高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程單元測(cè)試 省獲獎(jiǎng)2

第二章2一、選擇題1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，則方程的曲線是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780440)()A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線[答案]D[解析]方程mx2－my2＝n可化為：eq\f(y2,－\f(n,m))－eq\f(x2,－\f(n,m))＝1，∵mn<0，∴－eq\f(n,m)>0，∴方程的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．2．雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為12，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780441)()A．22或2 B．7C．22 D．2[答案]A[解析]∵a2＝25，∴a＝5，由雙曲線定義可得||PF1|－|PF2||＝10，由題意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2.3．若k∈R，方程eq\f(x2,k＋3)＋eq\f(y2,k＋2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780442)()A．－3<k<－2 B．k<－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2[答案]A[思路分析]由于方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故k＋3>0，k＋2<0.[解析]由題意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋3>0,k＋2<0))，解得－3<k<－2.4．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m2)＝1與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點(diǎn)，則m的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780443)()A．±1 B．1C．－1 D．不存在[答案]A[解析]驗(yàn)證法：當(dāng)m＝±1時(shí)，m2＝1，對(duì)橢圓來說，a2＝4，b2＝1，c2＝3.對(duì)雙曲線來說，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故當(dāng)m＝±1時(shí)，它們有相同的焦點(diǎn)．直接法：顯然雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.5．(2023·福建八縣一中高二期末測(cè)試)△ABC中，A(－5,0)、B(5,0)，點(diǎn)C在雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，則eq\f(sinA－sinB,sinC)＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780444)()\f(3,5) B．±eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．±eq\f(4,5)[答案]D[解析]在△ABC中，sinA＝eq\f(|BC|,2R)，sinB＝eq\f(|AC|,2R)，sinC＝eq\f(|AB|,2R)＝eq\f(10,2R).∴eq\f(sinA－sinB,sinC)＝eq\f(\f(|BC|－|AC|,2R),\f(10,2R))＝eq\f(|BC|－|AC|,10).又∵|BC|－|AC|＝±8，∴eq\f(sinA－sinB,sinC)＝±eq\f(8,10)＝±eq\f(4,5).6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長(zhǎng)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780445)()A．16 B．18C．21 D．26[答案]D[解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.二、填空題7．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－6)，經(jīng)過點(diǎn)A(－5，6)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780446)[答案]eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1[解析]解法一：由已知得，c＝6，且焦點(diǎn)在y軸上，則另一焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,6)．因?yàn)辄c(diǎn)A(－5,6)在雙曲線上，所以點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a2a＝|eq\r(－52＋6＋62)－eq\r(－52＋6－62)|＝|13－5|＝8，得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.解法二：由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c＝6，∴a2＋b2＝36，∴雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,36－a2)＝1.∵雙曲線過點(diǎn)A(－5,6)，∴eq\f(36,a2)－eq\f(25,36－a2)＝1，∴a2＝16，b2＝20.雙曲線方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.8．已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則雙曲線的方程為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780447)[答案]eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1[解析]橢圓的焦點(diǎn)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由條件知，雙曲線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，可得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(eq\r(15)，4)、B(－eq\r(15)，4)，由點(diǎn)A在雙曲線上知，eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝5)).∴所求曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.三、解答題9．已知雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn)M(1,1)、N(－2,5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780448)[解析]設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，將點(diǎn)M(1,1)、N(－2,5)代入上述方程，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1,4m＋25n＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(8,7),n＝－\f(1,7))).