高中數(shù)學人教A版2本冊總復習總復習 全國獲獎

第二章推理與證明2．1合情推理與演繹推理2．合情推理1．了解合情推理的含義．2．能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．歸納推理．由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納)．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．2．類比推理．由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理．歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(自)eq\x(測)1．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于(C)\f(r2,2)\f(l2,2)\f(lr,2)D．不可類比解析：由扇形的弧長與半徑類比于三角形的底邊與高可得C.故選C.2．從1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，…，可得一般規(guī)律為___________________________________________________．解析：猜想：第n個等式的左邊是2n－1個連續(xù)整數(shù)的和，第1個數(shù)為n，等式的右邊是整數(shù)個數(shù)的平方，即一般規(guī)律為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)23．根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜想第n個圖形中有______________個點．解析：第n個圖有n個分支，每個分支上有(n－1)個點(不含中心點)，再加上中心1個點，則有n(n－1)＋1＝n2－n＋1個點．答案：n2－n＋14．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個結論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于點E，則得到的類比結論是________．解析：把線段比類比到面積比，得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)eq\a\vs4\al(（一）解讀合情推理)數(shù)學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結論；證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．合情推理的一般過程為：eq\a\vs4\al(（二）解讀歸納推理)(1)歸納推理的分類．①完全歸納推理：由某類事物的全體對象推出結論．②不完全歸納推理：由某類事物的部分對象推出結論．需要注意的是，由完全歸納推理得到的結論是準確的，由不完全歸納推理得到的結論不一定準確．(2)歸納推理的特點．由于歸納是根據(jù)部分已知的特殊現(xiàn)象推斷未知的一般現(xiàn)象，因而歸納推理具有以下特點：①所得結論超越了前提所包含的范圍；②所得結論具有猜測性質(zhì)，準確性需要證明；③歸納的基礎在于觀察、實驗或經(jīng)驗．(3)歸納推理的一般步驟．①通過觀察、分析個別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同特征；②將發(fā)現(xiàn)的相同特征進行歸納，推出一個明確表達的一般性命題(猜想)．eq\a\vs4\al(（三）解讀類比推理)(1)類比推理的特點．①類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性；②類比是以原有知識為基礎，猜測新結論；③類比能發(fā)現(xiàn)新結論，但結論具有猜測性，準確性需要證明．(2)類比推理的一般步驟．①明確兩類對象；②找出兩類對象之間的相似性或者一致性；③用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得到一個明確的結論．1．歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)．(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)．2．歸納推理的思維進程．實驗、觀察→概括、推廣→猜測一般性結論．即對有限的資料進行觀察、分析、歸納、整理，提出帶有規(guī)律性的結論，然后對該猜想的正確性加以檢驗．3．一般地，歸納的個別情況越多，越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠．4．運用類比推理的一般步驟：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性．(2)用一類事物的性質(zhì)推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的結論．5．類比推理常見的幾種題型．(1)類比定義：本類題型解決的關鍵在于弄清兩個概念的相似性和相異性以及運用新概念的準確性．(2)類比性質(zhì)(定理)：本類題型解決的關鍵在于要理解已知性質(zhì)(定理)的內(nèi)涵、應用環(huán)境及使用方法，通過研究已知性質(zhì)(定理)，刻畫新性質(zhì)(定理)的“面貌”．(3)類比方法(公式)：本類題型解決的關鍵在于解題方法．1．下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排列起來，那么第36顆珠子的顏色是(A)○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．數(shù)列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(B)A．28B．32C．33D．273．已知三角形的三邊長分別為a，b，c，其內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積為：S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，利用類比推理，可以得出四面體的體積為(C)A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分別是四面體四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ca)h(h為四面體的高)4．等差數(shù)列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，類比以上結論，在等比數(shù)列{bn}中類似的結論是________．答案：beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)1．下列關于歸納推理的說法中錯誤的是(A)A．歸納推理是由一般到一般的一種推理過程B．歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程C．歸納推理得出的結論具有偶然性，不一定正確D．歸納推理具有由具體到抽象的認識功能2．由數(shù)列1，10，100，1000，…猜測該數(shù)列的第n項可能是(B)A．10nB．10n－1C．10n＋1D．113．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9＋7等于(B)1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113解析：由數(shù)塔呈現(xiàn)的規(guī)律知，結果是各位都是1的7位數(shù)．4．下面使用類比推理正確的是(C)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”5．n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下：根據(jù)規(guī)律，從2023到2023，箭頭的方式依次是(C)A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字是以4為公差的等差數(shù)列，由eq\a\vs4\al(11→12可知從2023到2023為↑→.,,,↑,,,10,,)6．