測量誤差與數(shù)據(jù)處理

汽車傳感器與測試技術(shù)1第四章測量數(shù)據(jù)處理與誤差分析2▼被測量的真值和試驗(yàn)所得的給出值總存在一定的差異，這就是測量誤差。而誤差的存在使我們對客觀事物的認(rèn)識受到不同程度的歪曲，因此就必須進(jìn)行誤差分析。▼另一方面，一般原始的測試技術(shù)都是參差不齊的，需運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加以精選、加工，以求獲得可靠、真正反映事物內(nèi)在本質(zhì)的結(jié)論，這就是要進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

誤差分析和數(shù)據(jù)處理是判斷科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)測試結(jié)果質(zhì)量和水平的主要手段。3五數(shù)據(jù)處理三測量誤差的分析與處理二不確定度及其表征一測量誤差概述

本節(jié)主要內(nèi)容四測量結(jié)果的表達(dá)4§4.1

測量誤差概述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 期望值NO實(shí)驗(yàn)誤差測量絕對誤差=測得值—真值（示值誤差=儀器示值—真值）？1、測量誤差定義5注意：●“真值”是指被測量的客觀真實(shí)值。一 般來說這一客觀真值是未知的，僅 在一些特殊的場合真值才是已知的（ 如一些理論分析值）

●測量誤差的正負(fù)號

●量綱與被測量的量綱相同（１）理論真值：由理論公式計(jì)算所得結(jié)果（２）規(guī)定真值：由國際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量。（如一米是光在真空中于1/299792458秒時間內(nèi)所到之長度）（3）相對真值6絕對誤差很小示值誤差是儀表指示數(shù)值的絕對誤差；最大示值指該儀表測量范圍的上限；引用誤差的規(guī)定是便于儀器精度等級的評定當(dāng)允許誤差去掉百分號、正負(fù)號后的數(shù)字被稱為儀表的準(zhǔn)確度級，如）1、測量誤差定義7定義量綱相對誤差絕對誤差真值無反映測量效果絕對誤差測得值-真值有(與被測量相同)結(jié)果的實(shí)際誤差值81測量誤差是不可避免的，不同的是測量誤差的大小不同而已。2在一定的條件下，精確度的提高總要受到一定的限制。測量數(shù)據(jù)不可避免地會有一定的誤差，只要誤差在一定的范圍內(nèi)就認(rèn)為是正常的。3減小誤差的影響，提高測量精度4對測的結(jié)果的可靠性作出評定，即給出精確度的估計(jì)。2、測量誤差的普遍意義93測量誤差的分類測量誤差的來源對測量誤差的掌握程度測量誤差的特征規(guī)律裝置誤差已知誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差環(huán)境誤差方法誤差未知誤差人員誤差101）測量誤差的來源11系統(tǒng)誤差：在順次測量的系列測量結(jié)果中，其值固定不變或按某確定規(guī)律變化的誤差。確定的規(guī)律：①測量誤差具有確定的值；

②在相同的考察條件下，可重復(fù)表現(xiàn)；

③原則上可用函數(shù)的解析式，曲線或數(shù)表示；

④這一規(guī)律性并不一定確知；如：由于儀器標(biāo)度尺刻劃的不準(zhǔn)確；測量者觀察儀器指針時習(xí)慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統(tǒng)誤差的特性。12隨機(jī)誤差（偶然誤差）：在同一條件下對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量時，各測量數(shù)據(jù)的誤差或大或小，或正或負(fù)，其取值的大小沒有確定的規(guī)律性，是不可預(yù)知的。注意：●隨機(jī)誤差具有隨機(jī)變量的一切特征；

