高中集合,概念數(shù)學(xué)教案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高中集合,概念數(shù)學(xué)教案

目標(biāo)：（1）使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其記法

（2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義

（3）使學(xué)生初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義

重點(diǎn)：集合的根本概念

教學(xué)過(guò)程：

1．引入

（1）章頭導(dǎo)言

（2）集合論與集合論的創(chuàng)始者康托爾（有關(guān)介紹可引用附錄中的內(nèi)容）

2．講授新課

閱讀教材，并斟酌以下問(wèn)題：

（1）有那些概念？

（2）有那些符號(hào)？

（3）集合中元素的特性是什么？

（4）如何給集合分類?

（一）有關(guān)概念:

1、集合的概念

（1）對(duì)象：我們可以感覺(jué)到的客觀存在以及我們思想中的事物或抽象符號(hào)，都可以稱作對(duì)象.

（2）集合：把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合.

（3）元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.

集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如a、b、c、……

2、元素與集合的關(guān)系

（1）屬于：假設(shè)a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A

（2）不屬于：假設(shè)a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作

要留神“∈”的方向，不能把a(bǔ)∈A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě).

3、集合中元素的特性

（1）確定性：給定一個(gè)集合，任何對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的了.

（2）互異性：集合中的元素確定是不同的.

（3）無(wú)序性：集合中的元素沒(méi)有固定的依次.

4、集合分類

根據(jù)集合所含元素個(gè)屬不同，可把集合分為如下幾類：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф

（2）含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集

（3）含有無(wú)窮個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集

注：應(yīng)區(qū)分，，，0等符號(hào)的含義

5、常用數(shù)集及其表示方法

（1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合.記作N

（2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)擯棄0的集.記作N*或N+

（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合.記作Z

（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合.記作Q

（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合.記作R

注：（1）自然數(shù)集包括數(shù)0.

（2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)擯棄0的集.記作N*或N+，Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)擯棄0的集，也這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)擯棄0的集，表示成Z*

課堂練習(xí)：教材第5頁(yè)練習(xí)A、B

小結(jié)：本節(jié)課我們了解集合論的進(jìn)展，學(xué)習(xí)了集合的概念及有關(guān)性質(zhì)

課后作業(yè)：第十頁(yè)習(xí)題1-1B第3題

附錄：

集合論的誕生

集合論是德國(guó)出名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中展現(xiàn)了一門新的分支：微積分.在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速進(jìn)展并結(jié)出了豐碩成果.其推進(jìn)速度之快使人來(lái)不及檢查和穩(wěn)定它的理論根基.十九世紀(jì)初，大量迫切問(wèn)題得到解決后，展現(xiàn)了一場(chǎng)重建數(shù)學(xué)根基的運(yùn)動(dòng).正是在這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中，康托爾開(kāi)頭探討了前人從未碰過(guò)的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論研究的開(kāi)端.到1874年康托爾開(kāi)頭一般地提出“集合”的概念.他對(duì)集合所下的定義是：把若干確定的有識(shí)別的（不管是概括的或抽象的）事物合并起來(lái)，看作一個(gè)整體，就稱為一個(gè)集合，其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.

康托爾的不朽功績(jī)

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲曷宸蛟u(píng)價(jià)康托爾的工作時(shí)說(shuō)：“康托爾的不朽功績(jī)?cè)谟谒驘o(wú)窮的冒險(xiǎn)邁進(jìn)”.因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對(duì)無(wú)窮的研究中到底做出了些什么結(jié)論后才會(huì)真正明白他工作的價(jià)值之所在和眾多反對(duì)之聲之由來(lái).

數(shù)學(xué)與無(wú)窮有著不解之緣，但在研究無(wú)窮的道路上卻布滿了陷阱.由于這一理由，在數(shù)學(xué)進(jìn)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們始終以一種質(zhì)疑的眼光對(duì)付無(wú)窮，并盡可能回避這一概念.但試圖把握無(wú)限的康托爾卻大膽地踏上了這條彌漫陷阱的不歸路.他把無(wú)窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開(kāi)墾的處女地，開(kāi)發(fā)出一個(gè)奇異無(wú)比的新世界.對(duì)無(wú)窮集的研究使他開(kāi)啟了“無(wú)限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子.下面就讓我們來(lái)看一下盒子開(kāi)啟后他釋放出的是什么.

“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱作自然數(shù)集，用字母N來(lái)表示.”學(xué)過(guò)集合那一章后，同學(xué)們理應(yīng)對(duì)這句話不會(huì)感到目生.但同學(xué)們?cè)诓杉{這句話時(shí)根本無(wú)法想到當(dāng)年康托爾如此做時(shí)是在舉行一項(xiàng)更新無(wú)窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延遲著的，一種變化著成長(zhǎng)著的東西來(lái)解釋.無(wú)限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在.這種關(guān)于無(wú)窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無(wú)限.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).用他的話說(shuō)，就是“……我反對(duì)將無(wú)窮量作為一個(gè)實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來(lái)不允許的.所謂無(wú)窮，只是一種說(shuō)話的方式……”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí)，他是把無(wú)限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西，這樣他就斷定了作為完成整體的無(wú)窮，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無(wú)限思想.由于潛無(wú)限思想在微積分的根基重建中已經(jīng)獲得了全面告成，康托爾的實(shí)無(wú)限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊是無(wú)足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，持續(xù)正面探討無(wú)窮.他在實(shí)無(wú)限觀念根基上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人昂揚(yáng)的、意義特別深遠(yuǎn)的理論.這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的特殊的無(wú)限世界.

