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23兩角和與差的正弦余弦函數(shù)2時間:45分鐘滿分:80分班級________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題:(每小題5分,共5×6=30分)1.已知a=sin10°+cos10°,b=sin20°+cos20°,c=eq\f(\r(6),2),則a、b、c的大小關(guān)系為()A.a(chǎn)<c<bB.a(chǎn)<b<cC.c<b<aD.b<a<c答案:A解析:a=eq\r(2)sin55°<eq\r(2)sin60°=eq\f(\r(6),2),b=eq\r(2)sin65°>eq\r(2)sin60°=eq\f(\r(6),2).2.已知sinα+sinβ+sin1=0,cosα+cosβ+cos1=0,則cos(α-β)=()A.-1B.1C.-eq\f(1,2)\f(1,2)答案:C解析:原式變?yōu)閟inα+sinβ=-sin1①cosα+cosβ=-cos1②①②平方相加得cos(α-β)=-eq\f(1,2).3.設(shè)函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))+coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4))),則()A.y=f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))單調(diào)遞增,其圖像關(guān)于直線x=eq\f(π,4)對稱B.y=f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))單調(diào)遞增,其圖像關(guān)于直線x=eq\f(π,2)對稱C.y=f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于直線x=eq\f(π,4)對稱D.y=f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于直線x=eq\f(π,2)對稱答案:D解析:f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))+coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))=eq\r(2)cos2x.則函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于x=eq\f(π,2)對稱.4.已知銳角α,β滿足cosα=eq\f(3,5),cos(α+β)=-eq\f(5,13),則cos(2π-β)的值為()\f(33,65)B.-eq\f(33,65)\f(54,65)D.-eq\f(54,65)答案:A解析:∵α,β為銳角,cosα=eq\f(3,5),cos(α+β)=-eq\f(5,13),∴sinα=eq\f(4,5),sin(α+β)=eq\f(12,13),∴cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)·sinα=-eq\f(5,13)×eq\f(3,5)+eq\f(12,13)×eq\f(4,5)=eq\f(33,65).5.若sinα+sinβ=eq\f(\r(2),2),則cosα+cosβ的取值范圍是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(2),2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)))C.[-2,2]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(14),2),\f(\r(14),2)))答案:D解析:設(shè)cosα+cosβ=x,則(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=eq\f(1,2)+x2,即2+2cos(α-β)=eq\f(1,2)+x2,∴x2=eq\f(3,2)+2cos(α-β).顯然,當(dāng)cos(α-β)取得最大值時,x2有最大值.∴0≤x2≤eq\f(7,2)即-eq\f(\r(14),2)≤x≤eq\f(\r(14),2).6.設(shè)α,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),sinα=eq\f(\r(5),5),sinβ=eq\f(\r(10),10),α+β的大小為()A.-135°B.45°C.135°D.45°或135°答案:B解析:cos(α+β)=eq\f(\r(2),2),∵α+β∈(0°,180°),∴α+β=45°.二、填空題:(每小題5分,共5×3=15分)7.-cos(-50°)cos129°+cos400°cos39°=________.答案:cos1°解析:-cos(-50°)cos129°+cos400°cos39°=-sin40°(-sin39°)+cos40°cos39°=cos(40°-39°)=cos1°.8.已知α是第二象限角,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))=-eq\f(3,5),則cosα=________.答案:-eq\f(4+3\r(3),10)解析:因為α是第二象限角,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))=-eq\f(3,5)<0,所以α+eq\f(π,3)是第三象限角,所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))=-eq\f(4,5),所以cosα=coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))-\f(π,3)))=eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))+eq\f(\r(3),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))=-eq\f(4+3\r(3),10).\f(2sin80°-cos70°,cos20°)=__________.答案:eq\r(3)解析:原式=eq\f(2sin20°+60°-sin20°,cos20°)=eq\f(\r(3)cos20°+sin20°-sin20°,cos20°)=eq\r(3).三、解答題:(共35分,11+12+12)10.已知3sinβ=sin(2α+β),α≠kπ+eq\f(π,2),α+β≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z,求證:tan(α+β)=2tanα.證明:由3sinβ=sin(2α+β),得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α].3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.整理,得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα.∴α≠kπ+eq\f(π,2),α+β≠kπ+eq\f(π,2)(k∈Z).將上式兩邊同除以cosα·cos(α+β),得tan(α+β)=2tanα.11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x為始邊作兩個銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知點A,B的橫坐標(biāo)分別為eq\f(\r(2),10),eq\f(2\r(5),5).求cos(α-β)的值.解析:依題意,得cosα=eq\f(\r(2),10),cosβ=eq\f(2\r(5),5).因為α,β為銳角,所以sinα=eq\f(7\r(2),10),sinβ=eq\f(\r(5),5),所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=eq\f(\r(2),10)×eq\f(2\r(5),5)+eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(5),5)=eq\f(9\r(10),50).12.已知a、b是兩不共線的向量,且a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ).(1)求證:a+b與a-b垂直;(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,4),\f(π,4))),β=eq\f(π,4),且a·b=eq\f(3,5),求sinα.解:(1)證明:∵a2=cos2α+sin2α=1,b2=cos2β+sin2β=1.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.即(a+b)⊥(a-b).(2)由已知a·b=cosαcoseq\f(π,4)+sinαsineq\f(π,4)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))且a·b=eq\f(3,5),∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=eq\f(3,5).由-eq\f(π,4)<α<eq\f(π,4),得-eq\f(π,2)<α-eq\f(π,4)<0.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=-eq\r(1-cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4))))=-eq\f(4,5).∴sinα=sineq
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