或正或負(fù)，其取值具有一定的分散性，即不確定性。在多次重復(fù)測(cè)量中，可看出測(cè)量結(jié)果將在某一范圍內(nèi)波動(dòng)，從而展示了這種不確定性。測(cè)量結(jié)果可能的取值范圍越大，測(cè)量結(jié)果的可靠性越低；測(cè)量結(jié)果可能的取值范圍越小，測(cè)量結(jié)果的可靠性越高。§4.2不確定度及其表征參數(shù)16定義：與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，表征合理賦予的被測(cè)量之值的分散性。用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測(cè)量結(jié)果的不確定度。

1）．(測(cè)量)不確定度Uncenainty(ofmeasurement)

2）．標(biāo)準(zhǔn)不確定度(StandardUncenainty)1、定義：173）．合成標(biāo)準(zhǔn)不確定

當(dāng)結(jié)果由若干其他量得來(lái)時(shí)，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于這些量的方差和協(xié)方差的適當(dāng)和的正平方根，這些方差是根據(jù)測(cè)量結(jié)果隨這些量的變化而變化情況進(jìn)行加權(quán)的。測(cè)量的不確定度表示由于存在測(cè)量誤差而是被測(cè)量值不能肯定的程度，它的大小表征測(cè)量結(jié)果的可信程度。182、測(cè)量不確定度的分類：按誤差性質(zhì)分類，分為系統(tǒng)分量的不確定度和隨機(jī)分量的不確定度兩類。按不確定度數(shù)值的估計(jì)方法分類，分為用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的不確定度和用其他方法估計(jì)的不確定度兩類。193、測(cè)量的不確定度與測(cè)量誤差的區(qū)別測(cè)量不確定度表示由于存在測(cè)量誤差而使被測(cè)量值不能肯定的程度，它是表征誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果影響程度的參數(shù)，對(duì)于某一確定的測(cè)量方法來(lái)說(shuō)，不確定度具有確定的值。測(cè)量誤差是指被測(cè)量的測(cè)得值與其相應(yīng)的真值之差，測(cè)量誤差取值具有不確定性并服從一定的分布。204、不確定廢的評(píng)定1）．(不確定廢的)A類評(píng)定

用對(duì)觀測(cè)列的統(tǒng)計(jì)分析進(jìn)行不確定度評(píng)定的方法。2）．(不確定廢的)B類評(píng)定

用不同于對(duì)觀測(cè)列的統(tǒng)計(jì)分析的其他方法進(jìn)行不確定度評(píng)定的方法。

21§4.3、測(cè)量誤差的分析與處理測(cè)量誤差的分析就是研究誤差的性質(zhì)與規(guī)律。①研究和確定過(guò)失誤差與隨機(jī)誤差之間的界限，以便舍棄那些含有過(guò)失誤差的測(cè)定值；②研究系統(tǒng)誤差的規(guī)律，尋找將系統(tǒng)誤差從隨機(jī)誤差中分離出來(lái)的方法，并設(shè)法消除其影響；③研究隨機(jī)誤差的規(guī)律，分析和確定測(cè)量的精密度；④從一系列測(cè)定值中求出最接近于被測(cè)參數(shù)真實(shí)值的測(cè)量結(jié)果。221、隨機(jī)誤差實(shí)踐表明，測(cè)試結(jié)果的隨機(jī)誤差大多服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

式中：——為測(cè)量誤差；

——均方根誤差。從圖可以看出，值愈小，正態(tài)分布密度曲線愈陡峭，幅值愈大，測(cè)量誤差??；反之，值愈大，曲線愈趨平坦，測(cè)量誤差大。231）算術(shù)平均值

