高中數(shù)學人教A版5用數(shù)學歸納法證明不等式

第四講一一、選擇題1．下列命題中能用數(shù)學歸納法證明的是()A．三角形的內(nèi)角和為180°B．(1－n)(1＋n＋n2＋…＋n100)＝1－n101(n∈R)\f(1,nn＋1)＋eq\f(1,n＋1n＋2)＋eq\f(1,n＋2n＋3)＝eq\f(3,nn＋3)(n＞0)D．cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝eq\f(sin2α,2sinα)(sinα≠0，n∈N＋)解析：因為數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，只有D符合要求．答案：D2．某個命題：(1)當n＝1時，命題成立(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時成立，可以推出n＝k＋2時也成立，則命題對________成立()A．正整數(shù) B．正奇數(shù)C．正偶數(shù) D．都不是解析：由題意知，k＝1時，k＋2＝3；k＝3時，k＋2＝5，依此類推知，命題對所有正奇數(shù)成立．答案：B3．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3正確B．假使n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1正確C．假使n＝k時正確，再推n＝k＋1正確D．假使n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(以上k∈N*)解析：因為是奇數(shù)，所以排除C、D，又當k∈N*時，A中2k＋1取不到1，所以選B.答案：B4．空間中有n個平面，它們中任何兩個不平行，任何三個不共線，設(shè)k個這樣的平面把空間分成f(k)個區(qū)域，則k＋1個平面把空間分成的區(qū)域數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋________.()A．k＋1 B．kC．k－1 D．2k解析：空間中有個平面，它們中任何兩個不平行，任何三個不共線，則當n＝k＋1時，即增加一個平面，所以與k個平面都相交有k條交線，一條交線把平面分成兩部分，所以k條交線把平面分成2k部分；一部分平面又把空間分為兩部分，故新增加的空間區(qū)域為2k部分．答案：D二、填空題5．用數(shù)學歸納法證明eq\f(1,2)＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝eq\f(1,sinα)·sineq\f(2n＋1,2)α·coseq\f(2n－1,2)α(α≠nπ，n∈N)，在驗證n＝1等式成立時，左邊計算所得的項是________．解析：由等式的特點知，當n＝1時，左邊從第一項起，一直加到cos(2n－1)α.答案：eq\f(1,2)＋cosα6．用數(shù)學歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，從n＝k到n＝k＋1一步時，等式左邊應(yīng)增添的式子是________．解析：等式左邊從k到k＋1需增加的代數(shù)式可以先寫出n＝k時兩邊，再將式子中的n用k＋1來代入，得出n＝k＋1時的等式，然后比較兩式，得出需增添的式子是(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k.答案：(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k三、解答題7．求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．證明：(1)當n＝1時，等式左邊＝2，等式右邊＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)成立．那么n＝k＋1時，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1時等式成立．由(1)(2)可知對任何n∈N＋等式均成立．8．用數(shù)學歸納法證明：34n＋2＋52n＋1能被14整除(n∈N*)．證明：(1)當n＝1時，34×1＋2＋52×1＋1＝36＋53＝854＝61×14，能被14整除．(2)假設(shè)當n＝k時，命題成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除，則當n＝k＋1時，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋6＋52k＋3＝34·34k＋2＋34·52k＋1－34·52k＋1＋52·52k＋1＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52)＝34(34k＋2＋52k＋1)－56·52k＋1，由此可知，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1也能被14整除．這就是說，當n＝k＋1時，命題也成立．由(1)(2)可知，對任何n∈N*,34n＋2＋52n＋1能被14整除．9．有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分．證明：(1)當n＝1時，即一個圓把平面分成二個部分f(1)＝2，又n＝1時，n2－n＋2＝2，∴命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1)時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分，那么設(shè)第k＋1個圓為⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，又無三圓交于同一點，于是它與其他k個圓相交于2