2021年“大夢杯”福建省初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

年大夢福建省初中數(shù)學(xué)競賽試題考時(shí)2018年18日9滿分一、選題（共5小題每小題分，共35分。道小均給出代號(hào)為A，B，D的四個(gè)選項(xiàng)，中有且有一個(gè)選項(xiàng)正確的請將正確選的代號(hào)入題后的括里，不填、填或錯(cuò)填都分）1．若關(guān)于的方4

mxm有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m

m

m的值為（）A

B

C

D．2．如圖，、都是正方形，邊長分別mm標(biāo)原O為AD的中點(diǎn)，、D、E在y軸上。若二次函數(shù)yax

2

的圖像C、兩點(diǎn)，則）A．

B．2

C

D2A

AG

E

H

ODBC

B

C（第圖）（第3題圖）（第4題圖3．如圖G的重心，D延長線上，且BDAE點(diǎn)E，則）AC

BC，過DG的直線交A．

B．

C．

D．

4．如圖，H分別△的垂心、外心BAC△ABC外接圓的半徑，則AH）A

B

C

D．5．滿足方程x2xy151的整數(shù)(（）A．0對

B．2對

C．4對

D．對

二、填題（共5小題每小題，共分）6．已b為正整數(shù)，。baa是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方，a的最小值為。7如圖ABCD為矩形，對角線的中點(diǎn)、B在x軸上若函數(shù)y（）x的圖像過D、點(diǎn)，則矩形ABCD面積為。CO

A

D

BO

（第圖）（第8題）8．如圖，是邊長為8的正三角形D為AB上一點(diǎn)，⊙OACD的內(nèi)切圓，1CDB的DB的旁切圓。O的半徑都rr29．若實(shí)數(shù)滿過的最大整數(shù)。

。。其10．網(wǎng)絡(luò)爬蟲是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁抓取工具。其算法與數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支圖論有著密切的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數(shù)學(xué)家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題中討論的圖是由一些節(jié)點(diǎn)和連接這些節(jié)點(diǎn)的線組成的。請你回答下列問題：把一個(gè)矩形區(qū)域劃分成n凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分知構(gòu)成個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)中恰有個(gè)頂點(diǎn)在矩形內(nèi)12頂點(diǎn)在矩形的邊界上（含矩形的頂點(diǎn)時(shí)任何三個(gè)頂點(diǎn)不共（除矩形邊界上的頂點(diǎn)共線外圍成個(gè)凸多邊形的線段中，恰有18線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則n個(gè)凸多邊形中四邊形個(gè)數(shù)的最大值為。

三、解題（共4題，小題20分，80分11．已知次函數(shù)x

2

交x軸于A(x、B(x兩點(diǎn)，1xx21。若函數(shù)y2x2bxb上的最小值，b的值。xx1212．如圖，在圓內(nèi)接四邊形中ABADM是BC邊的中點(diǎn)，N在對角上，且滿CAM。求證：∥。

A

DB

NM（第題圖）

C

13．已知關(guān)于的方程x

的兩根都是素?cái)?shù)，的值。14．一個(gè)36個(gè)單位小方格組成6的方格表中個(gè)小方格被染成了紅色，使得任意兩個(gè)紅色小方格的中心之間的距離大于，

的最大值。

2018年大杯福省中學(xué)賽題考案評(píng)標(biāo)考時(shí)2018年18日9－11滿分一、選題（共5小題每小題分，共35分。道小均給出代號(hào)為A，B，D的四個(gè)選項(xiàng)，中有且有一個(gè)選項(xiàng)正確的請將正確選的代號(hào)入題后的括里，不填、填或錯(cuò)填都分）1．若關(guān)于的方4

