一元線性回歸模型(第四次課)

溫故知新

四、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

2、隨機誤差項的方差2的估計由于隨機項i不可觀測，只能從i的估計——殘差ei出發(fā)，對總體方差進行估計。

可以證明，2的最小二乘估計量為(課本P36-P37，2.32-2.35)它是關(guān)于2的無偏估計量。

§2.3一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗

二、變量的顯著性檢驗三、回歸方程的顯著性檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。

度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數(shù)（樣本決定系數(shù)）R2作用擬合度指回歸直線與樣本數(shù)據(jù)趨勢的吻合程度。雖然OLS有好的性質(zhì)，但并不保證具體模型的參數(shù)估計結(jié)果理想。因為模型假設(shè)不一定真正成立，而且數(shù)據(jù)等情況也有差異。擬合度取決于（1）回歸方法；（2）變量關(guān)系；（3）擾動因素。

1、總離差平方和的分解

對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares

）TSS=ESS+RSS在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS樣本決定系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。經(jīng)變換發(fā)現(xiàn)，R與X,Y的相關(guān)系數(shù)r值相同?？赏ㄟ^R與r進行X與Y的線性相關(guān)性檢驗，查書后附表1。

二、變量的顯著性檢驗

回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。即判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性檢驗。

變量的顯著性檢驗所應用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學中的假設(shè)檢驗。

計量經(jīng)計學中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。

1、假設(shè)檢驗

所謂假設(shè)檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的

2、變量的顯著性檢驗

當總體方差已知時，估計量標準化后仍服從正態(tài)分布當總體方差未知時，且小樣本情況下，則用代替估計量標準化后服從自由度與Se2相同的t分布

檢驗步驟：

（1）對總體參數(shù)提出假設(shè)

H0：1=0，H1：10（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t/2(n-2)(4)比較，判斷若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0

，接受H1

；

若|t|

t/2(n-2)，則拒絕H1

，接受H0

；

對于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗：

t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；

|t2|<2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。

回歸方程的顯著性檢驗總離差平方和分解式：自由度：可自由取值變量個數(shù)受約束，自由度為n-1回歸平方和的自由度取決于解釋變量的個數(shù)回歸平方和的自由度與總殘差平方和的自由度之和等于總平方和的自由度，因此，殘差平方和自由度為n-2回歸方程的顯著性檢驗可以證明：服從各自自由度的卡方分布分布設(shè)Yi~N(μ，σ2)，則，Yi=（Yi-μ）/σ~N（0，1）χ2分布：F分布：設(shè)U是服從自由度為n1的χ2分布的隨機變量，即U~χ2(n1)，V是服從自由度為n2的χ2分布的隨機變量，即V~χ2(n2)，且U和V相互獨立，則：

檢驗步驟：

（1）對總體參數(shù)提出假設(shè)

H0：1=0，H1：10（2）計算統(tǒng)計量（3）給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值F(1,n-2)(4)比較，判斷若F>F

(1,n-2)，則拒絕H0

，接受H1

；

若F

F(1，n-2)，則拒絕H1

，接受H0

；§2.4一元線性回歸分析的應用：預測問題

一、?0的點預測二、區(qū)間預測

對于一元線性回歸模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預測值?0

。

注意：嚴格地說，這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。原因:（1）參數(shù)估計量不確定；（2）隨機項的影響2、單個值的區(qū)間估計

由Y0=0+1X0+

知:

于是

式中

:從而在1-的置信度下，Y0的置信區(qū)間為

故

其中于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為

均值的區(qū)間估計

作為的預測值，由于在上述收入-消費支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為

則在X0=1000處，?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為：

673.84-2.30661.05<E(Y|X=1000)<673.84+2.30661.05或

（533.05,814.62）

同樣地，對于Y在X=1000的個體值，其95%的置信區(qū)間為：

673.84-2.306131.2<Yx=1000<673.84+131.2或(372.03,975.65)總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidenceband）個體的置信帶（域）

對于Y的總體均值E(Y|X)與個體值的預測區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預測精度越高，反之預測精度越低；（2）樣本容量一定時，置信帶的寬度當在X均值處最小，其附近進行預測（插值預測）精度越大；X越遠離其均值，置信帶越寬，預測可信度下降。§2.5實例：時間序列問題

一、中國居民人均消費模型

二、時間序列問題

一、中國居民人均消費模型

例2.5.1

考察中國居民收入與消費支出的關(guān)系。GDPP：

人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（1990年不變價）CONSP：人均居民消費（以居民消費價格指數(shù)（1990=100）縮減）。該兩組數(shù)據(jù)是1978~2000年的時間序列數(shù)據(jù)（timeseriesdata）；

1、建立模型

擬建立如下一元回歸模型

采用Eviews軟件進行回歸分析的結(jié)果見下表

前述收入-消費支出例中的數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)（cross-sectionaldata）。一般可寫出如下回歸分析結(jié)果：

(13.51)(53.47)R2=0.9927F=2859.23DW=0.5503

2、模型檢驗

R2=0.9927T值：C：13.51，GDPP：53.47

臨界值:t0.05/2(21)=2.08斜率項：0<0.3862<1，符合絕對收入假說3、預測

2001年：GDPP=4033.1（元）（90年不變價）點估計：CONSP2001=201.107+0.38624033.1=1758.7（元）

2001年實測的CONSP（1990年價）:1782.2元，

相對誤差:-1.32%。

2001年人均居民消費的預測區(qū)間

人均GDP的樣本均值與樣本方差：

E(GDPP)=1823.5Var(GDPP)=982.042=964410.4

在95%的置信度下，E(CONSP2001)的預測區(qū)間為：

=1758.740.13或：（1718.6,1798.8）

同樣地，在95%的置信度下，CONSP2001的預測區(qū)間為：

=1758.786.57或

（1672.1,18