●不能通過“修正”的方法消除掉；

●用統(tǒng)計(jì)的方法做出估計(jì)；

如：由于儀器標(biāo)度尺刻劃的不準(zhǔn)確；測量者觀察儀器指針時習(xí)慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統(tǒng)誤差的特性。13粗大誤差（過失誤差）：超出正常范圍的大誤差。正常范圍：誤差的正常分布規(guī)律決定的分布范圍，只要誤差取值不超過這一正常的范圍，應(yīng)是允許的。粗大誤差是隨機(jī)的，但不同于隨機(jī)誤差，僅表現(xiàn)在數(shù)值大小上的差別，因此差別不明顯時，不太容易區(qū)分。一般粗大誤差是由測量中的失誤造成的。如：由于儀器標(biāo)度尺刻劃的不準(zhǔn)確；測量者觀察儀器指針時習(xí)慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統(tǒng)誤差的特性。144幾個術(shù)語：精密度：(precision)表述：概念：重復(fù)測量時，測量結(jié)果的分散性準(zhǔn)確度：表述：精確度：(正確度)測量結(jié)果與真值的接近程度，系統(tǒng)誤差的影響程度性質(zhì)：隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)性質(zhì)：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合影響程度平均值與真值的偏差(deviation)表述：不確定度(uncertainty)工程表示：引用誤差，最大允許誤差相對于儀表測量范圍地百分?jǐn)?shù)0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七級15經(jīng)過修正的測量結(jié)果仍有一定的誤差。誤差的或大或小，或正或負(fù)，其取值具有一定的分散性，即不確定性。在多次重復(fù)測量中，可看出測量結(jié)果將在某一范圍內(nèi)波動，從而展示了這種不確定性。測量結(jié)果可能的取值范圍越大，測量結(jié)果的可靠性越低；測量結(jié)果可能的取值范圍越小，測量結(jié)果的可靠性越高?！?.2不確定度及其表征參數(shù)16定義：與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，表征合理賦予的被測量之值的分散性。用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測量結(jié)果的不確定度。

1）．(測量)不確定度Uncenainty(ofmeasurement)

2）．標(biāo)準(zhǔn)不確定度(StandardUncenainty)1、定義：173）．合成標(biāo)準(zhǔn)不確定

當(dāng)結(jié)果由若干其他量得來時，測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于這些量的方差和協(xié)方差的適當(dāng)和的正平方根，這些方差是根據(jù)測量結(jié)果隨這些量的變化而變化情況進(jìn)行加權(quán)的。測量的不確定度表示由于存在測量誤差而是被測量值不能肯定的程度，它的大小表征測量結(jié)果的可信程度。182、測量不確定度的分類：按誤差性質(zhì)分類，分為系統(tǒng)分量的不確定度和隨機(jī)分量的不確定度兩類。按不確定度數(shù)值的估計(jì)方法分類，分為用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的不確定度和用其他方法估計(jì)的不確定度兩類。193、測量的不確定度與測量誤差的區(qū)別測量不確定度表示由于存在測量誤差而使被測量值不能肯定的程度，它是表征誤差對測量結(jié)果影響程度的參數(shù)，對于某一確定的測量方法來說，不確定度具有確定的值。測量誤差是指被測量的測得值與其相應(yīng)的真值之差，測量誤差取值具有不確定性并服從一定的分布。204、不確定廢的評定1）．(不確定廢的)A類評定

用對觀測列的統(tǒng)計(jì)分析進(jìn)行不確定度評定的方法。2）．(不確定廢的)B類評定

用不同于對觀測列的統(tǒng)計(jì)分析的其他方法進(jìn)行不確定度評定的方法。

21§4.3、測量誤差的分析與處理測量誤差的分析就是研究誤差的性質(zhì)與規(guī)律。①研究和確定過失誤差與隨機(jī)誤差之間的界限，以便舍棄那些含有過失誤差的測定值；②研究系統(tǒng)誤差的規(guī)律，尋找將系統(tǒng)誤差從隨機(jī)誤差中分離出來的方法，并設(shè)法消除其影響；③研究隨機(jī)誤差的規(guī)律，分析和確定測量的精密度；④從一系列測定值中求出最接近于被測參數(shù)真實(shí)值的測量結(jié)果。221、隨機(jī)誤差實(shí)踐表明，測試結(jié)果的隨機(jī)誤差大多服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