設(shè)…，為n次等精度測(cè)量所得的值，其算術(shù)平均值為：

由于被測(cè)參數(shù)的真實(shí)值無(wú)法知道，因此在直接測(cè)量中常將測(cè)量列的算術(shù)平均值作為真值的估計(jì)值。24◆使用范圍對(duì)同一量進(jìn)行多次等精度重復(fù)測(cè)量而得到的數(shù)據(jù)的處理。所謂“等精度”是指各次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差相同，而并非指各測(cè)量數(shù)據(jù)具有相同的誤差。事實(shí)上，各測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差并不相同?！魞?yōu)點(diǎn)測(cè)量的隨機(jī)誤差的影響是最小。具有一致性、無(wú)偏性和最優(yōu)性。25局限性1算術(shù)平均值仍為隨機(jī)變量，它不可能完全排除隨機(jī)誤差的影響，只是減小這一影響。2由于系統(tǒng)誤差不具有隨機(jī)抵償性，算術(shù)平均值原理的功效只是減小隨機(jī)誤差的影響。在一般情況下，不能指望通過(guò)取算術(shù)平均值減小系統(tǒng)誤差的影響。3算術(shù)平均值原理在提高精度的效果上是有限的.26無(wú)論測(cè)量誤差具有何種分布，只要具有對(duì)稱性，其數(shù)學(xué)期望就為零，以算術(shù)平均值作為被測(cè)量的估計(jì)量就具有最優(yōu)性。這是隨機(jī)誤差抵償性的必然結(jié)果，按算術(shù)平均值原理處理等精度重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)可充分利用這一抵償性，從而使隨機(jī)誤差對(duì)最終結(jié)果的影響減小到最低限度。隨機(jī)誤差抵償性是算術(shù)平均值原理的基礎(chǔ)。272)殘差的定義及其性質(zhì)通常，被測(cè)量的真值是未知的，由測(cè)量誤差定義獲得的真誤差也是未知的，因而無(wú)法用測(cè)量的真誤差對(duì)測(cè)量的精度作出估計(jì)?？紤]到算術(shù)平均值接近于被測(cè)量X，定義

為測(cè)量數(shù)據(jù)xi的殘差(剩余誤差)。28更一般地，殘差的定義可推廣為式中，為X的估計(jì)量，可由包括算術(shù)平均值原理在內(nèi)的某一方法給出。

?xxvii-=29

殘差的性質(zhì)(1)殘差的代數(shù)和為零，即這一性質(zhì)常用于檢驗(yàn)所計(jì)算的算術(shù)平均值和殘差有無(wú)差錯(cuò)。

(2)殘差的平方和最小，即測(cè)量結(jié)果與其他量之差的平方和都比殘差平方和大，這一性質(zhì)與最小二乘法一致。303）標(biāo)準(zhǔn)差

在一個(gè)等精密度測(cè)量列中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差為：

而在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量次數(shù)是有限的，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)可用貝塞爾法進(jìn)行計(jì)算，即：31根據(jù)積分概率表可知，絕對(duì)值小于的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率約為0.68，而絕對(duì)值小于2和3的隨機(jī)誤差，出現(xiàn)的概率分別為0.95和0.997。由此可知，絕對(duì)值大于3的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率僅為0.027，即在370次測(cè)量中才可能出現(xiàn)一次。而在一般測(cè)量工作中，測(cè)量次數(shù)遠(yuǎn)小于370次，因此，如果出現(xiàn)絕對(duì)值大于3的誤差，就可以認(rèn)為，這個(gè)誤差屬于過(guò)失誤差。因此，可以把3作為區(qū)分隨機(jī)誤差和過(guò)失誤差的一種界限。32由于測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為估計(jì)量，故公式應(yīng)寫為

上式表明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為測(cè)量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的。因此，測(cè)量次數(shù)n越大，所得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，其可靠程度就越高。33（1）從標(biāo)準(zhǔn)差與測(cè)量次數(shù)n的關(guān)系曲線，圖中可以看出，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，增加測(cè)量次數(shù)，可明顯減小測(cè)量誤差；但當(dāng)測(cè)量的次數(shù)超過(guò)15～20次時(shí)，再增加測(cè)量次數(shù)，則測(cè)量誤差幾乎不變。注意：靠增加測(cè)量次數(shù)n來(lái)給出更高精度的結(jié)果是有一定限度的！34(2)測(cè)量次數(shù)n過(guò)大，不僅經(jīng)濟(jì)上耗費(fèi)大，而且測(cè)量時(shí)間增長(zhǎng)，易于因測(cè)量條件變化而引入新的誤差。(3)當(dāng)隨機(jī)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)誤差時(shí)，進(jìn)—步增大n已無(wú)實(shí)際意義，應(yīng)從減小系統(tǒng)誤差著手進(jìn)一步提高測(cè)量結(jié)果的精度。因此，測(cè)量次數(shù)的規(guī)定要適當(dāng)，應(yīng)顧及到實(shí)際效果，一般取n<10。在較高精度測(cè)量中，若以隨機(jī)誤差為主，并且測(cè)量條件較好，則測(cè)量次數(shù)可大些。352、系統(tǒng)誤差

