新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練思想01 運(yùn)用分類討論的思想方法解題（精講精練）（解析版）

思想01運(yùn)用分類討論的思想方法解題【命題規(guī)律】高考命題中，以知識(shí)為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．高考試題一是著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，二是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識(shí)，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：由情境的規(guī)則引起的分類討論核心考點(diǎn)二：由定義引起的分類討論核心考點(diǎn)三：由平面圖形的可變性引起的分類討論核心考點(diǎn)四：由變量的范圍引起的分類討論核心考點(diǎn)五：由空間圖形的可變性引起的分類討論【真題回歸】1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)已知SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上不同的三點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．證明：（?。┤鬝KIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（注：SKIPIF1<0是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（1）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的減區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0.（2）（?。┮?yàn)檫^(guò)SKIPIF1<0有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0有3個(gè)不同的根，該方程可整理為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，因?yàn)镾KIPIF1<0有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，同（?。┲杏懻摽傻茫汗蔛KIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0即為：SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0有三個(gè)不同的根，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要證：SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故即證：SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0即證：SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故原不等式得證：2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求a的取值范圍；(3)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的減區(qū)間為SKIPIF1<0，增區(qū)間為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，與題設(shè)矛盾.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，下證：對(duì)任意SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0成立，證明：設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0成立.由上述不等式有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0總成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，所以SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0.（3）取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立.所以對(duì)任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故不等式成立.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；所以SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；又SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0僅在SKIPIF1<0有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；此時(shí)SKIPIF1<0，由（1）得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有一個(gè)零點(diǎn)，在SKIPIF1<0無(wú)零點(diǎn)，所以SKIPIF1<0有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為SKIPIF1<0.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)被研究的問(wèn)題出現(xiàn)多種情況且綜合考慮無(wú)法深入時(shí)，我們通常將可能出現(xiàn)的所有情況分別進(jìn)行討論，得出每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這就是分類討論的思想，包含分類與整合兩部分，既化整為零，各個(gè)擊破，又集零為整．基本步驟是：（1）研究討論的必要性，確定討論對(duì)象；（2）確定分類依據(jù)，并按標(biāo)準(zhǔn)分類；（3）逐類解決，獲得各類的結(jié)果；（4）歸納整合，得到結(jié)果．分類的基本原則是：（1）標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；（2）層次明晰，不混不亂．分類討論應(yīng)用的熱點(diǎn)：（1）由概念、定義、公式、定理、性質(zhì)等引起的分類討論，如直線的斜率是否存在，冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列的公比是否為等．（2）由數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則引起的分類討論，如除法運(yùn)算中分母不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，不等式兩邊同乘（除）以一個(gè)數(shù)（式）的符號(hào)等．（3）由變量的范圍引起的分類討論，如對(duì)數(shù)的真數(shù)與底數(shù)的范圍，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的范圍，函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)性受參變量的影響等．（4）由圖形的可變性引起的分類討論，如圖形類型、位置，點(diǎn)所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的規(guī)則引起的分類討論，情境問(wèn)題的規(guī)則在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常需要分類討論思想，如體育比賽的規(guī)則等．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：由情境的規(guī)則引起的分類討論【典型例題】例1．多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．若選項(xiàng)中有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)SKIPIF1<0至少選擇一個(gè)選項(xiàng)SKIPIF1<0所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的可能情況為0，3，5選擇的情況共有：SKIPIF1<0種；，，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的可能情況為0，3，5選擇的情況共有：SKIPIF1<0種；，，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的可能情況為3，5選擇的情況共有：SKIPIF1<0種；，，所以對(duì)于AB：，，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD：，，所以，故CD錯(cuò)誤；故選：B例2．甲、乙、丙、丁進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：第一輪：甲和乙進(jìn)行比賽，同時(shí)丙和丁進(jìn)行比賽，兩個(gè)獲勝者進(jìn)入勝者組，兩個(gè)敗者進(jìn)入敗者組；第二輪：勝者組進(jìn)行比賽，同時(shí)敗者組進(jìn)行比賽，敗者組中失敗的選手淘汰；第三輪：敗者組的勝者與勝者組的敗者進(jìn)行比賽，失敗的選手淘汰；第四輪：第三輪中的勝者與第二輪中勝者組的勝者進(jìn)行決賽，勝者為冠軍．已知甲與乙、丙、丁比賽，甲的勝率分別為SKIPIF1<0；乙與丙、丁比賽，乙的勝率分別為SKIPIF1<0；丙與丁比賽，丙的勝率為SKIPIF1<0任意兩場(chǎng)比賽之間均相互獨(dú)立．SKIPIF1<0求丙在第二輪被淘汰的概率；SKIPIF1<0在丙在第二輪被淘汰的條件下，求甲所有比賽全勝并獲得冠軍的概率．