高中數(shù)學北師大版第一章數(shù)列等比數(shù)列 2023版第3章1不等關系

§1不等關系1．1不等關系1．2不等關系與不等式1．了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系．2．了解不等式(組)的實際背景．(難點)3．能用作差法比較大?。?重點)[基礎·初探]教材整理1不等式中的數(shù)學符號閱讀教材P69～P71“練習”以上部分，完成下列問題．兩個數(shù)或代數(shù)式常用以下數(shù)學符號連接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”．文字語言數(shù)學符號文字語言數(shù)學符號大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤(1)某隧道入口處豎立著“限高4.5米”的警示牌是指示司機要安全通過隧道，應使車載貨物高度h滿足關系為________．(2)“a與b的差是非負數(shù)”的不等關系是________．【解析】(1)限高米是指車輛及載物高度不高于米，即h≤.(2)非負數(shù)是指0或正數(shù)，故a－b≥0.【答案】(1)h≤(2)a－b≥0教材整理2比較大小閱讀教材P72～P73“練習”以上部分，完成下列問題．1．作差法比較兩實數(shù)大小依據(jù)如果a－b＞0，那么a＞b.如果a－b＜0，那么a＜b.如果a－b＝0，那么a＝b.結(jié)論確定任意兩個實數(shù)a，b的大小關系，只需確定它們的差a－b與0的大小關系.2．不等式的性質(zhì)1．對稱性：若a＞b，則b＜a；若b＜a，則a＞b.2．傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c.3．同向可加性：若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.4．同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd.5．乘方法則：若a＞b＞0，則an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．6．開方法則：若a＞b＞0，則eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N＋，且n≥2)．7．同號取倒數(shù)反序性：若a＞b，ab＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當x＝2時，x≥2一定成立．()(2)a2一定大于a.()(3)若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).()【解析】(1)“≥”表示大于或等于．(2)a＝0時，a2＝a.(3)若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；當a＝2，b＝－1時不成立．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]用不等式(組)表示不等關系某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式．【精彩點撥】認真分析題意，留意所給材料中的每個數(shù)字，弄清其出現(xiàn)的意義，寫出所能表達的每一個不等式．【嘗試解答】設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．根據(jù)題意，應有如下的不等關系：(1)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)；(2)車隊每天至少要運360t礦石；(3)甲型卡車不能超過4輛，乙型卡車不能超過7輛．用關于x，y的不等式表示上述不等關系即可．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，且x∈N，,0≤y≤7，且y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,5x＋4y≥30，,0≤x≤4，且x∈N，,0≤y≤7，且y∈N.))1．此類問題的難點是如何正確地找出題中的顯性不等關系和隱性不等關系，如本例中駕駛員的人數(shù)限制了車輛數(shù)，所以甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)，這個不等關系易被忽略．2．當問題中同時滿足幾個不等關系，則應用不等式組來表示它們之間的不等關系，另外若問題有幾個變量，就選用幾個字母分別表示這些變量即可．像本題就是用含有兩個字母x，y的不等式組來表示它們之間的不等關系的．[再練一題]1．某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍，請寫出滿足上述所有不等關系的不等式．【解】設截得的500mm鋼管x根，截得的600mm鋼管y根．根據(jù)題意，應滿足的不等關系為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4000，,3x≥y，,x∈N，,y∈N.))比較兩個數(shù)(式)的大小已知A＝(x＋1)(x＋5)，B＝(x＋3)2，試比較A與B的大?。揪庶c撥】利用作差法比較大?。緡L試解答】A－B＝(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2＝x2＋6x＋5－(x2＋6x＋9)＝－4＜0，∴A－B＜0，即A＜B.比較兩數(shù)(式)大小的方法：(1)作差法作差法是比較兩數(shù)(式)大小的常用方法，其一般步驟是：①作差．②變形．常采用因式分解(將“差”化成“積”)或配方(將“差”化為常數(shù)與n個平方和的形式)等恒等變形手段．③定號．作差法一般是將差化成非負數(shù)和的形式或因式乘積形式，即P－Q＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)或P－Q＝b1·b2…bn，以便判斷差值的符號．④得出結(jié)論．(2)作商法①作商法適合于以冪、指數(shù)或絕對值等形式出現(xiàn)的兩數(shù)(式)的大小比較．