2021-2021高考全國卷Ⅰ文科數(shù)學立體幾何匯編

2021—2021高全國卷Ⅰ文科數(shù)學立體幾何匯編幾何一、選擇題【2021】如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點，，N為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接與平面MNQ不平行的是（）【2021】如圖所示，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑、若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）ABCD【2021，11】平面過正方體的頂點，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（）A第1頁共17頁

BCD【2021】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8，米堆的高為尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？”已知1米的體積約為1、62立方尺，圓周率約為，估算出堆放的米有(A、14斛B、22斛C、36斛D、66斛【2021，11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為π，則r=()BABC第2頁共17頁

D【2021，11】【2021】【2021，11】【2021】【2021】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()A三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱【2021，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()AπB、8＋8πC＋16D、8＋16π【2021】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為第3頁共17頁

ABCD【2021】平面截球球面所得圓的半徑為，球心平面的距離為，則此球的體積為（）ABCD【2021】在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）二、填空題【2021，16】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑、若平面，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為______【2021，15】已知球直徑上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O得截面的面積為π，則球表面積為第4頁共17頁

【2021，16】已知兩個圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上、若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為、三、解答題【2021，18】如圖，在四棱錐中，∥，且、）證明：平面平面；）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積、【2021，18】如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點在平面內(nèi)的正投影為點，在平面內(nèi)的正投影為點、連結(jié)并延長交于點、）求證：是的中點；）在題圖中作出點在平面內(nèi)的正投影（說明作法及理由），并求四面體的體積、【2021，18】如圖四邊形為菱形，AC與BD交點，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面BED；(Ⅱ)若∠ABC=120，AE⊥EC，三棱錐E-ACD體積為，求該三棱錐的側(cè)面積、】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點為，且平面、證明：）若求三棱柱的高、【2021，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，＝CB，AB，∠BAA1＝第5頁共17頁

60證明：AB⊥A1C若AB＝CB，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積、【2021，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，，AC=BC=AA1是棱的中點、（1證明：平面BDC1⊥平面BDC）平面分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比、【2021，18】如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面、）證明：；）若，求棱錐的高、解析一、選擇題【2021】如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點，，N為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接與平面MNQ不平行的是（）【解法】選A，AB∥MQ，則直線∥平面；由，AB∥MQ，則直線∥平面由D，AB∥NQ，則直線∥平MNQ、故滿足，選A【2021】第6頁共17頁

如圖所示，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑、若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）、ABCD析：選A三視圖可知，該幾何體是一個球截去球的，設(shè)球的半徑為，則，解得、該幾何體的表面積等于球的表面積的，加上個截面的面積，每個截面是圓面的，所以該幾何體的表面積為、故選A【2021，11】平面過正方體的頂點，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（）ABCD解析：選A法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個正方體，如圖所示、通過尋找線線平行構(gòu)造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為、故選第7頁共17頁

A解法二（原理同解法一）：過平面外一點作平面，并使平面，不妨將點變換成，作使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為、故選A【2021】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8，米堆的高為尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？”已知1米的體積約為1、62立方尺，圓周率約為，估算出堆放的米有(BA、14斛B、22斛C、36斛D、66斛解：設(shè)圓錐底面半徑為，依題，所以米堆的體積為，故堆放的米約為1≈22故選B【2021，11】第8頁共17頁

圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則)BABCD解：該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為，圓柱的高為2r，其表面積為2πr2+πr2r+πr2+2r2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故選B【2021】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()BA三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱解：幾何體是一個橫放著的三棱柱、故選B【2021，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()Aπ第9頁共17頁

B、8＋8πC＋16D、8＋16π解析：選A該幾何體為一個半圓柱與一個長方體組成的一個組合體、V半圓柱＝π224＝8π長方體＝422＝16、所以所求體積為16＋8π、故選A【2021】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）ABCD【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，底面△BCD底邊為6，高為等腰三角形，側(cè)面ABD⊥面BCD，AO⊥底面BCD因此此幾何體的體積為，故選擇B【2021】8平面截球O球面所得圓的半徑為，球心O平面的距離為，則此球的體積為（）第10頁共17頁

ABCD【解析】如圖所示，由已知，，在中，球的半徑，所以此球的體積，故選擇B【點評】本題主要考察球面的性質(zhì)及球的體積的計算、【2021】在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）【解析】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形、故選D二、填空題【2021，16】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑、若平面，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為______第11頁共17頁