1）系統(tǒng)誤差的分類

根據(jù)系統(tǒng)誤差特性的不同，

定值系統(tǒng)誤差

在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和方向始終保持不變。變值系統(tǒng)誤差

誤差的大小和方向按一定的規(guī)律變化。

①線性變化的系統(tǒng)誤差：誤差的大小隨時(shí)間線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差，稱為線性變化的系統(tǒng)誤差。②周期性變化的系統(tǒng)誤差：誤差的大小隨時(shí)間周期性交替變化的系統(tǒng)誤差，稱為周期性變化的系統(tǒng)誤差。③復(fù)雜的系統(tǒng)誤差：誤差按比較復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差362）系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

系統(tǒng)誤差的數(shù)值往往比較大，而且會(huì)直接影響測(cè)量的準(zhǔn)確度。因此必須消除或減小系統(tǒng)誤差。有時(shí)系統(tǒng)誤差不易查明，下面介紹兩種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法，即：

①殘差分析法②分布檢驗(yàn)法37①殘差分析法

測(cè)量列的殘差為：在隨機(jī)誤差小于系統(tǒng)誤差的情況下，的正負(fù)號(hào)將主要取決于變化的系統(tǒng)誤差。因此，根據(jù)殘差的符號(hào)，可以發(fā)現(xiàn)變化的系統(tǒng)誤差的存在。將測(cè)定值的殘差按測(cè)量順序列表或作圖以觀察系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。

若系統(tǒng)誤差的數(shù)值不超過(guò)隨機(jī)誤差,可采用下述的方法：

a.將殘差按測(cè)量的先后順序排列,如前一半殘差和與后一半殘差和之差顯著地不等于零,則該測(cè)量列包含累進(jìn)系統(tǒng)誤差。

b.在一個(gè)測(cè)量列中，如條件改變前測(cè)定值的殘差與條件改變后測(cè)定值的殘差和之差顯著地不等于零，則該測(cè)量列包含隨測(cè)量條件的改變而出現(xiàn)的固定的系統(tǒng)誤差。38

②分布檢驗(yàn)法

因?yàn)殡S機(jī)誤差服從正態(tài)分布，所以只包含隨機(jī)誤差的測(cè)定值也服從正態(tài)分布。如果發(fā)現(xiàn)測(cè)定值不服從正態(tài)分布，就有理由懷疑測(cè)定值中包含變化的系統(tǒng)誤差，這就是分布檢驗(yàn)法的基本思想。顯然，分布檢驗(yàn)法只適用于重復(fù)測(cè)量次數(shù)足夠多的情況。393）系統(tǒng)誤差的消除由于產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因非常復(fù)雜，消除系統(tǒng)誤差不可能有統(tǒng)一的方法,因此需根據(jù)具體情況，采取適當(dāng)?shù)拇胧?。消除系統(tǒng)誤差可從以下兩方面著手。防止系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生

采用完善的測(cè)量方法，正確地安裝、調(diào)整和使用測(cè)量?jī)x器、設(shè)備，保持穩(wěn)定的測(cè)量條件，防止外界的干擾等。對(duì)測(cè)定值引入更正值

在測(cè)量工作之前，對(duì)測(cè)量?jī)x器和設(shè)備進(jìn)行校正，取得儀器示值與準(zhǔn)確值之間的關(guān)系，確定各種修正公式、修正表或修正曲線，用修正的方法消除系統(tǒng)誤差。

403.過(guò)失誤差與異常數(shù)據(jù)的取舍

1）過(guò)失誤差與異常數(shù)據(jù)

過(guò)失誤差是由于在測(cè)量過(guò)程中某些突然發(fā)生的不正常因素（外界干擾、測(cè)量條件意外改變，測(cè)量者疏忽大意）所造成的、與其它大多數(shù)誤差相比明顯偏大的誤差。