如圖所示，面積為S的凸四邊形的第i條邊的邊長為ai(i＝1，2，3，4)，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1，2，3，4)，若eq\f(a1,1)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(a3,3)＝eq\f(a4,4)＝k，則eq\i\su(i＝1,4,)(aihi)＝eq\f(2S,k).類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1，2，3，4)，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離為Hi(i＝1，2，3，4)，若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2,2)＝eq\f(S3,3)＝K，則eq\i\su(i＝1,4,)(SiHi)＝(B)\f(4V,K)\f(3V,K)\f(2V,K)\f(V,K)解析：從平面類比到空間，通常是邊長類比為面積，面積類比為體積，又凸四邊形中，面積為S＝eq\f(1,2)(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱錐中，體積為V＝eq\f(1,3)(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系數(shù)差異，所以，上述性質(zhì)類比為B.7．觀察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此規(guī)律，第五個不等式為_______________________________．解析：觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個不等式的左邊＝1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)，右邊＝eq\f(2（n＋1）－1,n＋1)，所以第五個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).8．下圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規(guī)律，第n個圖案中需用黑色瓷磚________塊(用含n的代數(shù)式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…個圖案黑色瓷磚數(shù)依次為：15－3＝12，24－8＝16，35－15＝20，…由此可猜測第n個圖案黑色瓷磚數(shù)為：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋89．圖1是一個邊長為1的正三角形，分別連接這個三角形三邊中點，將原三角形剖分成4個三角形(如圖2)，再分別連接圖2中一個小三角形三邊的中點，又可將原三角形剖分成7個三角形(如圖3)，…，依此類推，設第n個圖中三角形被剖分成an個三角形，則第4個圖中最小三角形的邊長為__________；a100＝__________．答案：eq\f(1,8)29810．圓的面積S＝πr2，周長c＝2πr，兩者滿足c＝S′(r)，類比此關系寫出球的公式的一個結論是：________．解析：圓的面積、周長分別與圓的體積和表面積類比可得，球的體積V＝eq\f(4,3)πR3，表面積S＝4πR2，滿足S＝V′(R)．答案：V球＝eq\f(4,3)πR3，S球＝4πR2，滿足S＝V′(R)．11．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________________成立．解析：a10是等差數(shù)列{an}的前19項的中間項，而b9是等比數(shù)列{bn}的前17項的中間項．所以答案應為：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．12．設an是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，試歸納出這個數(shù)列的一個通項公式．解析：當n＝1時，a1＝1，且2aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＋a2·a1＝0，即2aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0解得a2＝eq\f(1,2)；當n＝2時，由3aeq\o\al(2,3)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)a3＝0，即6aeq\o\al(2,3)＋a3－1＝0，解得a3＝eq\f(1,3)，…由此猜想；an＝eq\f(1,n).13．在圓x2＋y2＝r2中，AB為直徑，C為圓上異于AB的任意一點，則有kAC·kBC＝－1，你能用類比的方法得出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中有什么樣的結論？解析：設A(x0，y0)為橢圓上的任意一點，則A點關于中心的對稱點B的坐標為(－x0，－y0)，點P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點的任意一點，則kAP·kBP＝eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y＋y0,x＋x0)＝eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),x2－xeq\o\al(2,0)).由于A，B，P三點都在橢圓上．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，))兩式相減有eq\f(x2－xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),b2)＝0，∴eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),x2－xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(b2,a2)，即kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).故橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中過中心的一條弦的兩個端點A，B，P為橢圓上異于A，B的任意一點，則有kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).?品味高考1．(2023·陜西卷)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x)的表達式為________．解析：由f1(x)＝eq\f(x,1＋x)?f2(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋x)))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，故可猜想f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).答案：eq\f(x,1＋2014x)2．(2023·陜西卷)觀察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此規(guī)律，第n個等式可為_______________________________．答案：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)3．(2023·湖北卷)在平面直角坐標系中，若點P(x，y)的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點．若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形．格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點三角形，對應的S＝1，N＝0，L＝4.(1)圖中格點四邊形DEFG對應的S，N，L分別是________；(2)已知格點多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點多邊形對應的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)．解析：(1)四邊形DEFG是一個直角梯形，觀察圖形可知：S＝(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四邊形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐標系中，取