高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步學(xué)業(yè)分層測評4

學(xué)業(yè)分層測評(四)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、填空題1．經(jīng)過空間任意三點可以作________個平面．【解析】若三點不共線，只可以作一個平面；若三點共線，則可以作出無數(shù)個平面．【答案】一個或無數(shù)2．下面是四個命題的敘述(其中A，B表示點，a表示直線，α表示平面)：①∵A?α，B?α，∴AB?α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A?α，a?α，∴A?a.其中，命題敘述方式和推理都正確的命題是________．【解析】①錯，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；②錯，應(yīng)寫為AB?α；③正確．【答案】③3．空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中________．①必有三點共線；②必有三點不共線；③至少有三點共線；④不可能有三點共線．【解析】如圖(1)(2)所示，①③④均不正確，只有②正確，如圖(1)中A，B，D不共線．(1)(2)【答案】②4．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.【解析】因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.【答案】∈5．如圖1-2-10所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論錯誤的是圖1-2-10①A，M，O三點共線；②A，M，O，A1四點共面；③A，O，C，M四點共面；④B，B1，O，M四點共面．【解析】因為A，M，O三點既在平面AB1D1內(nèi)，又在平面AA1C內(nèi)，故A，M，O三點共線，從而易知①②③【答案】④6．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是________．【解析】∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點共線．【答案】共線7．如圖1-2-11所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖形是________．(把正確圖形的序號都填上)圖1-2-11【解析】圖形①中，連結(jié)MN，PQ，則由正方體的性質(zhì)得MN∥PQ.根據(jù)推論3可知兩條平行直線可以確定一個平面，故圖形①正確．分析可知圖形②④中這四點均不共面．③中四點恰是正六邊形的四點，故③正確．【答案】①③8．如圖1-2-12所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1C與平面BDPQ的交線是__________.【導(dǎo)學(xué)號：6042023圖1-2-12【解析】因為N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C與平面BDPQ【答案】MN二、解答題9.如圖1-2-13，點A?平面BCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，EH與FG交于點K，求證：點K在直線BD上．圖1-2-13【證明】∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH?平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直線BD上．10．如圖1-2-14，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：D1，E，F(xiàn)，B圖1-2-14【證明】因為D1，E，F(xiàn)三點不共線，所以D1，E，F(xiàn)三點確定一個平面α.由題意得，D1E與DA共面于平面A1D且不平行，如圖．分別延長D1E與DA相交于G，所以G∈直線D1E，所以G∈平面α.同理設(shè)直線D1F與DC的延長線交于H，則H∈平面α又點G，B，H均在平面AC內(nèi)，且點E是AA1的中點，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB為等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共線于GH，又GH?平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F(xiàn)，B共面．[能力提升]1．(2023·聊城高一檢測)如圖1-2-15，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是________．圖1-2-15【解析】因D，E兩點都在α內(nèi)，也都在平面ABC內(nèi)，故DE是△ABC與平面α的交線．又∵P在α內(nèi)，也在平面ABC內(nèi)，故P點在△ABC與平面α的交線DE上．【答案】P∈DE2．平面α∩平面β＝l，點M∈α，N∈α，點P∈β且P?l，又MN∩l＝R，過M，N，R三點所確定的平面記為γ，則β∩γ＝________.【解析】如圖，MN?γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.【答案】直線PR3．正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么過P，Q，R的截面圖形是【解析】如圖所示，取C1D1的中點E，連結(jié)RE，REeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))PQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中點F，G.∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，GE∥PF，綜上E，G，F(xiàn)，P，Q，R共面，∴截面圖形為正六邊形．【答案】正六邊形4．在棱長是a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點，過D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線(1)畫出交線l；(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長；(3)求點D1到l的距離．【解】(1)如圖，延長DM交D1A1的延長線于點Q，則點Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個公共點．連結(jié)QN，則直線QN就是兩平面的交線(2)∵M是AA1的中點，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中點．又∵A1P∥D1N，∴A1P＝eq\f(1,2)D1N.∵N是D1C1的中點，∴A1P＝eq\f(1,4)D1C1＝eq\f(a,4)，∴PB1＝A1B1－A1P＝eq\f(3,4)a.(3)過點D1作D1H⊥PN于點H，則D1H的長就是點D1到l的距離．∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝eq\f(a,2)，∴QN＝eq\r(QD\o\a