②對于a>0，b>0，則有eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<b.作商法一般將結(jié)果化為eq\f(a,b)＝1±m(xù)(0＜m＜1)的形式，以便確定商與1的大小關系．③若a<0，b<0，可通過先比較－a與－b的大小來比較a與b的大?。甗再練一題]2．已知x＜1，比較x3－1與2x2－2x的大小.【導學號：47172033】【解】(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，∴當x＜1時，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.[探究共研型]不等式的性質(zhì)探究1初中已經(jīng)學過不等式的性質(zhì)，請同學們回憶初中不等式的基本性質(zhì)有哪些？【提示】(1)a＞b?a±c＞b±c；(2)a＞b，c＞0?ac＞bc，eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)；(3)a＞b，c＜0?ac＜bc，eq\f(a,c)＜eq\f(b,c).探究2如何用不等式表示“兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得的不等式與原不等式同向”？想一想如何證明表示出的不等式？【提示】如果a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.證明如下：因為a＞b，所以a＋c＞b＋c，又因為c＞d，所以b＋c＞b＋d，根據(jù)不等式的傳遞性得a＋c＞b＋d.探究3如果a＞b＞0，c＞d＞0.如何證明ac＞bd?【提示】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0,c＞0))?ac＞bc＞0,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c＞d＞0,b＞0))?bc＞bd＞0))?ac＞bd.設f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．【精彩點撥】用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范圍求f(－2)的取值范圍．【嘗試解答】由f(x)＝ax2＋bx得f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b設f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范圍為[5,10]．1．不等式的性質(zhì)是不等式變形的基礎，是解不等式和證明不等式的主要依據(jù)，應熟練掌握．2．本例中如果由1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4得到a，b的取值范圍，再求f(－2)的取值范圍，那么得到的結(jié)果不是正確答案．這是因為求得的a，b的取值范圍與已知條件不是等價關系．[再練一題]3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．【解】∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).將兩式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2).又α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0，故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.綜上所述，－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.1．下面列出的不等式中，正確的是()A．a(chǎn)不是負數(shù)，可表示成a＞0B．x不大于3，可表示成x＜3C．m與4的差是負數(shù)，可表示成m－4＜0D．x與2的和是非負數(shù)，可表示成x＋2＞0【解析】a不是負數(shù)，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m與4的差是負數(shù)，可表示成m－4＜0；x與2的和是非負數(shù)，可表示成x＋2≥0.【答案】C2．李輝準備用自己節(jié)省的零花錢買一臺復讀機，他現(xiàn)在已存60元，計劃從現(xiàn)在起以后每個月節(jié)省30元，直到他至少有400元，設x個月后他至少有400元，則可以用于計算所需要的月數(shù)x的不等式是()A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋60≤400【解析】x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.【答案】B3．若8＜x＜10,2＜y＜4，則eq\f(x,y)的取值范圍為________．【解析】∵2＜y＜4，∴eq\f(1,4)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,2)，又8＜x＜10，∴2＜eq\f(x,y)＜5.【答案】(2,5)4．下列命題中，真命題是________．①若a＞b＞0，則eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)；②若a＞b，則c－2a＜c－2b；③若a＞b，e＞f，則f－ac＜e－bc；④若a＞b，則lga＞lgb.【解析】對①，a＞b＞0?0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)?eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)；對②，a＞b?－2a＜－2b?c－2a＜c－2b；對③，取a＝2，b＝e＝1，f＝0，c＝－1，則f－ac＜e－bc不成立；對④，當a＜0或b＜0時lga，lgb無意義，故④不正確．【答案】①②5．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大小.【導學號：47