在一個(gè)測(cè)量列中，可能出現(xiàn)個(gè)別過(guò)大或過(guò)小的測(cè)定值，這種包含巨大誤差的測(cè)定值，通常稱為異常數(shù)據(jù)。異常數(shù)據(jù)往往是由過(guò)失誤差引起的，也可能是由巨大的隨機(jī)誤差引起的。41

2）異常數(shù)據(jù)的取舍準(zhǔn)則

(1)來(lái)伊達(dá)準(zhǔn)則

萊伊達(dá)準(zhǔn)則是以隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律為根據(jù)的。對(duì)于某一測(cè)量列，如果各測(cè)量值僅含有隨機(jī)誤差，根據(jù)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律，其殘差v落在以外的概率僅有0.27％，可以認(rèn)為實(shí)際上是不可能發(fā)生的。因而，萊伊達(dá)準(zhǔn)則認(rèn)為：凡殘差超出，即

:視為過(guò)失誤差。由于在實(shí)際中測(cè)量次數(shù)有限，因此常用標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值代替。凡誤差超出者，便判斷為過(guò)失誤差，應(yīng)予以剔除。然后重新計(jì)算值，再次對(duì)誤差進(jìn)行判斷，直至剩下的測(cè)量值的殘差均小與3。必須注意：經(jīng)剔除含有過(guò)失誤差的異常數(shù)據(jù)后，要重新計(jì)算出其余數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，再作判別，直至完全剔除含有過(guò)失誤差的異常數(shù)據(jù)為止。42局限性①此準(zhǔn)則在測(cè)量數(shù)據(jù)較少時(shí)可靠性差。特別是,當(dāng)采用貝塞爾公式計(jì)算測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σ時(shí),若n≤10,則對(duì)任一數(shù)據(jù)工xi恒有此時(shí)該準(zhǔn)則無(wú)效②當(dāng)測(cè)量次數(shù)n不同時(shí),vk超出±3σ

的概率是不同的。此準(zhǔn)則沒(méi)有考慮這一差別,也沒(méi)有區(qū)別對(duì)可靠性的不同要求,因而比較粗糙。

43(2)、格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則1定義對(duì)某量進(jìn)行n次重復(fù)測(cè)量,得,設(shè)測(cè)量誤差服從正常分布,若某數(shù)據(jù)xk滿足下式,則認(rèn)為xk含有粗大誤差,應(yīng)剔除。

44式中:——數(shù)據(jù)xk的統(tǒng)計(jì)量,

——統(tǒng)計(jì)量的臨界值,它依測(cè)量次數(shù)n及顯著度而定,其值查表——顯著度，為判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率,值依具體問(wèn)題選擇。即當(dāng)xk滿足上式，但不含粗大誤差的概率為:

452優(yōu)點(diǎn)

該準(zhǔn)則克服了萊以特準(zhǔn)則的缺陷,在概率意義上給出較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)果,被認(rèn)為是較好的判斷準(zhǔn)則。46§4.4測(cè)量結(jié)果的表達(dá)

一·直接測(cè)量結(jié)果的表達(dá)

1.簡(jiǎn)單表達(dá)

測(cè)量工作的目的是要獲取被測(cè)量的數(shù)值。工程上常用測(cè)定值的算術(shù)平均值來(lái)近似地代替真值X，這時(shí)，測(cè)量結(jié)果可以表達(dá)為

這種表達(dá)方式常用于粗略的測(cè)量中，原因是測(cè)定值的算術(shù)平均值也存在隨機(jī)誤差。為此，需用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中區(qū)間估計(jì)的方法，求得被測(cè)參數(shù)的真實(shí)值在某個(gè)置信概率下的置信區(qū)間。47

2.測(cè)量次數(shù)較少時(shí)測(cè)量結(jié)果的表達(dá)

t分布反映了重復(fù)測(cè)量次數(shù)n較小時(shí)平均值誤差的分布規(guī)律，常用于估計(jì)重復(fù)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)的極限誤差。設(shè)少量的n次重復(fù)測(cè)量的一組測(cè)量值為；，，…，標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為：

測(cè)定值的算術(shù)平均值服從正態(tài)分布，即：L～N(X，),所以