高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 課時作業(yè)(四)

課時作業(yè)(四)誘導(dǎo)公式(一)、三角函數(shù)線A組基礎(chǔ)鞏固1．點P(tan2023°，sin2023°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：∵2023°＝5×360°＋212°∴tan2023°＝tan212°＞0sin2023°＝sin212°＜0，∴點(tan2023°，sin2023°)在第四象限．答案：D2．已知角α的正弦線和余弦線是符號相反、長度相等的有向線段，則α的終邊在()A．第一象限的角平分線上B．第四象限的角平分線上C．第二、四象限的角平分線上D．第一、三象限的角平分線上解析：由條件知sinα＝－cosα，α的終邊應(yīng)在第二、四象限的角平分線上．答案：C3．若α是第一象限角，則sinα＋cosα的值與1的大小關(guān)系是()A．sinα＋cosα＞1B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα＜1D．不能確定解析：作出α的正弦線和余弦線，由三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)可知sinα＋cosα＞1.答案：A4．在[0,2π]上滿足sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范圍是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))解析：可以直接用特殊角來驗證．取x＝eq\f(π,6)，則sinx＝eq\f(1,2)≥eq\f(1,2)成立，故排除D；再取x＝eq\f(π,2)，則sinx＝1≥eq\f(1,2)成立，排除A；再取x＝eq\f(5π,6)，則sinx＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)≥eq\f(1,2)成立，故選B.答案：B5．設(shè)a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，則有()A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a(chǎn)＜c＜b解析：如圖作出角α＝－1rad的正弦線、余弦線及正切線，顯然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.答案：C6．在(0,2π)內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5,4)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,4)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)π，\f(3,2)π))解析：如圖，當(dāng)eq\f(π,4)＜α＜eq\f(5π,4)時，sinα＞cosα，故選C.答案：C\a\vs4\al(2023·福建三明市高一月考)若角420°的終邊上有一點(4，－a)，則a的值是()A．4eq\r(3)B．－4eq\r(3)C．±4eq\r(3)\r(3)解析：由題意，得tan420°＝－eq\f(a,4)，即tan60°＝－eq\f(a,4)，解得a＝－4eq\r(3)，故選B.答案：B\r(sin2120°)等于()A．±eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(1,2)解析：eq\r(sin2120°)＝|sin120°|＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，故選B.答案：B9．不等式tanα＋eq\f(\r(3),3)＞0的解集是__________．解析：不等式的解集如圖所示(陰影部分)，∴不等式tanα＋eq\f(\r(3),3)＞0的解集是{α|kπ－eq\f(π,6)＜α＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．答案：{α|kπ－eq\f(π,6)＜α＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}10．在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解析：(1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A、B，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖1陰影部分)，即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．圖1(2)作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C、D，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖2陰影部分)，即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z}．圖2B組能力提升\a\vs4\al(2023·安徽蚌埠市高一期末)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\f(πx,3)，x≤2014，,fx－4，x＞2014，))則f(2015)等于()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)解析：f(2015)＝f(2015－4)＝f(2011)＝sineq\f(2011π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(670×3π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故選D.答案：D\a\vs4\al(2023·山西廣靈一中高一期末)如果cosα＝eq\f(m＋4,4\r(m))有意義，那么m的取值范圍是()A．m＜4B．m＝4C．m＞4D．m≠4解析：∵－1≤cosα≤1，∴－1≤eq\f(m＋4,4\r(m))≤1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋42,16m)≤1,m＞0))?(m－4)2≤0，∴m＝4，故選B.答案：B13．設(shè)θ是第二象限角，試比較sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大小．解析：∵θ是第二象限角，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜θ＜2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(θ,2)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．作出eq\f(θ,2)所在范圍如圖所示．當(dāng)2kπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(θ,2)＜2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，coseq\f(θ,2)＜sineq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).當(dāng)2kπ＋eq\f(5π,4)＜eq\f(θ,2)＜2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)時，sineq\f(θ,2)＜coseq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).14．求函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))的定義域．解析：由題意，自變量x應(yīng)滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)＞0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞\f(\r(2),2)，,cosx≤\f(1,2).))則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示，∴{x|2kπ＋eq\f(π,3)≤x＜2kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z}．\a\vs4\al(附加題·選做)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，利用三角函數(shù)線證明：sinα＜α＜tanα.證明：如圖所示，在直角坐標(biāo)系中作出單位圓，α的終邊與單位圓交于P，α的正弦線、正切線為有向線段MP，AT，則MP＝sinα，AT＝tanα.因為S△A