2020數(shù)學三真題答案

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2020全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題及解析一、選擇題：小每小題4分,共．下列每題給出的四個選項只有一個選項是符合題目要求的．(1)lima

f(x)sinf()a，則limxxax

)(A).baa(C).bsinf(a)bcosf(a)【答案】B【解析】limx

sinf()af()af(f(x)cosf()xfx設fx)，則lima

f(x)sina=limf(xu()u

cos

u(a)

cosf(a)則lim

sinf)sinf(x)f()sin(x)f()limlimxf(x)a(x)x=a(2)數(shù)f()(A).1

eex2)

）2

x(C).34【答案】C【解析】本題考查的是第一類間斷點與第二類間斷點的定義，判斷間斷點及類型的一般步驟為：找無定義的點（無意義的點）求該點的左極限按間斷點的定義判定。第二類間斷點的定義為

f(),f()0

至少有一個不存在，很顯然

f(x)

不存在的點為xxx

。在limf(x)limf(x)xx在處，f(x)limf()=0

1e

；在，lime

，e

f)，limf(x)x1x1在x處，limf()f(x)+x

2

所以，第二類間斷點為3。(3)對奇函數(shù)

f(在

上有連續(xù)導數(shù)，則()(A).

x

f(t)

是奇函數(shù)0(B).

x

f(t)

是偶函數(shù)0(C).

x

f

(t)

是奇函數(shù)0f(t)0【答案】：A

是偶函數(shù)【解析】f(x)

為奇函數(shù)，則其導數(shù)f

為偶函數(shù)，又x偶函數(shù)，則cosf)f()

，則f(x)

為偶函數(shù)，cos(

為偶函數(shù)，以03

的收斂區(qū)間為(2,6)的收斂區(qū)間為(2,6)，則ax1)(4).知冪級數(shù)nax2)為下限、被積函數(shù)為偶函數(shù)的變限積分函數(shù)為奇函數(shù)。所以，本題選A;于和D選項，

為偶函數(shù)，則cosf

為偶函數(shù)，f()

為奇函數(shù)，則cosf(

既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)。2n

的收斂區(qū)間為(A).(-2,6)(B).(-3,1)(D).(-17,15)【答案】B【解析】由比值法可知，冪級數(shù)收斂時，limn

(x1)2n2n1x1)2nn

lim1nan

(2

1則要求

n1

(n

2

的收斂區(qū)間，只需要求出limn

nn

的值即可，而條件告訴我們冪級數(shù)nax2)

的收斂區(qū)間為(

，即收斂半徑為limn

(1)n1n

limn

1an1limnan

則limn

n1n

(2n

(1)2

1即x1所以本題選B(5)設4階矩陣)ij

不可逆，的代數(shù)余子式A,,,α為矩陣1234列向量組，*A伴隨矩陣，則*通解為（）（A）α33

（B）xαα22

（C）α3

（D）xαα3

4

**01**0101【答案】（C）【解析】)可逆知，r(A4由A知A*α,ααij3

4線性無關（無關組的延長組仍無關），故r(A及r()故A*基礎解系含有3個向量。由A*AAE知，列向量均為

解，故通解為α。34(6)設階矩陣，α為A特征1應的兩個線性無關的特征向量α

10

為特征值特征向量。若存在可逆矩陣P，使得，則為（）（A）(,α,)3（C）(,α)3

（B）(,α)223（D）(,,α)22【答案】（D）【解析】因為αα為特征1應的兩個線性無關的特征向量，故α仍為特征的個線性無關的特征向量；因為為A的特征值23特征向量，故仍為特征值特征向量，因為特征向量與特征值的排序一

10

一對應，故只需αα)，就有P

AP。(7)一個的概率為（）

1PABPP，則A,B,C好發(fā)生(A).(B).

5

(C)

【答案】（D）【解析】(ABC)()(ABC)(BC)(A)(B)()()()()(B(AB)()(ABC)(C(AC)()()又ABC，P(ABC()原式

154(8).二維隨機變量,服從

12

，則下列服從標準正態(tài)分布且與X

獨立的是（）(A).

(B).

(C).

