高中數學蘇教版第2章函數函數的簡單性質 市一等獎

一、填空題1.函數f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關于點__________成中心對稱．2.下列結論中正確的是________．(填序號)①偶函數的圖象一定與y軸相交；②奇函數的圖象一定過原點；③偶函數的圖象關于y軸對稱；④有的函數可能既是奇函數又是偶函數．3.若函數f(x)＝eq\f(k,x－1)在(－∞，m)(m∈R)上是減函數，則函數g(x)＝kx2－2kx＋1的單調遞增區(qū)間是__________．4.若f(x)＝ax9＋bx5－cx－3，且f(－6)＝8，則f(6)＝________．5.已知函數f(x)在區(qū)間(－∞，0]上是增函數，函數y＝f(x＋1)是偶函數，則f(－4)，f(2)，f(4)之間的大小關系是________________．6.已知函數y＝f(x)是奇函數，當x<0時，f(x)＝x2＋ax(a∈R)，且f(2)＝6，則a＝__________．7.已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))則f[f(－2)]＝________，f(x)的最小值是________．8.已知偶函數f(x)在(－∞，0]上是減函數，且f(3)＝0，則關于x的不等式f(x－1)<0的解集是____________．9.若函數f(x)＝eq\f(|x－2|＋a,\r(4－x2))的圖象關于原點對稱，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝__________．10.下列命題正確的是__________．(填序號)①函數y＝ln(3－x)的定義域為(－∞，3]；②定義在[a，b]上的偶函數f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值為5；③若命題p：對任意x∈R，都有x2－x＋m≥0，則m≥eq\f(1,4)；④若a＞0，b＞0，a＋b＝4，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為1.二、解答題11.已知奇函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0.))(1)求實數m的值，并畫出函數y＝f(x)的簡圖；(2)若函數f(x)在區(qū)間[－1，|a|－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．已知函數f(x)＝eq\f(x＋b,ax2＋c)(a>1)是奇函數，f(1)＝eq\f(1,5)，且關于x的方程f(x)＝eq\f(1,4)有等根．(1)求a，b，c的值；(2)判斷并證明函數f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的單調性．已知函數f(x)＝x2＋2ax＋6(a∈R)．(1)若f(x)在區(qū)間(－∞，1]上是減函數，求f(1)的取值范圍；(2)若f(x)在實數集R上的值域是[0，＋∞)，求a的值；(3)求f(x)在區(qū)間[－1，2]上的最小值．

1.(0，0)解析：易知函數f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱．2.③④解析：函數y＝eq\f(1,x2)是偶函數，但不與y軸相交，故①錯誤；函數y＝eq\f(1,x)是奇函數，但不過原點，故②錯誤；由偶函數的性質，知③正確；函數f(x)＝0既是奇函數又是偶函數，故④正確．3.[1，＋∞)解析：∵f(x)＝eq\f(k,x－1)在(－∞，m)上是減函數，∴反比例函數y＝eq\f(k,x)在(－∞，0)上是減函數，∴k>0，∴二次函數g(x)＝kx2－2kx＋1的單調遞增區(qū)間是[1，＋∞)．4.－14解析：令g(x)＝f(x)＋3，則g(x)＝ax9＋bx5－cx，g(x)為奇函數，g(－6)＝－g(6)，即f(－6)＋3＝－[f(6)＋3]，8＋3＝－f(6)－3，f(6)＝－14.5.f(－4)＜f(4)＜f(2)解析：∵y＝f(x＋1)是偶函數，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1＋1)＝f(0)，f(4)＝f(3＋1)＝f(－3＋1)＝f(－2)．又－4＜－2＜0，且f(x)在區(qū)間(－∞，0]上是增函數，∴f(－4)＜f(－2)＜f(0)，即f(－4)＜f(4)＜f(2)．6.5解析：∵f(x)是奇函數，∴f(2)＝－f(－2)＝－4＋2a＝6，解得a＝5.7.－eq\f(1,2)2eq\r(6)－6解析：∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－eq\f(1,2)；當x≤1時，f(x)＝x2≥0；當x>1時，f(x)＝x＋eq\f(6,x)－6，容易證明f(x)在(1，eq\r(6)]上是減函數，在[eq\r(6)，＋∞)上是增函數，∴當x>1時，f(eq\r(6))≤f(x)，即當x>1時f(x)≥2eq\r(6)－6.