最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對(duì)無(wú)窮集元素個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究.他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)那么來(lái)對(duì)比無(wú)窮集元素的個(gè)數(shù).他把元素間能建立一一對(duì)應(yīng)的集合稱為個(gè)數(shù)一致，用他自己的概念是等勢(shì).由于一個(gè)無(wú)窮集可以與它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)??例宛如學(xué)們很輕易察覺(jué)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系??也就是說(shuō)無(wú)窮集可以與它的真子集等勢(shì)，即具有一致的個(gè)數(shù).這與傳統(tǒng)觀念“全體大于片面”相沖突.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無(wú)窮集的特征.在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了一致的個(gè)數(shù)，他將其稱為可數(shù)集.又可輕易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來(lái)當(dāng)他又證領(lǐng)略代數(shù)數(shù)集合也是可數(shù)集時(shí)，一個(gè)很自然的想法是無(wú)窮集是清一色的，都是可數(shù)集.但出乎意料的是，他在1873年證領(lǐng)略實(shí)數(shù)集的勢(shì)大于自然數(shù)集.這不但意味著無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且鮮明浩瀚的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，宛如有人描述的那樣：“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空那么由超越數(shù)構(gòu)成.”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時(shí)，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個(gè)而已.這是何等令人恐懼的結(jié)果！然而，事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)開(kāi)啟就無(wú)法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個(gè)無(wú)窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識(shí)到無(wú)窮集之間存在著區(qū)別，有著不同的數(shù)量級(jí)，可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在全體的無(wú)窮集之間還存在著無(wú)窮多個(gè)層次.他取得了告成，并且根據(jù)無(wú)窮性有無(wú)窮種的學(xué)說(shuō)，對(duì)各種不同的無(wú)窮大建立了一個(gè)完整的序列，他稱為“超限數(shù)”.他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母“阿列夫”來(lái)表示超限數(shù)的精靈，最終他建立了關(guān)于無(wú)限的所謂阿列夫譜系

它可以無(wú)限延長(zhǎng)下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無(wú)限王國(guó)的完整圖景.可以想見(jiàn)這種至今讓我們還感到有些異想天開(kāi)的結(jié)論在當(dāng)時(shí)會(huì)如何震撼數(shù)學(xué)家們的心靈了.毫不夸誕地講，康托爾的關(guān)于無(wú)窮的這些理論，引起了反對(duì)派的不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對(duì)他的理論.有人諷刺集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”，稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”.作為對(duì)傳統(tǒng)觀念的一次大革新，由于他開(kāi)創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域，提出又回復(fù)了前人不曾想到的問(wèn)題，他的理論受到強(qiáng)烈地批駁是正常的.當(dāng)回頭看這段歷史時(shí)，或許我們可以把對(duì)他的反對(duì)看作是對(duì)他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種贊揚(yáng)吧.

公理化集合論的建立

集合論提出伊始，曾遭到許多數(shù)學(xué)家的強(qiáng)烈反對(duì)，康托爾本人一度成為這一強(qiáng)烈論爭(zhēng)的犧牲品.在猛烈的攻擊下與過(guò)度的用腦斟酌中，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰.然而集合論前后體驗(yàn)二十余年，最終獲得了世界公認(rèn).到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同.數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論根基上的前景而迷醉了.他們樂(lè)觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)啟程，借助集合論的概念，便可以建立起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈.在1900年其次次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，出名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了.今天，我們可以說(shuō)十足的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)成了.”然而這種自滿的心緒并沒(méi)能持續(xù)多久.不久，集合論是有漏洞的消息急速傳遍了數(shù)學(xué)界.這就是1902年羅素得出的羅素悖論.羅素構(gòu)造了一個(gè)全體不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R.現(xiàn)在問(wèn)R是否屬于R？假設(shè)R屬于R，那么R得志R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R；另一方面，假設(shè)R不屬于R，那么R不得志R的定義，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬于R.這樣，不管何種處境都存在著沖突.這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最根本概念的悖論如此簡(jiǎn)樸領(lǐng)略以致根本留不下為集合論漏洞辯護(hù)的余地.十足嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相沖突之中.這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī).危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去.1908年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)提升形成無(wú)沖突的集合論公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱ZF公理系統(tǒng).原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理根基之上，從而制止了悖論的展現(xiàn).這就是集合論進(jìn)展的其次個(gè)階段：公理化集合論.與此相對(duì)應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為簡(jiǎn)樸集合論.公理化集合論是對(duì)簡(jiǎn)樸集合論的嚴(yán)格處理.它留存了簡(jiǎn)樸集合論的有價(jià)值的成果并消釋了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī).公理化集合論的建立，標(biāo)志著出名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的告成，他大聲疾呼：沒(méi)有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂(lè)園中趕出去.從康托爾提出集合論至今，時(shí)間已經(jīng)過(guò)去了一百多年，在這一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對(duì)上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步進(jìn)展的模糊集合論的展現(xiàn)等等.而這一切都是與康托爾的開(kāi)拓性工作分不開(kāi)的.因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的付出時(shí)，我們依舊可以引用當(dāng)時(shí)出名數(shù)學(xué)家對(duì)他的集合論的評(píng)價(jià)作為我們的總結(jié).

它是對(duì)無(wú)限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一.

超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性