高中數(shù)學(xué)人教B版第一章解三角形學(xué)業(yè)分層測評(píng)4

學(xué)業(yè)分層測評(píng)(四)角度問題(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為()A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D.α＋β＝180°【解析】根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖．知α＝β，故應(yīng)選B.【答案】B2．在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為()A．15° B．30°C．45° °【解析】如圖所示，sin∠CAB＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°.【答案】B3．我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且A、B距離為12海里，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度大小為()A．28海里/小時(shí) B．14海里/小時(shí)C．14eq\r(2)海里/小時(shí) 海里/小時(shí)【解析】如圖，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為v，在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小時(shí)．【答案】B4．地上畫了一個(gè)角∠BDA＝60°，某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)△BDA的另一邊BD上的一點(diǎn)，我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N，則N與D之間的距離為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33300020】A．14米 B．15米C．16米 D.【解析】如圖，設(shè)DN＝xm，則142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍)．∴N與D之間的距離為16米．【答案】C二、填空題5．(2023·湖北高考)如圖1-2-24，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m.圖1-2-24【解析】由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．【答案】100eq\r(6)6．某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處，然后朝南偏西60°方向航行3海里到達(dá)C處，若A處與C處的距離為eq\r(3)海里，則x的值為________．【解析】x2＋9－2·x·3cos30°＝(eq\r(3))2，解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)或2eq\r(3)7．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________km.【解析】如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2)(km)．【答案】30eq\r(2)8．一船自西向東航行，上午10：00到達(dá)燈塔P的南偏西75°、距塔68nmile的M處，下午14：00到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________nmile/h.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33300021】【解析】如圖，由題意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(PM,sin45°)，∴MN＝68×eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6).又由M到N所用時(shí)間為14－10＝4(h)，∴船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(nmile/h)．【答案】eq\f(17,2)eq\r(6)三、解答題9．平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3作用于同一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2的大小分別為1N、eq\f(\r(6)＋\r(2),2)N，F(xiàn)1與F2的夾角為45°，求F3的大小及F3與F1的夾角的大小．【解】如圖，設(shè)F1與F2的合力為F，則F3＝－F.∵∠BOC＝45°，∴∠ABO＝135°.在△OBA中，由余弦定理得|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cos135°＝4＋2eq\r(3).∴|F|＝1＋eq\r(3)，即|F3|＝eq\r(3)＋1.又由正弦定理得sin∠BOA＝eq\f(|F2|sin∠ABO,|F|)＝eq\f(1,2).∴∠BOA＝30°.∴∠BOD＝150°.故F3的大小為(eq\r(3)＋1)N，F(xiàn)1與F3的夾角為150°.10.(2023·焦作模擬)如圖1-2-25，正在海上A處執(zhí)行任務(wù)的漁政船甲和在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙，同時(shí)收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號(hào)，此時(shí)漁船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°方向的B處，兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù)，漁政船甲航行30km到達(dá)D處時(shí)，收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行，于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙(漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙)，此時(shí)B、D兩處相距42km，問漁政船乙要航行多少距離才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救．圖1-2-25【解】設(shè)∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，BD＝42，∠BAD＝60°.由正弦定理得eq\f(AD,sinα)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，sinα＝eq\f(AD,BD)sin∠BAD＝eq\f(30,42)sin60°＝eq\f(5\r(3),14)，又∵AD<BD，∴0°<α<60°，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(11,14)，cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－eq\f(1,7).在△BDC中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos∠BDC＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3844，BC＝62km，即漁政船乙要航行62km才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救．[能力提升]1．(2023·湖南師大附中期中)為了測量某塔的高度，某人在一條水平公路C，D兩點(diǎn)處進(jìn)行測量．在C點(diǎn)測得塔底B在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿著南偏東40°方向前進(jìn)10米到D點(diǎn)，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔的高度為()A．5米B．10米C．15米 D.【解析】如圖，由題意得，AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD.設(shè)塔高AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\r(3)x，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos120°，∴(eq\r(3)x)2＝x2＋100＋10x，解得x＝10或x＝－5(舍去)，故選B.【答案】B2．甲船在島A的正南B處，以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為()\f(150,7)分鐘 \f(15,7)分鐘C．分鐘 小時(shí)【解析】如圖，設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))2＋eq\f(675,7).當(dāng)t＝eq\f(5,14)時(shí)，DC2最小，即DC最小，此時(shí)它們所航行的時(shí)間為eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分鐘．【答案】A3．如圖1-2-26所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ＝________.圖1-2-26【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7)，∠BAC＝120°，則∠ACB為銳角，cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，則cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝eq\f(\r(21),14).【答案】eq\f(\r(21),14)4．如圖1-2-27，某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里．經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以100海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿東偏北60°方向逃竄，同時(shí)，該軍艦艇從C處出發(fā)沿東偏北α的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時(shí)追上.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33300022】圖1-2-27(1)求該軍艦艇的速度；(2)求sinα的值．【解】(1)依題意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理