高中數(shù)學(xué)蘇教版第三章概率 省一等獎

章末綜合測評(三)(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填在橫線上)1．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁四人，每人分得一張，那么事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是________．(填序號)①對立事件；②互斥但不對立事件；③必然事件；④不可能事件．【解析】“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，故它們是互斥事件，又甲、乙可能都得不到紅牌，故它們不是對立事件．【答案】②2．利用簡單隨機抽樣從含有6個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，則總體中每個個體被抽到的概率是________．【解析】總體個數(shù)為N，樣本容量為M，則每一個個體被抽得的概率為P＝eq\f(M,N)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3．一個口袋內(nèi)裝有大小相同的10個白球，5個黑球，5個紅球，從中任取一球是白球或黑球的概率為________．【解析】記“任取一球為白球”為事件A，“任取一球為黑球”為事件B，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(10,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)4．在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一人表演節(jié)目，若選到男教師的概率為eq\f(9,20)，則參加聯(lián)歡會的教師共有________人．【解析】設(shè)男教師為n人，則女教師為(n＋12)人，∴eq\f(n,2n＋12)＝eq\f(9,20).∴n＝54.∴參加聯(lián)歡會的教師共有120人．【答案】1205．如圖1，矩形長為5、寬為2，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計出陰影部分的面積為________．圖1【解析】利用幾何概型的概率計算公式，得陰影部分的面積約為eq\f(138,300)×(5×2)＝eq\f(23,5).【答案】eq\f(23,5)6．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．【解析】從袋中隨機摸出2只球有(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)(紅，黃1)(紅，黃2)，(黃1，黃2)共6種取法，其中顏色不同的有5種，由古典概型概率公式得所求概率為eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)7．向圖2中所示正方形內(nèi)隨機地投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影部分的概率為________．圖2【解析】直線6x－3y－4＝0與直線x＝1交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)))，與直線y＝－1交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－1))，易知陰影部分面積為eq\f(1,2)×eq\f(5,6)×eq\f(5,3)＝eq\f(25,36).所以P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(25,36),4)＝eq\f(25,144).【答案】eq\f(25,144)8．在拋擲一顆骰子的試驗中，事件A表示“不大于4的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為________．(eq\x\to(B)表示B的對立事件)【導(dǎo)學(xué)號：11032076】【解析】事件A包含的基本事件為“出現(xiàn)2點”或“出現(xiàn)4點”；eq\x\to(B)表示“大于等于5的點數(shù)出現(xiàn)”，包含的基本事件為“出現(xiàn)5點”或“出現(xiàn)6點”．顯然A與eq\x\to(B)是互斥的，故P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)9．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點．若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為________．【解析】∵去看電影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(3,4).去打籃球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16).∴不在家看書的概率為P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)10．口袋中裝有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，從口袋中摸出1個球，摸出白球的概率是，則摸出黑球的概率是________．【解析】∵摸出白球的概率是，∴口袋中白球的個數(shù)為×100＝23個，∴袋中黑球共100－45－23＝32個．∴從袋中摸出1個球，摸出黑球的概率為eq\f(32,100)＝.【答案】11．如圖3，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是________．圖3【解析】魚缸的體積為23＝8，圓錐的體積為eq\f(1,3)π×12×2＝eq\f(2π,3)，故所求概率為P＝eq\f(8－\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).【答案】1－eq\f(π,12)12．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以eq\f(7,10)為概率的事件是________．(填序號)①恰有1件一等品；②至少有一件一等品；③至多有一件一等品；④都不是一等品．【解析】將3件一等品編號為1,2,3,2件二等品編號為4,5，從中任取2件有10種取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率為P1＝eq\f(3,5)，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率為P2＝eq\f(3,10)，其對立事件是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，至少有一件一等品的概率為P4＝eq\f(3,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(9,10)，都不是一等品的概率為P5＝1－eq\f(9,10)＝eq\f(1,10).【答案】③13．隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，他們向上的點數(shù)之和不超過5的概率為p1，點數(shù)之和大于5的概率為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率為p3，則p1，p2，p3的大小順序是________．【解析】隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能的結(jié)果共有36種．