式中：——為測量誤差；

——均方根誤差。從圖可以看出，值愈小，正態(tài)分布密度曲線愈陡峭，幅值愈大，測量誤差??；反之，值愈大，曲線愈趨平坦，測量誤差大。231）算術(shù)平均值

設(shè)…，為n次等精度測量所得的值，其算術(shù)平均值為：

由于被測參數(shù)的真實(shí)值無法知道，因此在直接測量中常將測量列的算術(shù)平均值作為真值的估計(jì)值。24◆使用范圍對同一量進(jìn)行多次等精度重復(fù)測量而得到的數(shù)據(jù)的處理。所謂“等精度”是指各次測量的標(biāo)準(zhǔn)差相同，而并非指各測量數(shù)據(jù)具有相同的誤差。事實(shí)上，各測量數(shù)據(jù)的誤差并不相同?！魞?yōu)點(diǎn)測量的隨機(jī)誤差的影響是最小。具有一致性、無偏性和最優(yōu)性。25局限性1算術(shù)平均值仍為隨機(jī)變量，它不可能完全排除隨機(jī)誤差的影響，只是減小這一影響。2由于系統(tǒng)誤差不具有隨機(jī)抵償性，算術(shù)平均值原理的功效只是減小隨機(jī)誤差的影響。在一般情況下，不能指望通過取算術(shù)平均值減小系統(tǒng)誤差的影響。3算術(shù)平均值原理在提高精度的效果上是有限的.26無論測量誤差具有何種分布，只要具有對稱性，其數(shù)學(xué)期望就為零，以算術(shù)平均值作為被測量的估計(jì)量就具有最優(yōu)性。這是隨機(jī)誤差抵償性的必然結(jié)果，按算術(shù)平均值原理處理等精度重復(fù)測量數(shù)據(jù)可充分利用這一抵償性，從而使隨機(jī)誤差對最終結(jié)果的影響減小到最低限度。隨機(jī)誤差抵償性是算術(shù)平均值原理的基礎(chǔ)。272)殘差的定義及其性質(zhì)通常，被測量的真值是未知的，由測量誤差定義獲得的真誤差也是未知的，因而無法用測量的真誤差對測量的精度作出估計(jì)?？紤]到算術(shù)平均值接近于被測量X，定義

為測量數(shù)據(jù)xi的殘差(剩余誤差)。28更一般地，殘差的定義可推廣為式中，為X的估計(jì)量，可由包括算術(shù)平均值原理在內(nèi)的某一方法給出。

?xxvii-=29

殘差的性質(zhì)(1)殘差的代數(shù)和為零，即這一性質(zhì)常用于檢驗(yàn)所計(jì)算的算術(shù)平均值和殘差有無差錯。

(2)殘差的平方和最小，即測量結(jié)果與其他量之差的平方和都比殘差平方和大，這一性質(zhì)與最小二乘法一致。303）標(biāo)準(zhǔn)差

在一個等精密度測量列中，當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮大時，測量列的標(biāo)準(zhǔn)差為：

而在實(shí)際測量過程中，測量次數(shù)是有限的，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)可用貝塞爾法進(jìn)行計(jì)算，即：31根據(jù)積分概率表可知，絕對值小于的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率約為0.68，而絕對值小于2和3的隨機(jī)誤差，出現(xiàn)的概率分別為0.95和0.997。由此可知，絕對值大于3的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率僅為0.027，即在370次測量中才可能出現(xiàn)一次。而在一般測量工作中，測量次數(shù)遠(yuǎn)小于370次，因此，如果出現(xiàn)絕對值大于3的誤差，就可以認(rèn)為，這個誤差屬于過失誤差。因此，可以把3作為區(qū)分隨機(jī)誤差和過失誤差的一種界限。32由于測量的標(biāo)準(zhǔn)差為估計(jì)量，故公式應(yīng)寫為