又2eq\r(6)－6<0，∴函數f(x)的最小值為2eq\r(6)－6.8.(－2，4)解析：∵f(x)是偶函數，∴f(x－1)＝f(|x－1|)．又f(3)＝0，∴不等式f(x－1)<0等價于f(|x－1|)＜f(3)．又偶函數f(x)在(－∞，0]上是減函數，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函數．由f(|x－1|)＜f(3)得|x－1|＜3，解得－2＜x＜4.9.eq\f(\r(3),3)解析：∵函數f(x)的圖象關于原點對稱，∴f(x)是奇函數，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，∴eq\f(|0－2|＋a,\r(4－02))＝0，解得a＝－2，∴f(x)＝eq\f(|x－2|－2,\r(4－x2))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝f(－1)＝eq\f(\r(3),3).10.②③④解析：命題①中，函數的定義域是(－∞，3)，故命題①不正確；命題②中，若已知函數是偶函數，則必有a＝－5，b＝5，即函數f(x)＝x2＋5，x∈[－5，5]，其最小值為5，命題②正確；∵－m≤x2－x對x∈R恒成立，x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)的最小值是－eq\f(1,4)，∴－m≤－eq\f(1,4)，m≥eq\f(1,4)，命題③正確；命題④中，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)(a＋b)·(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(1,4)(2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(1,4)(2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b)))＝1(當且僅當a＝b＝2時，等號成立)，命題④正確．11.解：(1)∵函數f(x)是奇函數，∴f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－1，∴m＝2，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋2x，x<0.))函數f(x)圖象如圖．(2)從函數f(x)圖象可知f(x)的單調遞增區(qū)間是[－1，1]，∴－1＜|a|－2≤1，解得1＜a≤3或－3≤a＜－1.∴實數a的取值范圍是{a|1＜a≤3或－3≤a＜－1}．12.解：(1)∵f(－x)＝－f(x)，eq\f(－x＋b,ax2＋c)＝－eq\f(x＋b,ax2＋c)，顯然ax2＋c不等于0，∴－x＋b＝－x－b，b＝0，∴f(x)＝eq\f(x,ax2＋c).又f(1)＝eq\f(1,a＋c)＝eq\f(1,5)，c＝5－a，f(x)＝eq\f(x,ax2＋5－a)，∴方程f(x)＝eq\f(1,4)，即eq\f(x,ax2＋5－a)＝eq\f(1,4)，可化為ax2－4x＋5－a＝0.∵方程ax2－4x＋5－a＝0兩根相等，∴a≠0且Δ＝16－4a(5－a)＝16－20a＋4a2＝0，解得a＝1(不合，舍去)或4.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,c＝1.))(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4x2＋1)，函數f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是減函數．證明如下：設x2＞x1≥eq\f(1,2)，則f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2,4xeq\o\al(2,2)＋1)－eq\f(x1,4xeq\o\al(2,1)＋1)＝eq\f(4xeq\o\al(2,1)x2＋x2－4x1xeq\o\al(2,2)－x1,（4xeq\o\al(2,1)＋1）（4xeq\o\al(2,2)＋1）)＝eq\f(（x2－x1）（1－4x1x2）,（4xeq\o\al(2,1)＋1）（4xeq\o\al(2,2)＋1）).∵x2＞x1≥eq\f(1,2)，∴x2－x1>0，1－4x1x2<0，4xeq\o\al(2,1)＋1>0，4xeq\o\al(2,2)＋1>0，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在區(qū)間[eq\f(1,2)，＋∞)上是減函數．13.解：(1)∵函數f(x)圖象的對稱軸方程是x＝－a，f(x)在區(qū)間(－∞，1]上是減函數，∴－a≥1，a≤－1.又f(1)＝7＋2a，7＋2a≤5，∴f(1)的取值范圍是(－∞，5]．(2)∵f(x)在實數集R上的值域是[0，＋∞)，∴f(x)min＝f(－a)＝6－a2＝0，解得a