【解析】取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，所以平面，設(shè)，，所以，所以球的表面積為、【2021，15】已知球直徑上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O得截面的面積為π，則球表面積為______、答案：解析：如圖，設(shè)球O半徑為R，則＝＝、又∵πEH2＝π，∴EH＝1∵Rt△OEH，R2＝，∴R2＝、球＝4πR2＝、【2021，16】已知兩個圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上、若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為、【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，球的半徑為，則由，知、根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過球心，且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點，因此、設(shè)，，則、又，知、即、由及可得、則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為、故答案為、三、解答題【2021，18】第12頁共17頁

如圖，在四棱錐中，∥，且、）證明：平面平面；）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積、【解法】），∥又平面，平面，且平面平面，所以平面平面（）由題意：設(shè)，因為所以為等腰直角三角形即取中點，連接，則，、又因為平面平面所以平面因為平面，∥所以，又以四邊形為矩形所以【2021，18】如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點在平面內(nèi)的正投影為點，在平面內(nèi)的正投影為點、連結(jié)并延長交于點、）求證：是的中點；）在題圖中作出點在平面內(nèi)的正投影（說明作法及理由），并求四面體的體積、解析：）由題意可得為正三角形，故、因為在平面內(nèi)的正投影為點，故平面、又平面，所以、因為在平面內(nèi)的正投影為點，故平面、又平面，所以、因為，，，平面，所以平面、又平面，所以、因為，所以是的中點、（2過作交于，則即為所要尋找的正投影、理由如下，因為，，故、同理，又，平面，所以平面，故即為點在平面內(nèi)的正投影、所以、在中，，，，故由等面積法知、由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故、【2021，18】如圖四邊形為菱形，AC與BD交點，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面BED；(Ⅱ)若∠ABC=120，第13頁共17頁

AE⊥EC，三棱錐E-ACD體積為，求該三棱錐的側(cè)面積、解：(Ⅰ)∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC∵ABCD菱形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BED，又平面AEC∴平面AEC⊥平面BED分(Ⅱ)設(shè)AB=x，在菱形中，由∠ABC=120可得，AG=GC=，GB=GD=、RtΔAEC中，可得、∴在ΔEBG為直角三角形，可得、∴，解得x=2BA=BD=BC可得ED=EC=∴ΔAEC的面積為3，ΔEAD的面積與ΔECD面積均為、所以三棱錐E-ACD的側(cè)面積為、…1218、解析（1）因為平面，所以、又為菱形，所以、又因為，，平面，所以平面、又平面，所以平面平面、）在菱形中，取，又，所以，、在中，，所以，所以在中，，所以，解得、在，，中，可得、所以三棱錐的側(cè)面積、】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點為，且平面、證明：）若求三棱柱的高、證明：(Ⅰ)連接，則與BC1的交點，∵AO⊥平面C，…2分為側(cè)面為菱形，∴BC1⊥B1C，…4∴BC1⊥平面，∵AB平面，故B1C⊥A第14頁共17頁

B分(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足為，連結(jié)，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，又平面，∴平面⊥平AOD，線為AD，作⊥AD，垂足為，∴OH⊥平面C分∵∠CBB1=60，所以為等邊三角形，又BC=1，可得OD=，由于⊥AB1，∴，∴，由OHAD=ODOA可得OH=又B1C的點，所以點到平面距離為，所以三棱柱的高高為?！?2分另解等體積法：∵∠CBB1=60，所ΔCBB1等邊三角形，又BC=1，可得BO=，由于AC⊥AB1，∴，∴AB=1，AC=分則等腰三角形ABC的面積為，設(shè)點到平面ABC的距離為d，由VB1-ABC=VA-BB1C，所以三棱柱的高高為。…12分【2021，19】如圖，三棱柱－A1B1C1中，CA＝CB，AB，∠BAA1＝60證明：AB⊥A1C若AB，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積、證明：(1)AB的中點O，連結(jié)OC，A1B因CA＝CB，所以B由AB＝AA1∠BAA1＝60，故△AA1B為等邊三角形，所以⊥AB因OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1第15頁共17頁

CA1C平面，AB⊥A1C、(2)解：由題設(shè)知△ABC△AA1B都是邊長為等邊三角形，所以＝、又＝，則＋，故⊥OC因OC∩AB＝O所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱－A1B1C1高、又△ABC面積S△ABC＝，故三棱柱－A1B1C1體積＝S△ABCOA1＝3【2021，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，，AC=BC=AA1是棱的中點、（1證明：平面BDC1⊥平面BDC）平面分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比、【解析】）在中，，得：，同理：，：、