上式表明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為測量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的。因此，測量次數(shù)n越大，所得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，其可靠程度就越高。33（1）從標(biāo)準(zhǔn)差與測量次數(shù)n的關(guān)系曲線，圖中可以看出，當(dāng)測量次數(shù)較少時，增加測量次數(shù)，可明顯減小測量誤差；但當(dāng)測量的次數(shù)超過15～20次時，再增加測量次數(shù)，則測量誤差幾乎不變。注意：靠增加測量次數(shù)n來給出更高精度的結(jié)果是有一定限度的！34(2)測量次數(shù)n過大，不僅經(jīng)濟(jì)上耗費(fèi)大，而且測量時間增長，易于因測量條件變化而引入新的誤差。(3)當(dāng)隨機(jī)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)誤差時，進(jìn)—步增大n已無實(shí)際意義，應(yīng)從減小系統(tǒng)誤差著手進(jìn)一步提高測量結(jié)果的精度。因此，測量次數(shù)的規(guī)定要適當(dāng)，應(yīng)顧及到實(shí)際效果，一般取n<10。在較高精度測量中，若以隨機(jī)誤差為主，并且測量條件較好，則測量次數(shù)可大些。352、系統(tǒng)誤差

1）系統(tǒng)誤差的分類

根據(jù)系統(tǒng)誤差特性的不同，

定值系統(tǒng)誤差

在整個測量過程中，誤差的大小和方向始終保持不變。變值系統(tǒng)誤差

誤差的大小和方向按一定的規(guī)律變化。

①線性變化的系統(tǒng)誤差：誤差的大小隨時間線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差，稱為線性變化的系統(tǒng)誤差。②周期性變化的系統(tǒng)誤差：誤差的大小隨時間周期性交替變化的系統(tǒng)誤差，稱為周期性變化的系統(tǒng)誤差。③復(fù)雜的系統(tǒng)誤差：誤差按比較復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差362）系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

系統(tǒng)誤差的數(shù)值往往比較大，而且會直接影響測量的準(zhǔn)確度。因此必須消除或減小系統(tǒng)誤差。有時系統(tǒng)誤差不易查明，下面介紹兩種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法，即：

①殘差分析法②分布檢驗(yàn)法37①殘差分析法

測量列的殘差為：在隨機(jī)誤差小于系統(tǒng)誤差的情況下，的正負(fù)號將主要取決于變化的系統(tǒng)誤差。因此，根據(jù)殘差的符號，可以發(fā)現(xiàn)變化的系統(tǒng)誤差的存在。將測定值的殘差按測量順序列表或作圖以觀察系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。

若系統(tǒng)誤差的數(shù)值不超過隨機(jī)誤差,可采用下述的方法：

a.將殘差按測量的先后順序排列,如前一半殘差和與后一半殘差和之差顯著地不等于零,則該測量列包含累進(jìn)系統(tǒng)誤差。

b.在一個測量列中，如條件改變前測定值的殘差與條件改變后測定值的殘差和之差顯著地不等于零，則該測量列包含隨測量條件的改變而出現(xiàn)的固定的系統(tǒng)誤差。38

②分布檢驗(yàn)法

因?yàn)殡S機(jī)誤差服從正態(tài)分布，所以只包含隨機(jī)誤差的測定值也服從正態(tài)分布。如果發(fā)現(xiàn)測定值不服從正態(tài)分布，就有理由懷疑測定值中包含變化的系統(tǒng)誤差，這就是分布檢驗(yàn)法的基本思想。顯然，分布檢驗(yàn)法只適用于重復(fù)測量次數(shù)足夠多的情況。393）系統(tǒng)誤差的消除由于產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因非常復(fù)雜，消除系統(tǒng)誤差不可能有統(tǒng)一的方法,因此需根據(jù)具體情況，采取適當(dāng)?shù)拇胧?。消除系統(tǒng)誤差可從以下兩方面著手。防止系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生

采用完善的測量方法，正確地安裝、調(diào)整和使用測量儀器、設(shè)備，保持穩(wěn)定的測量條件，防止外界的干擾等。對測定值引入更正值

在測量工作之前，對測量儀器和設(shè)備進(jìn)行校正，取得儀器示值與準(zhǔn)確值之間的關(guān)系，確定各種修正公式、修正表或修正曲線，用修正的方法消除系統(tǒng)誤差。