所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(7,8))－eq\f(y2,7)＝1.10．如圖所示，已知定圓F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圓F2：x2＋y2－10x＋9＝0，動(dòng)圓M與定圓F1、F2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780449)[解析]圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1.圓F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圓心F2(5,0)，半徑r2＝4.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3.∴M點(diǎn)軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5.∴b2＝c2－a2＝eq\f(91,4).∴雙曲線方程為eq\f(4x2,9)－eq\f(4y2,91)＝1(x≤－eq\f(3,2)).一、選擇題1．已知F1(－8,3)，F(xiàn)2(2,3)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a＝3和a＝5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡分別為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780450)()A．雙曲線和一條直線B．雙曲線的一支和一條直線C．雙曲線和一條射線D．雙曲線的一支和一條射線[答案]D[解析]|F1F2|＝eq\r(－8－22＋3－32)＝10a＝3時(shí)，|PF1|－|PF2|＝6<10∴P點(diǎn)軌跡為靠近F2的雙曲線一支a＝5時(shí)，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2∴P點(diǎn)軌跡為靠近F2的一條射線．2．已知雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若雙曲線的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|NO|等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780451)()\f(2,3) B．1C．2 D．4[答案]D[解析]NO為△MF1F2的中位線，所以|NO|＝eq\f(1,2)|MF1|，又由雙曲線定義知，|MF2|－|MF1|＝10，因?yàn)閨MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故選D.3．設(shè)F1、F2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780452)()A．4eq\r(2) B．8eq\r(3)C．24 D．48[答案]C[解析]由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2∴△PF1F2為直角三角形，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝24.4．設(shè)F為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左焦點(diǎn)，在x軸上F點(diǎn)的右側(cè)有一點(diǎn)A，以FA為直徑的圓與雙曲線左、右兩支在x軸上方的交點(diǎn)分別為M、N，則eq\f(|FN|－|FM|,|FA|)的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780453)()\f(2,5) B．eq\f(5,2)\f(5,4) D．eq\f(4,5)[答案]D[解析]對(duì)點(diǎn)A特殊化，不妨設(shè)點(diǎn)A為雙曲線的右焦點(diǎn)，依題意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，eq\f(|FN|－|FM|,|FA|)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，選D.二、填空題5．已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780454)[答案]9[解析]∵F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，∴a＝2，b＝2eq\r(3)，c＝4，F(xiàn)(－4,0)，右焦點(diǎn)H(4,0)由雙曲線定義|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|＝4＋eq\r(4－12＋0－42)＝96．(2023·濰坊高二檢測(cè))已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|PF1|·|PF2|＝2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780455)[答案]eq\f(x2,4)－y2＝1[解析]雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，|F1F2|＝2c＝2eq\r(5)由雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝2∴|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2∵PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20代入①∴a2＝4，又c＝eq\r(5)，∴b2＝c2－a2＝1∴雙曲線方程eq\f(x2,4)－y2＝1.三、解答題7．當(dāng)0°≤α≤180°時(shí)，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線怎樣變化？eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780456)[解析](1)當(dāng)α＝0°時(shí)，方程為x2＝1，它表示兩條平行直線x＝1和x＝－1.(2)當(dāng)0°<α<90°時(shí)，方程為eq\f(x2,\f(1,cosα))＋eq\f(y2,\f(1,sinα))＝1.①當(dāng)0°<α<45°時(shí)，0<eq\f(1,cosα)<eq\f(1,sinα)，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．②當(dāng)α＝45°時(shí)，它表示圓x2＋y2＝eq\r(2).③當(dāng)45°<α<90°時(shí)，eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0，它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．(3)當(dāng)α＝90°時(shí)，方程為y2＝1，它表示兩條平行直線y＝1和y＝－1.(4)當(dāng)90°<α<180°時(shí)，方程為eq\f(y2,\f(1,sinα))－eq\f(x2,\f(1,－cosα))＝1，它表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(5)當(dāng)α＝180°時(shí)，方程為x2＝－1，它不表示任何曲線．8．在△ABC中，A、B、C所對(duì)三邊分別為a、b、c，B(－1,0)、C(1,0)，求滿足sinC－sinB＝eq\f(1,2)sinA時(shí)，頂點(diǎn)A的軌跡，并畫出圖形.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780457)[解析]∵sinC－sinB＝eq\f(1,2)sinA，∴c－b＝eq\f(1,2)a