事件“向上的點數(shù)之和不超過5”包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共10種，其概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).事件“向上的點數(shù)之和大于5”與“向上的點數(shù)之和不超過5”是對立事件，所以“向上的點數(shù)之和大于5”的概率p2＝eq\f(13,18).因為朝上的點數(shù)之和不是奇數(shù)就是偶數(shù)，所以“點數(shù)之和為偶數(shù)”的概率p3＝eq\f(1,2).故p1＜p3＜p2.【答案】p1＜p3＜p214．在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________．【解析】因為方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.由幾何概型概率公式得所求概率為eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5－0)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)二、解答題(本大題共6個小題，共90分)15．(本小題滿分14分)袋子中裝有大小和形狀相同的小球，其中紅球與黑球各1個，白球n個．從袋子中隨機取出1個小球，取到白球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)記從袋中隨機取出一個小球為白球得2分，為黑球得1分，為紅球不得分．現(xiàn)從袋子中取出2個小球，求總得分為2分的概率．【解】(1)由題意可得eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)設(shè)紅球為a，黑球為b，白球為c1，c2，從袋子中取出2個小球的所有基本等可能事件為：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共有6個，其中得2分的基本事件有(a，c1)，(a，c2)，所以總得分為2分的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).16．(本小題滿分14分)如圖4，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標(biāo)為(1,0)且點C與點D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．圖4(1)求點A，點C，點D的坐標(biāo)；(2)若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，求此點取自陰影部分的概率．【解】(1)由ABCD為矩形，點B的坐標(biāo)為(1,0)知點C的橫坐標(biāo)與點B的橫坐標(biāo)相同，即xC＝1，又因為點C在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上，故yC＝xC＋1＝1＋1＝2，所以點C的坐標(biāo)為(1,2)，因為CD∥AB所以yD＝y(tǒng)C＝2.令－eq\f(1,2)x＋1＝2得x＝－2所以點D的坐標(biāo)為(－2,2)，A點坐標(biāo)為(－2,0)，綜上所述，A(－2,0)，C(1,2)，D(－2,2)．(2)因為S矩形ABCD＝3×2＝6，S陰影＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，所以由幾何概型的概率公式得所求的概率P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).17．(本小題滿分14分)甲乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．(1)若以A表示和為6的事件，求P(A)；(2)現(xiàn)連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事件，C表示乙至少贏兩次的事件，試問B與C是否為互斥事件？為什么？(3)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由．【解】(1)甲、乙出手指都有5種可能，因此基本事件的總數(shù)為5×5＝25，事件A包括甲、乙出的手指的情況有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5種情況，所以P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B與C不是互斥事件．因為事件B與C可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意．(3)這種游戲規(guī)則不公平．由(1)知和為偶數(shù)的基本事件數(shù)為13個，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲贏的概率為eq\f(13,25)，乙贏的概率為eq\f(12,25).所以這種游戲規(guī)則不公平．18．(本小題滿分16分)先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為a，b.(1)求直線ax＋by＋5＝0與圓x2＋y2＝1相切的概率；(2)將a，b,5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率．【解】先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為a，b，包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36個．(1)∵直線ax＋by＋5＝0與圓x2＋y2＝1相切，∴eq\f(5,\r(a2＋b2))＝1，整理得a2＋b2＝25.由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴滿足條件的情況只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3兩種情況．∴直線ax＋by＋5＝0與圓x2＋y2＝1相切的概率是eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)∵三角形的一邊長為5，三條線段圍成等腰三角形，∴當(dāng)a＝1時，b＝5，共1個基本事件；當(dāng)a＝2時，b＝5，共1個基本事件；當(dāng)a＝3時，b＝3,5，共2個基本事件；當(dāng)a＝4時，b＝4,5，共2個基本事件；當(dāng)a＝5時，b＝1,2,3,4,5,6，共6個基本事件；當(dāng)a＝6時，b＝5,6，共2個基本事件．∴滿足條件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14個．∴三條線段能圍成等腰三角形的概率為eq\f(14,36)＝eq\f(7,18).19．(本小題滿分16分)某公務(wù)員去外地開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別是,,，，求：(1)他乘火車或乘飛機去的概率；(2)他不乘輪船去的概率．【解】設(shè)乘火車去開會為事件A，乘輪船去開會為事件B，乘汽車去開會為事件C，乘飛機去開會為事件D，則A，B，C，D彼此互斥且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝.(2)法一：設(shè)不乘輪船去開會為事件E，則P(E)＝P(A＋C＋D)＝P(A)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＝.法二：E與B是對立事件，則P(E)＝1－P(B