mxm有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m

m

m的值為（）A【答案

BA

C

D．【解答題意△m

2

16(3。因此m

m0。∴

m2m∴

m

3

2

(mm

2

m

2

m2如圖ABCDDEFG都是正方形邊長分別為、m標(biāo)原點(diǎn)O為AD的B．2中點(diǎn)，、D、E在軸上。若二次函數(shù)yaxA．C

2

的圖像、兩點(diǎn)，則D2

）【答案

B【解答點(diǎn)C坐為(，)，點(diǎn)F坐為

。由二次函數(shù)y的圖像F兩點(diǎn)，得（第圖）mam2mn2

2

，消，得

∴

n，解得2（舍負(fù)根mm∴

2

FDFD3如圖的重心D延長線上BDAE于點(diǎn)，則）AC

BCD的直線AA．

B．

C．

D．

G

E【答案D【解答圖，連AG，并延長交BC于點(diǎn)F。

D

BC∵∴

G的重心，且AGF為BC點(diǎn)，且DBGF1

（第圖）過點(diǎn)F作FM∥交ACM。

ACMCFAE2則，。CECDEM1CM，k，EM，k。

G

EM∴

AEkk，。AC

DBFC另解：如圖，連，并延長交BC于F。

（第答題圖∵

G的重心，且

A∴

AGF為BC點(diǎn)，且DBGF1

G

E∴

FD2AG，。DC31

DBFCAFC中用梅涅勞斯定理得。DCGF∴∴

3，。EA1EA4AE4。AC7

（第答題圖

4．如圖HO分別△ABC的垂心、外心BAC，則AH）ABD．3C【答案B【解答圖，連BO并延長O點(diǎn)D，連HCCD

A

H

ODA?！摺?/p>

△ABC的外心，BDO直徑，DCDA

BC（第圖）又HABC垂心，∴

AHBCCH。

A∴

AHDCCH∥DA。

D∴四邊形AHCD為平行四邊形，AHDC∵∴

BAC45△ABC外接圓的半徑2BDCBACBD4。

H

O∴

DC2。

BC（第答題圖5．滿足方程x2xy151的整數(shù)(（）A．0對

B．2對

C．4對

D．對【答案

C【解答程x

2

2

151化(xy

2

2

。依題意，151

2

為完全平方數(shù)。由Ay，得y

。結(jié)合y為整數(shù)，得y2故，y，，4。當(dāng)y時(shí)，151，不是完全平方數(shù)。當(dāng)y，136，不是完全平方數(shù)。當(dāng)y

2

時(shí)，

2

，不是完全平方數(shù)。當(dāng)y

2

時(shí)，151y

2

2

?！?/p>

方程化為，即)

x

2

，或16x6)2

∴

yyyy，或，或，或x

。∴

x10x，或，或，或。yyyy∴滿足方程的整數(shù)對(10((共4對。

二、填題（共5小題每小題，共分）6．已b為正整數(shù)，。baa是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方，a的最小值為?！敬鸢?/p>

1297【解答題意，

，a

n

n為正整數(shù)，n∴

2()n2

32，可偶數(shù)，a。2∴

a

n

2

n2nbc。22可見且大時(shí)a22的值也隨之增大。時(shí)a合要求。∴

a2

的最小值2212977如圖為矩形，E為對角線的中點(diǎn)、B在x上若函數(shù)yx）x的圖像過D、點(diǎn)，則矩形ABCD面積為?！敬鸢?/p>

8【解答D)E()，y。DDEEDDE作EFAB于F，為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，且EF∴y2。結(jié)合xxyx，得。DEDDE∴AF，ABAF2。D∴矩形ABCD面積AB2xy。DD

（第圖）（第答題圖

8．如圖，是邊長為8的正三角形D為AB上一點(diǎn)，⊙OACD的內(nèi)切圓，1CDB的DB的旁切圓。O的半徑都r，r2【答案【解答如圖，O△ACD三邊、依次1于G、H、邊O于點(diǎn)，CD的延長線2

C

。于點(diǎn)、。

O

1則O的半徑都是r△ABC正三角形，以及切12線長性質(zhì)定理，得

A

D

O

2

BAGr，CHCG3r，BFBN

r，

（第圖）CMCN

r。

C∴

EFHMCM

43r)rr

G

O

1

H∴

ABAEEFr

33rrr。

A

EDM

FBO2

N∴

3

rr3

（第答題圖9．若實(shí)數(shù)滿過的最大整數(shù)。

。其【答案

1346【解答設(shè)，其為整數(shù)∵

時(shí)，3m；當(dāng)m時(shí)，2m3m；22當(dāng)時(shí)，3m；當(dāng)，2mm。∴對任意實(shí)數(shù)，kk為整數(shù)?！摺唷?/p>

