高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面解析幾何初步單元測試【全國一等獎】

2．平面上兩點(diǎn)間的距離在一條直線型的河流l的同側(cè)有兩個村莊A、B.現(xiàn)在要在河流旁邊共建造一水廠C向兩個村莊供水，要求從水廠向兩個村莊鋪設(shè)的管道最短，則水廠應(yīng)當(dāng)建在什么地方？我們知道平面上兩點(diǎn)間的連線的長中線段的長最短，那么，應(yīng)當(dāng)鋪設(shè)的管道最短是多少？1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離公式為：P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．特別，當(dāng)直線P1P2垂直于y軸時，P1P2＝|x2－x1|；當(dāng)直線P1P2垂直于x軸時，P1P2＝|y2－y1|；當(dāng)P1，P2中有一個是原點(diǎn)時，則有OP＝eq\r(x21＋y21)_或OP＝eq\r(x22＋y22)．2．利用兩點(diǎn)間的距離公式解決相關(guān)平面幾何問題的基本步驟可歸納為：第一步，建立坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；第二步，進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算；第三步，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．,兩點(diǎn)間的距離公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離公式為：P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別：當(dāng)直線P1P2垂直于y軸時，P1P2＝|x2－x1|；當(dāng)直線P1P2垂直于x軸時，P1P2＝|y2－y1|；當(dāng)P1，P2中有一個是原點(diǎn)時，則有OP＝eq\r(x21＋y21)或OP＝eq\r(x22＋y22).兩點(diǎn)間的距離公式可用來計算平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩已知坐標(biāo)點(diǎn)間的距離，公式的推導(dǎo)體現(xiàn)解析幾何中常用的數(shù)學(xué)思想方法——坐標(biāo)法．通過學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)深刻理會用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本思路．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)知識點(diǎn)一兩點(diǎn)間距離公式的正用1．已知點(diǎn)A(1，3)，B(2，6)，則AB等于________．解析：AB＝eq\r(（1－2）2＋（3－6）2)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)2．三角形ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(3，7)、B(5，－1)、C(－2，－5)，則AB邊中線CD的長是________．解析：由中點(diǎn)公式求出AB邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出CD.答案：103．光線從點(diǎn)A(－3，5)射到直線l：3x－4y＋4＝0以后，再反射到一點(diǎn)B(2，15)．(1)求入射線與反射線的方程；(2)求這條光線從A到B的長度．解析：(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A1(x0，y0)，由直線AA1與已知直線垂直，且AA1中點(diǎn)也在直線上，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－5,x0＋3)＝－\f(4,3)，,3×\f(x0－3,2)－4×\f(y0＋5,2)＋4＝0，))解得x0＝3，y0＝－3，即A1(3，－3)．于是反射光線方程為eq\f(y＋3,15＋3)＝eq\f(x－3,2－3)，即18x＋y－51＝0.同理B1(14，－1)，入射光線方程為6x＋17y－67＝0.(2)光線從A到B的長度，利用線段的垂直平分線性質(zhì)，即得AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝eq\r(（3－2）2＋（－3－15）2)＝5eq\r(13).知識點(diǎn)二兩點(diǎn)間距離公式的逆用4．已知點(diǎn)M(a，0)到點(diǎn)A(5，12)的距離為13，則a的值為________．解析：由兩點(diǎn)間的距離公式得eq\r(（5－a）2＋（12－0）2)＝13，解得a＝0或10.答案：0或105．與兩點(diǎn)A(－2，2)、B(2，4)等距離，且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析：設(shè)點(diǎn)P(a，0)或(0，b)由兩點(diǎn)間的距離公式計算．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))和(0，3)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)綜合點(diǎn)一兩點(diǎn)間距離公式的綜合應(yīng)用6．已知A(5，2a－1)、B(a＋1，a－4)，則AB的最小值是________解析：由兩點(diǎn)間的距離公式得AB＝eq\r(（a－4）2＋（a－4－2a＋1）2)＝eq\r(2a2－2a＋25)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(49,2))≥eq\f(7\r(2),2).答案：eq\f(7\r(2),2)7．光線從點(diǎn)A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B的距離為________．解析：A(－3，5)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A′(－3，－5)，故A到B的距離即為A′B＝eq\r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝eq\r(250)＝5eq\r(10).答案：5eq\r(10)8．過點(diǎn)P(2，1)作直線l交x，y正半軸于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)PA·PB取到最小值時，求直線l的方程．解析：設(shè)直線l的方程為：y－1＝k(x－2)(k≠0)，令y＝0，解得x＝2－eq\f(1,k)；令x＝0，解得y＝1－2k.∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0，1－2k)．∴PA·PB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))（4＋4k2）)＝eq\r(8＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2))))≥eq\r(8＋4×2)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1即k＝±1時，PA·PB取到最小值．又根據(jù)題意k＜0，∴k＝－1.所以直線l的方程為：x＋y－3＝0.綜合點(diǎn)二兩點(diǎn)間距離公式在幾何證明題中的應(yīng)用9．已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)．求證：△ABC為等腰直角三角形．證明：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AB＝eq\r(（－3－3）2＋（1＋3）2)＝2eq\r(13)，BC＝eq\r(（3－1）2＋（－3－7）2)＝2eq\r(26)，CA＝eq\r(（－3－1）2＋（1－7）2)＝2eq\r(13)，∴AB＝CA，且AB2＋CA2＝BC2.故△ABC為等腰直角三角形．綜合點(diǎn)三兩點(diǎn)間距離公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用10．甲船在某港口東50km，乙船在同一港口的東14km，南18km處，解析：以某港口為坐標(biāo)原點(diǎn)建系后得甲船坐標(biāo)為(50，0)，乙船坐標(biāo)為(14，－18)，由兩點(diǎn)間距離公式得甲、乙兩船的距離為eq\r(（50－14）2＋（0＋18）2)＝18eq\r(5).答案：1811．已知0<x<1，0<y<1.求證：eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x2＋（1－y）2)＋eq\r(（1－x）2＋y2)＋eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)≥2eq\r(2)，并求等號成立的條件．證明：設(shè)四邊形OABC是正方形，O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)，設(shè)P(x，y)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，如下圖，PO＝eq\r(x2＋y2)，PA＝eq\r(（1－x）2＋y2)，PB＝eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)，PC＝eq\r(x2＋（1－y）2)，OB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(2).因?yàn)镻O＋PB≥BO，PA＋PC≥AC，所以PO＋PB＋PA＋PC≥BO＋