【解析】解：SKIPIF1<0若丙在第二輪被淘汰，則根據(jù)規(guī)則，第一輪中丙和丁比賽，丙為敗者的概率為SKIPIF1<0，而甲與乙比賽的敗者分兩種情況，若第二輪甲進(jìn)入敗者組，其概率為SKIPIF1<0，則第二輪丙被淘汰的概率SKIPIF1<0；若第二輪乙進(jìn)入敗者組，其概率為SKIPIF1<0，第二輪丙被淘汰的概率SKIPIF1<0故丙在第二輪被淘汰的概率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0第一輪甲與乙比賽中，甲獲勝進(jìn)入勝者組的概率為SKIPIF1<0，并且與丁進(jìn)行第二輪比賽，第二輪勝者組比賽甲獲勝的概率為SKIPIF1<0，丁與乙進(jìn)行第三輪比賽，故分兩種情況，若第三輪乙獲勝，乙獲勝的概率為SKIPIF1<0，甲與乙進(jìn)行決賽，甲獲勝的概率為SKIPIF1<0，此時(shí)甲獲得冠軍的概率為SKIPIF1<0；若第三輪丁獲勝，丁獲勝的概率為SKIPIF1<0，甲、丁進(jìn)行決賽，甲獲勝的概率為SKIPIF1<0，此時(shí)甲獲得冠軍的概率為SKIPIF1<0設(shè)“丙在第二輪被淘汰”為事件A，“甲所有比賽全勝并獲得冠軍”為事件B，則SKIPIF1<0例3．一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；SKIPIF1<0設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：SKIPIF1<0的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0根據(jù)你的理解說(shuō)明SKIPIF1<0問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)，因?yàn)镾KIPIF1<0，故，若，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若SKIPIF1<0，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故1為SKIPIF1<0的一個(gè)最小正實(shí)根，若SKIPIF1<0，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為SKIPIF1<0的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則SKIPIF1<0若，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)p，且SKIPIF1<0所以p為SKIPIF1<0的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)SKIPIF1<0，故當(dāng)時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代后必然臨近滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后還有繼續(xù)繁殖的可能．核心考點(diǎn)二：由定義引起的分類討論【典型例題】例4．已知數(shù)列滿足SKIPIF1<0求數(shù)列的通項(xiàng)公式；SKIPIF1<0求數(shù)列的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0因?yàn)椋援?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，，故，則；經(jīng)檢驗(yàn)：SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；綜上：例5．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；SKIPIF1<0若求數(shù)列SKIPIF1<0的前15項(xiàng)的和．【解析】解：SKIPIF1<0由題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的前15項(xiàng)和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例6．已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，n的值等于（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是一個(gè)以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值．故選：SKIPIF1<0核心考點(diǎn)三：由平面圖形的可變性引起的分類討論【典型例題】例7．SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0求角SKIPIF1<0SKIPIF1<0若AC邊上的點(diǎn)D滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【解析】解：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0化簡(jiǎn)可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩邊平方得：SKIPIF1<0③在SKIPIF1<0中，由余弦定理：SKIPIF1<0化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0④，由③④可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例8．若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)t的所有可能的值為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，看成有且僅有三條直線滿足SKIPIF1<0和SKIPIF1<0到直線不過(guò)原點(diǎn)SKIPIF1<0的距離t相等．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，此時(shí)易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線SKIPIF1<0以及直線AB平行的兩條直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有4條直線l會(huì)使得點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0到它們的距離相等，注意到l不過(guò)原點(diǎn)，所以當(dāng)其中一條直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，會(huì)作為增根被舍去．設(shè)點(diǎn)A到l的距離為d，①作為增根被舍去的直線l，過(guò)原點(diǎn)和A，B的中點(diǎn)SKIPIF1<0，其方程為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，符合；②作為增根被舍去的直線l，過(guò)原點(diǎn)且以SKIPIF1<0為方向向量，其方程為SKIPIF1<0，此時(shí)，SKIPIF1<0，符合；綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)t為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例9．過(guò)雙曲線C：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)SKIPIF1<0已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0或2【解析】若SKIPIF1<0在y軸的同側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限，如圖，設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的圓心為M，則M在SKIPIF1<0的平分線Ox上，過(guò)M分別作SKIPIF1<0于N，SKIPIF1<0于T，由SKIPIF1<0得四邊形MTAN為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限，如圖，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0核心考點(diǎn)四：由變量的范圍引起的分類討論【典型例題】例10．已知函數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)．SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)；SKIPIF1<0求證：有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．【解析】SKIPIF1<0證明：設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零點(diǎn)SKIPIF1<0，所以命題得證，SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一的極大值點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也恰有一個(gè)零點(diǎn)，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上沒(méi)有零點(diǎn)．SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上沒(méi)有零點(diǎn)．綜上，SKIPIF1<0有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．例11．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．SKIPIF1<0確定a的值，并討論函數(shù)的極值點(diǎn)：SKIPIF1<0設(shè)，若當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】解：SKIPIF1<0因?yàn)閳D象過(guò)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；②當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，則存在唯一的SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為例12．已知函數(shù)SKIPIF1<0是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，試討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．