403.過失誤差與異常數(shù)據(jù)的取舍

1）過失誤差與異常數(shù)據(jù)

過失誤差是由于在測量過程中某些突然發(fā)生的不正常因素（外界干擾、測量條件意外改變，測量者疏忽大意）所造成的、與其它大多數(shù)誤差相比明顯偏大的誤差。

在一個測量列中，可能出現(xiàn)個別過大或過小的測定值，這種包含巨大誤差的測定值，通常稱為異常數(shù)據(jù)。異常數(shù)據(jù)往往是由過失誤差引起的，也可能是由巨大的隨機(jī)誤差引起的。41

2）異常數(shù)據(jù)的取舍準(zhǔn)則

(1)來伊達(dá)準(zhǔn)則

萊伊達(dá)準(zhǔn)則是以隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律為根據(jù)的。對于某一測量列，如果各測量值僅含有隨機(jī)誤差，根據(jù)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律，其殘差v落在以外的概率僅有0.27％，可以認(rèn)為實(shí)際上是不可能發(fā)生的。因而，萊伊達(dá)準(zhǔn)則認(rèn)為：凡殘差超出，即

:視為過失誤差。由于在實(shí)際中測量次數(shù)有限，因此常用標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值代替。凡誤差超出者，便判斷為過失誤差，應(yīng)予以剔除。然后重新計(jì)算值，再次對誤差進(jìn)行判斷，直至剩下的測量值的殘差均小與3。必須注意：經(jīng)剔除含有過失誤差的異常數(shù)據(jù)后，要重新計(jì)算出其余數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，再作判別，直至完全剔除含有過失誤差的異常數(shù)據(jù)為止。42局限性①此準(zhǔn)則在測量數(shù)據(jù)較少時可靠性差。特別是,當(dāng)采用貝塞爾公式計(jì)算測量標(biāo)準(zhǔn)差σ時,若n≤10,則對任一數(shù)據(jù)工xi恒有此時該準(zhǔn)則無效②當(dāng)測量次數(shù)n不同時,vk超出±3σ

的概率是不同的。此準(zhǔn)則沒有考慮這一差別,也沒有區(qū)別對可靠性的不同要求,因而比較粗糙。

43(2)、格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則1定義對某量進(jìn)行n次重復(fù)測量,得,設(shè)測量誤差服從正常分布,若某數(shù)據(jù)xk滿足下式,則認(rèn)為xk含有粗大誤差,應(yīng)剔除。

44式中:——數(shù)據(jù)xk的統(tǒng)計(jì)量,

——統(tǒng)計(jì)量的臨界值,它依測量次數(shù)n及顯著度而定,其值查表——顯著度，為判斷出現(xiàn)錯誤的概率,值依具體問題選擇。即當(dāng)xk滿足上式，但不含粗大誤差的概率為:

452優(yōu)點(diǎn)

該準(zhǔn)則克服了萊以特準(zhǔn)則的缺陷,在概率意義上給出較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)果,被認(rèn)為是較好的判斷準(zhǔn)則。46§4.4測量結(jié)果的表達(dá)

一·直接測量結(jié)果的表達(dá)

1.簡單表達(dá)

測量工作的目的是要獲取被測量的數(shù)值。工程上常用測定值的算術(shù)平均值來近似地代替真值X，這時，測量結(jié)果可以表達(dá)為

這種表達(dá)方式常用于粗略的測量中，原因是測定值的算術(shù)平均值也存在隨機(jī)誤差。為此，需用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中區(qū)間估計(jì)的方法，求得被測參數(shù)的真實(shí)值在某個置信概率下的置信區(qū)間。47

2.測量次數(shù)較少時測量結(jié)果的表達(dá)

t分布反映了重復(fù)測量次數(shù)n較小時平均值誤差的分布規(guī)律，常用于估計(jì)重復(fù)測量次數(shù)較少時的極限誤差。設(shè)少量的n次重復(fù)測量的一組測量值為；，，…，標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為：

測定值的算術(shù)平均值服從正態(tài)分布，即：L～N(X，),所以