高中數(shù)學(xué)北師大版1第三章變化率與導(dǎo)數(shù) 第3章

第三章§1一、選擇題(每小題5分，共20分)1．在平均變化率的定義中，自變量的改變量Δx滿足()A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx≠0 D．Δx＝0解析：當(dāng)Δx＞0時(shí)，是從右端逼近，Δx＜0時(shí)，是從左端逼近，但Δx≠0，故選C.答案：C2．在曲線y＝x2＋1的圖像上取一點(diǎn)(1,2)及附近一點(diǎn)(1＋Δx,2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)為()A．Δx＋eq\f(1,Δx)＋2 B．Δx－eq\f(1,Δx)－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－eq\f(1,Δx)解析：∵x1＝1，x2＝1＋Δx，即Δx＝x2－x1，∴Δy＝(xeq\o\al(2,2)＋1)－(xeq\o\al(2,1)＋1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx.答案：C3．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝3＋t2，則在一小段時(shí)間[2,]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A． B．3C．4 D．解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3＋－3＋22,－2)＝.答案：D4．如果某物體做運(yùn)動(dòng)方程為s＝2(1－t2)的直線運(yùn)動(dòng)(s的單位為m，t的單位為s)，那么其在s末的瞬時(shí)速度為()A．－0.88m/s B．C．－4.8m/s D．解析：Δs＝s＋Δt)－s＝2[1－＋Δt)2]－2(1－＝－2(Δt)2－Δt，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－2Δt2－Δt,Δt)＝－2Δt－.∴當(dāng)Δt→0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)→－.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．函數(shù)y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均變化率為________．解析：當(dāng)自變量從－2變化到－2＋Δx時(shí)，函數(shù)的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2＋Δx2－2－2＋Δx＋1－4＋4＋1,Δx)＝Δx－6.答案：Δx－66．質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝eq\f(1,t2)，則質(zhì)點(diǎn)在t＝2時(shí)的速度為______．解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(\f(1,2＋Δt2)－\f(1,4),Δt)＝－eq\f(4＋Δt,42＋Δt2)，Δt→0，eq\f(Δs,Δt)→－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求當(dāng)x1＝4，且Δx＝1時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變化率eq\f(Δy,Δx)；(2)求當(dāng)x1＝4，且Δx＝時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變化率eq\f(Δy,Δx).解析：f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×xeq\o\al(2,1)＋3×x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(1)當(dāng)x1＝4，Δx＝1時(shí)，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)當(dāng)x1＝4，Δx＝時(shí)，Δy＝2×＋(4×4＋3)×＝＋＝，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f,＝.8．求函數(shù)y＝eq\r(x＋1)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率．解析：設(shè)函數(shù)值變化量為Δy，∵Δy＝eq\r(x0＋Δx＋1)－eq\r(x0＋1)＝eq\f(x0＋Δx＋1－x0＋1,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1))＝eq\f(Δx,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1)).即y＝eq\r(x＋1)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為eq\f(1,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1)).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：(位移：m，時(shí)間：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3①,29＋3t－320≤t<3②)).求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．解析：(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0的瞬時(shí)速度．∵物體在t＝0附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處的瞬時(shí)變化率為eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度為－18(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時(shí)變化率．∵物體在t＝1附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－