SKIPIF1<0參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，定義域?yàn)镽，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0解：由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即SKIPIF1<0在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．SKIPIF1<0，，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，此時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上僅有一個(gè)零點(diǎn)；②若SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當(dāng)、時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由零點(diǎn)存在性定理可得，SKIPIF1<0在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即此時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)零點(diǎn)．核心考點(diǎn)五：由空間圖形的可變性引起的分類討論【典型例題】例13．正方體SKIPIF1<0棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上SKIPIF1<0含端點(diǎn)SKIPIF1<0，以下結(jié)論不正確的為（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0B．過(guò)P，B，SKIPIF1<0三點(diǎn)若可作正方體的截面，則截面圖形為三角形或平面四邊形C．當(dāng)點(diǎn)P和SKIPIF1<0重合時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積為SKIPIF1<0D．直線PD與面SKIPIF1<0所成角的正弦值的范圍為SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P到平面SKIPIF1<0的距離等于點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A對(duì)；對(duì)于B，①當(dāng)P，SKIPIF1<0重合時(shí)，過(guò)P，B，SKIPIF1<0三點(diǎn)作正方體的截面，則所得的截面圖形為平面四邊形SKIPIF1<0②當(dāng)P為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)，即P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)P，B，SKIPIF1<0三點(diǎn)作正方體的截面，則所得的截面圖形為三角形SKIPIF1<0，B對(duì)；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P與SKIPIF1<0重合時(shí)，此時(shí)三棱錐為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為O，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，其半徑為SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積為SKIPIF1<0，C對(duì)；對(duì)于D，由A知，設(shè)點(diǎn)P到平面SKIPIF1<0的距離為h，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)P，SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，當(dāng)P，SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，設(shè)直線PD與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，D錯(cuò)．故選SKIPIF1<0例14．兩條異面直線a，b所成的角為SKIPIF1<0，在直線a，b上分別取點(diǎn)A，E和點(diǎn)B，F(xiàn)，使SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段AB的長(zhǎng)為（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知得SKIPIF1<0，兩邊平方可得SKIPIF1<0……①，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，異面直線a與b所成的角為SKIPIF1<0，所以EA，BF所成的角為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①式得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，代入上式可得舍去SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，代入上式可得，故AB的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0故選SKIPIF1<0例15．（多選題）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為垂足點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若AD的長(zhǎng)為定值，則該三棱錐外接球的半徑也為定值B．若AC的長(zhǎng)為定值，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑也為定值C．若BD的長(zhǎng)為定值，則EF的長(zhǎng)也為定值D．若CD的長(zhǎng)為定值，則SKIPIF1<0的值也為定值【答案】ACD【解析】對(duì)于A，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，易知該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，所以AD為外接球的直徑2R，所以該三棱錐外接球的半徑也為定值，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)镾KIPIF1<0平面BCD，CD，SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0平面ABC，因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，假設(shè)內(nèi)切球的球心為O，第一種情況不妨假設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0第二種情況不妨假設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上所述，當(dāng)AC的長(zhǎng)為定值，三棱錐內(nèi)切球的半徑不為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C和D，以C點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，假設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镋在AC上，所以設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)BD的長(zhǎng)為定值時(shí)，EF的長(zhǎng)也為定值；當(dāng)CD的長(zhǎng)為定值，則SKIPIF1<0的值也為定值，故C，D正確，故選：ACD【新題速遞】一、單選題1．已知SKIPIF1<0為奇函數(shù)，且在上是遞增的，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】SKIPIF1<0是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0內(nèi)是增函數(shù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)是增函數(shù)，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0故選SKIPIF1<02．已知函數(shù)若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意知，SKIPIF1<0圖象的對(duì)稱軸方程為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，一定存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，由題意知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合題意．綜上所述，SKIPIF1<03．已知角SKIPIF1<0的終邊上一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上答案都不對(duì)【答案】C【解析】由已知可得角SKIPIF1<0的終邊在第二或第四象限，當(dāng)角SKIPIF1<0是第二象限角時(shí)，在其終邊上取點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由三角函數(shù)的定義得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當(dāng)角SKIPIF1<0是第四象限角時(shí)，在其終邊上取點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由三角函數(shù)的定義得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<04．已知函數(shù)SKIPIF1<0是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】①SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)；SKIPIF1<0在R上是增函數(shù)；顯然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不是增函數(shù)；SKIPIF1<0的情況不存在；②SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<