高中數學蘇教版第二章平面向量 第2章過關檢測

第2章過關檢測一、選擇題1.化簡()+()+的結果為()A. B.C. D.答案B解析運用向量加法的多邊形法則運算求解.2.(2023·廣東汕頭一模)已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),則b=()A.(1,2) B.(1,-2) C.(5,6) D.(2,0)答案B解析a=(1,2),2a+b=(3,2),則b=(2a+b)-2a=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(3-2,2-4)=(1,-2),故選B.3.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,則y等于() 答案A解析∵a∥b,∴2(-1+y)-3×4=0,∴y=7.4.已知|a|=6,e為單位向量,當a,e的夾角為120°時,a·e等于() 答案D解析a·e=|a|·|e|·cos120°=6×=-3.5.關于平面向量a,b,c,有下列三個命題:①若a·b=a·c,則b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,則k=-3;③非零向量a和b滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為60°.其中是真命題的為()A.① B.①② C.② D.②③答案C解析當a=0時,①不成立;對于②,若a∥b,則-2k=6,∴k=-3,②成立;對于③,由于|a|=|b|=|a-b|,則以|a|,|b|為鄰邊的平行四邊形為菱形,如圖.∠BAD=60°,=a+b,由菱形的性質可知,a與a+b的夾角為∠DAC=30°.6.導學號51820236(2023·全國丙高考)已知向量,則∠ABC=()° ° ° °答案A解析因為,所以.又因為=||·||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC=cos∠ABC,所以cos∠ABC=,即∠ABC=30°.故選A.二、填空題7.若向量a,b滿足|a|=|b|=1,a與b的夾角為120°,則a·a+a·b=.

答案解析a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos120°=.8.△ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H,=m(),則實數m=.

答案1解析設△ABC是直角三角形,∠C=90°,則H與C重合,O為AB的中點,,故m=1.9.如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若,則的值是.

答案解析由,得·()=,即.又∵,∴=0.∴.故=()·()==0+·()+|2+0=+2=-||2+2=-2+2=.10.導學號51820237O為△ABC中線AM上的一個動點,若AM=2,則·()的最小值是.

答案-2解析設||=x,0≤x≤2,則||=2-x,如圖.由題意易得.又∵=-,∴·()=·2=2||||cos180°=-2||||=-2x(2-x)=2(x2-2x)=2(x-1)2-2.當x=1時有最小值-2,此時O為AM的中點.三、解答題11.(2023·山西曲沃中學高一期末)已知a=(2,1),b=(-3,-4),c⊥(a-b).(1)求2a+3b,|a-2b|;(2)若c為單位向量,求c的坐標.解(1)∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴2a+3b=(-5,-10),a-2b=(8,9),∴|a-2b|=.(2)設c=(x,y),則x2+y2=1,①∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴a-b=(5,5).又c⊥(a-b),∴5x+5y=0,∴y=-x,②解得∴c=或c=.12.導學號51820238如圖,已知△ABC的三個頂點的坐標為A(-5,-1),B(4,1),C(0,4).(1)求△ABC的面積.(2)若四邊形ABCD為平行四邊形,求D點的坐標.解(1)設AB邊上的高為CE.設E(x,y),則=(x,y-4),=(x+5,y+1),=(9,2).由于,則9x+2(y-4)=0.①由于共線,則2(x+5)-9(y+1)=0.②由①②解得.S△ABC=|||=.(說明:本題還可用數量積去解).(2)設D(m,n),∵=(m+5,n+1),=(-4,3),又∵,∴∴D(-9,2).13.導學號51820239某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛,感到風從正北方向吹來,而當速度為2a千米/時,感到風從東北方向吹來,試求實際風速和方向.解設a表示此人以每小時a千米的速度向東行駛的向量,無風時此人感到風速為-a.設實際風速為v,那么此人感到的風速為v-a.如圖,設=-a,=-2a,∵,∴=v-a.這就是感到由正北方向吹來的風速.∵,∴=v-2a.于是當此人的速度是原來的2倍時,所感受到由東北方向吹來的風速就是.由題意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,從而,△POB為等腰直角三角形.∴PO=PB=a,即|v|=a.∴實際風速是大小為a的西北風.14.已知平面上三個向量a,b,c,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐標;(2)若|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ的余弦值.解(1)不妨設c=λa=(λ,2λ),則|c|2=5λ2.∵|c|=2,∴|c|2=20.∴5λ2=20,∴λ=±2.∴c