【答案】（C）【解析】由二維正態(tài)分布可知X~(0,1)~N，()DXDXDYXY3(0,1)所以X~3

又cov(,X),)cov(X

XY

DX

6

所以X與

33

_______.二、填空題：914小題每小題,24分．(9)arctanx(0,)x【答案】dz(0,)dycos(x)xy)【解析】d1)d1x)

，將x帶入可知，dz

(0,)

x(10)知曲線滿足xy【答案】

xy

，求曲線在點(0,處的切線方程【解析】在xy

2

兩側(cè)同時對求導+

2xyy)，將dxdx可知，所以切線方程為yd(11)產(chǎn)量為，單價為廠商成本函數(shù)C()100需求函數(shù)為(P

800P

，求廠商取得最大利潤時的產(chǎn)量【答案【解析】Q)

P

可知，則利潤函數(shù)為Q800L)(100

，

L(QL(Q令得，Q(Q2dQQ，此時

(，故取得最大利潤2x1(12)平面區(qū)域D,y),0x的體積1【答案】2)37

，則求旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體

x1x1【解析】由題意列式得2xln(12)(ln)23

1(13)行列式

0

【答案】(a.【解析】原式

100a

1120

1a22a12a(4).0(14)隨變量X的分布律為k,k1,2,...,Y為被3的余數(shù)，則k解析P

118

128n7

1247427三、解答題：15～23題,共94分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．(15)(題滿分分)設

為常數(shù)，且當

時，

與

為等價無窮小，求

的值.8

【解析】①，由于

，則，且①式，得.(16)(題滿分分)函數(shù)f3的極值.【解析】，解得，

.且，，

.討論：①對于不為極值點；

，求得，因，則②對于，求得，因

且，則為極小值點，且極小值為

.(17)(題滿分分)設函數(shù)

滿足，且有

.（Ⅰ）求；Ⅱ）設

，求

.9

【解析】（Ⅰ）由

得，解得，則

，又由

得，則（Ⅱ）

.，則

.(18)(題滿分分)區(qū)域

，，計算

.【解析】設，則，10

兩邊同取積分得.則，.(19)(題滿分分)函數(shù)f數(shù).f

Mx證:(1)

M(2)對任意x.證明:(1)M,f()顯然成立M時不妨設在點c((0,2))處取得最大|f(c)|由拉格朗日中值定理得,c),得f111

f(cf(0)=;

22212112xy22xy,22212112xy22xy,TTT存

(c,,得f

)

f(2)f(cM;所以(

M(2MM)(M),M介于與之間從而有c2c)|f

或

)|

,結(jié)論得證.（Ⅱ）當,采用反證法,假設M.則f

1

或

2

)|>M與已知矛盾,假設不成立.當,此|f,易知f

.G()f(x),0x則Gf

M0,G(調(diào)遞減.G(0)從(x),即f(x)Mx,x.因此fM,從而M.綜上所述,最終(20)(題滿分分)次型f,)xx經(jīng)正交變換化為二次型g(y)y，a求：1122（I）a,的值；（II）正交矩Q4【答案】（I）4,b；（IIQ5

.【解析】（I）記yfAx,By。

22

，故因為故fy

T

Q

T

AQy，所以，其Q為正交矩陣。12

1221222tr()所以A,相似，故特征值相同，故知，，故a。（II）由AtrA知AB的特征值均為2

。2解齊次線性方程組(

i

A)(

i

)，求特征向量并直接單位化，對

，

1E知，α

15

；對

，由E知，α；0同理，的屬于特征值

的特征向量為β1

，的屬于特征值特征向量為βQα,α12

2

Qβ)22

，就有QT11

0BQ，因此Q1

，只需令QQ1

T

2

15

，則

AQ，次型f(x,x)經(jīng)正交變換x化g(,)。212(21)(題滿分分)設階矩陣，α)，α是非零向量且不是特征向量。（I）證明矩陣逆；（II）若

αα求判斷A是相似于對角矩陣。13

【解析】（I）設αA2①若

，則由0

知

；②若

，則

αα，所以是的于特征值2

12

的特征向量，與已知條件產(chǎn)生矛盾。所以，

，向量組,α2

線性無關，故矩陣可逆（II）因為A

αα，所以，(,

2

α),6α)α,Aα

，記，AA)α,Aα)

6

，即，由逆知A,相似且PB由

知，矩陣的特征值均為2,

0因為特征值互不相同，故矩陣A似于對角矩(22)(題滿分分)二維隨機變量,在區(qū)域x1x2上服從均勻分布，且

XY0Y0Z0,XY0Y0求（1

）二維隨機變量,1

2

布；（

）求,1

2

的相關系數(shù).14

Ft【解析】（1由題意x