2018，其中m。

10．網(wǎng)絡(luò)爬蟲是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁抓取工具。其算法與數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支圖論有著密切的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數(shù)學(xué)家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題中討論的圖是由一些節(jié)點(diǎn)和連接這些節(jié)點(diǎn)的線組成的。請你回答下列問題：把一個(gè)矩形區(qū)域劃分成n凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分知構(gòu)成個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)中恰有個(gè)頂點(diǎn)在矩形內(nèi)12個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊界上（含矩形的頂點(diǎn)時(shí)任何三個(gè)頂點(diǎn)不共（除矩形邊界上的頂點(diǎn)共線外圍成個(gè)凸多邊形的線段中，恰有18線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則n個(gè)凸多邊形中四邊形個(gè)數(shù)的最大值為?！敬鸢?/p>

9【解答設(shè)個(gè)凸多邊形中，個(gè)三角形個(gè)四邊形個(gè)五邊形，…m35m邊形。則n個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和為k(31801803另一方面，矩形內(nèi)部有6個(gè)頂點(diǎn)，對于每個(gè)頂點(diǎn)，圍繞它的多邊形的內(nèi)角和形邊界線段內(nèi)（不含矩形頂點(diǎn)）個(gè)頂點(diǎn)，在每個(gè)頂點(diǎn)處，各多邊形在此匯合成一個(gè)平角，其和為180矩形的每個(gè)頂點(diǎn)處，各多邊形在此匯合成一個(gè)直角，其和此，這個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和6∴

k(31801803360kkm。………①3m再考慮n個(gè)凸多邊形的邊數(shù)。由于每個(gè)m邊形m條邊此個(gè)凸多邊形的邊數(shù)和k35

mk。m另一方面，由條件知，在矩形內(nèi)部的條邊，每條邊都是兩個(gè)凸多邊形的公共邊，應(yīng)計(jì)算2次。而在矩形邊界上12點(diǎn)，得12條線段，它們都對應(yīng)某個(gè)凸多邊形的邊。因此，n個(gè)凸多邊形的邊數(shù)和為8?！?/p>

3kk3

48?！趍由①、②，消k，kk345

3)。m∴

k。4又如圖所示的劃分符合要求，此時(shí)3∴k的最大值，即個(gè)凸多邊形中，最多有個(gè)4四邊形。

（第答題圖

三、解題（共4題，小題20分，80分11．已知次函數(shù)x

2

交軸于(、(兩點(diǎn)，1xx21。若函數(shù)y2x2bxb上的最小值，b的值。xx12【解答函數(shù)y

2

圖像x于A(xB(點(diǎn)，12∴

x，是方2的兩個(gè)實(shí)根。12∴

xx112

c

。

……5xx又xxx11

()2)1212xx12

2

，∴

2，10?！賑

………10∵

y2x

2

bxx

2

b

2

，b上的最小值∴

時(shí)∴

2

…………②

……15由①、②，解cb∴

b

……20

12．如圖，在圓內(nèi)接四邊形中ADM是邊的中點(diǎn)，N在對角線BD上，且滿CAM。求證：∥?！窘獯餉B，∴ADBABD。

A

D∴

ACMABDABN

N，∴ABNACM。

B

M

C∴

ABBNAC

…………①。

（第12圖）…5分設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)∵∴

BAEABE?！?。

A

D∴

AB?！贏C

E…10分

NM為BC中點(diǎn)，∴BM結(jié)合①，得

ABBNBN。ACBM

B

M

C結(jié)合②，得

BEAB，CBBM

（第題答題圖）∴

BMBN。BC

…15分∴

MN∥，∥。……20分

13．已知關(guān)于x的方程x

的兩根都是素?cái)?shù)，的值?！窘獯鸱匠蘹9999的兩根分別為pq，p則由韋達(dá)定理，，pq∴

pq2

4

4

…………①

……5顯然p都不等于2，因此，都是奇數(shù)?！嗳?/p>

。2p，中有一個(gè)數(shù)為奇數(shù)，不妨設(shè)為奇數(shù)，則22

……10